Вычисление электрической энергии и электрических сил

Рефераты по математике » Вычисление электрической энергии и электрических сил

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Полная энергия заряженной системы определяется как

$W = frac{1}{2}int varphi {rm d}q$

(24)

Она состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можно разбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Для вычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается только им создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all - напротив, потенциал всех тел, кроме i-го:

W	=	$sumlimits_iW_{own,i}+sumlimits_{i} W_{int,i,all} = sumlimits_iW_{own,i}+sumlimits_{i,j} W_{int,i,j} =$	(25)
	=	$frac{1}{2}sumlimits_iint varphi_i {rm d}q_i + frac{1}{2}sumlimits_iint varphi_{all,except i} {rm d}q_i =frac{1}{2}sumlimits_iint varphi_i {rm d}q_i + frac{1}{2}sumlimits_{i,j}int varphi_{j} {rm d}q_i$

При наличии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞. Собственные энергии таких объектов и полная энергия - формально - равны ∞, так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия.

В случае двух тел энергия их взаимодействия - это энергия взаимодействия первого тела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела с первым Wint, 2, 1:

$W_{int} = 2W_{int,1,2} = int varphi_{2} {rm d}q_1 = int varphi_{1} {rm d}q_2$

(26)

Сила взаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороны первого тела на второе или (что - с точностью до знака - то же самое) как сила, с которой второе тело действует на первое:

$vec{F}_{1 to 2} = int vec{E}_1{rm d}q_2, vec{F}_{2 to 1} = int vec{E}_2{rm d}q_1$

(27)

Здесь $vec{E}_1$ - поле, создаваемое одним первым, а $vec{E}_2$ - одним вторым телом.

Задача. Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергию заряженного шара.

Решение: Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гаусса поле:

$E_r = frac{1}{4pivarepsilon_0r^2} q_{inside}(r)$	=	$frac{1}{4pivarepsilon_0r^2}cdotfrac{4pirho_0r^3}{3} = frac{rho_0r}{3varepsilon_0}, r<R$
	=	$frac{1}{4pivarepsilon_0r^2}cdotfrac{4pirho_0R^3}{3} = frac{rho_0R^3}{3varepsilon_0r^2}, r>R$

Это поле мы интегрируем, получая φ(r) для r<R:

φ(r)	=	$intlimits_r^{+infty} E_r(tilde{r}) {rm d}tilde{r} = intlimits_r^R frac{rho_0tilde{r}}{3varepsilon_0} {rm d}tilde{r} + intlimits_R^{infty} frac{rho_0R^3} {3varepsilon_0tilde{r}^2}{rm d}tilde{r} =$
		$frac{rho_0(R^2-r^2)}{6varepsilon_0} + frac{rho_0R^2}{3varepsilon_0} = -frac{rho_0r^2}{6varepsilon_0}+frac{rho_0R^2}{2varepsilon_0}$

Имея потенциал и записав dq как

dq = ρ0 r2dr sinθdθ dφ

можно найти энергию шара непосредственным интегрированием:

Wown	=	$frac{1}{2}intlimits_0^Rintlimits_0^{2pi} intlimits_0^{pi} varphi(r) rho_0 r^2{rm d}r sintheta{rm d}theta {rm d}varphi = 4pi frac{1}{2}intlimits_0^R varphi(r) rho_0 r^2{rm d}r =$
		$2picdotleft(-intlimits_0^R frac{rho_0r^2}{6varepsilon_0} rho_0 r^2{rm d}r + intlimits_0^Rfrac{rho_0R^2}{2varepsilon_0} rho_0 r^2{rm d}r right) =$
		$-frac{2pirho_0^2R^5}{30varepsilon_0} + frac{2pirho_0^2R^5} {6varepsilon_0} = frac{4pirho_0^2R^5}{15varepsilon_0}$

Эта энергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одного тела.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением.

Ответ: $W_{int}=-frac{q^2}{8pivarepsilon_0l}$ , $vec{F} = -frac{q^2}{16pivarepsilon_0l^2} vec{k}$ , плоскости.

Задача. Длинная нить расположена на оси кольца R и упирается в его плоскость. И нить, и кольцо заряжены равномерно с плотностью λ0. Найти силу их взаимодействия.

Решение: Требуемая в задаче сила может быть найдена либо путем интегрирования заряда нити с полем кольца, либо путем интегрирования заряда кольца с полем нити:

$vec{F} = int vec{E}_{ring}{rm d}q_{wire} = int vec{E}_{wire}{rm d}q_{ring}$

Мы осуществим оба эти способа. Введем систему координат с началом в центре кольца так, чтобы кольцо оказалось лежащим в плоскости xy, а нить - вдоль оси z, занимая область координат z>0. Тогда

dqwire = λ0dz, dqring = λ0Rdφ

Поле кольца в точке (0, 0, z) находится посредством интегрирования закона Кулона (Раздел 1), которое в итоге даёт:

$vec{E}_{ring} = frac{lambda_0}{2varepsilon_0}cdot frac{zvec{k}}{(R^2+z^2)^{3/2}}$

Поле, создаваемое нитью в точке (Rcosφ, Rsinφ, 0), будет равно:

$vec{E}_{wire} = frac{lambda_0}{4pivarepsilon_0R} left([cosvarphi vec{i}+sinvarphi vec{j}]-vec{k}right)$

После этого проводим интегрирование с целью нахождения силы:

$vec{F}_{ring to wire}hspace{-0.4cm}$	=	$int vec{E}_{ring}{rm d}q_{wire} = intlimits_0^{+infty} frac{lambda_0} {2varepsilon_0}cdotfrac{zvec{k}}{(R^2+z^2)^{3/2}} lambda_0 {rm d}z = frac{lambda_0^2vec{k}}{2varepsilon_0}$
$vec{F}_{wire to ring} hspace{-0.4cm}$	=	$int vec{E}_{wire} {rm d}q_{ring} = intlimits_0^{2pi} frac{lambda_0}{4pi varepsilon_0R}left([cosvarphi vec{i}+sinvarphi vec{j}]- vec{k}right) lambda_0 R {rm d}varphi = -frac{lambda_0^2vec{k}}{2varepsilon_0}$

Как и должно быть, сила, действующая со стороны кольца на нить $vec{F}_{ring to wire}hspace{-0.4cm}$ , с точностью до знака равна силе, действующей со стороны нити на кольцо $vec{F}_{wire to ring}$ - в соответствии с третим законом Ньютона.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r