Экстремумы функции
На рисунке 123 изображён график функции y= -3 . Рассмотри окрестности точки x=0, т.е. некоторый интервал содержащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки x=0, что наибольшее значение функция -3 в этой окрестности принимает в точке x = 0. Например, на интервале (—1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке x=0. Точку x = 0 называют точкой максимума этой функции.
Аналогично точку x = 2 называют точкой минимума функции x—Зх2, так как значение функции в этой точке меньше ее значения в любой точке некоторой окрестности точки x=2, например окрестности (1,5; 2,5).
Точка называется точкой максимума функции (x), если существует такая окрестность точки , что для всех x х0 из этой окрестности выполняется неравенство
f(x)
Например, точка хо = 0 является точкой максимума функции f(x) =1—х2, так как f(0)=1 и при всех значениях x верно неравенство f(x) <1 (рис. 124).
Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех x х0 из этой окрестности выполняется неравенство
f(x)
Например, точка х0=2 является точкой минимума функции f(x) =3+(x— 2)2, так как /(2) = 3 и /(х)>3 при всех значениях хф2 (рис. 125).
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Рассмотрим функцию /(х), которая определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет производную в этой точке.
Теорема. Если х0 — точка экстремума дифференцируемой функции /(х), то /'(х0) = 0.
Это утверждение называют теоремой Ферма1. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции г/ = /(х) в точке (х0; / (х0), где х0 — точка экстремума функции г/ = /(х), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент /'(х0) равен нулю (рис. 126). Например, функция / (х) = 1 — х2 (рис. 124) имеет
Другие работы по теме:
Задача по теории упругости
Задача №1 Использование плоского напряженного состояния балки-стенки с использованием степенных полиномов Рисунок 1. Решение: Выделим из пластины бесконечно малый элемент aob и рассмотрим его равновесие:
Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
Вычисление пределов функций, производных и интегралов
Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
Основы математики
Краткое изложение основ математики: комбинаторика, производные, числовые последовательности, многочлены и т.д.
Экстремумы функции
Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Математические уравнения и функции
Варивант №2 адание 1 Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти: Длину стороны АВ; Внутренний угол А с точностью до градуса; Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
по Математике 2
Содержание 1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 2 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 5
Контрольная работа по Математике 3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Дифференциальное исчисление функций
Содержание 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 3. Интегральное исчисление функции одного переменного
Вопросы по алгебре
(устный экзамен) Тригонометрия: основные тригонометрические тождества; доказательство формул; мнемоническое правило. Свойства тригонометрических функций:
Преобразование графиков функции
Text Text Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Graphics
Экстремумы функций 2
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений.
Дифференциальное исчисление 2
(лекция 1) Определение функции нескольких переменных. Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.
Функции нескольких переменных
Высшая математика Функции нескольких переменных Содержание 1. Понятие функции двух и более переменных 2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
Математический анализ
Определение функции нескольких переменных, Нахождение частных производных, Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных
Дифференцирование Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций Пусть , тогда Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
Модели и методы принятия решений
Нахождение экстремумов функций методом множителей Лагранжа. Выражение расширенной целевой функции. Схема алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с методом безусловной минимизации. Построение линий ограничений.
Место и роль математики в менеджменте и экономике
Основные свойства и виды функций. Общая схема исследования функций, признак возрастания и убывания. Применение функций при рассмотрении зависимостей экономических величин от различных факторов. Пример построения графика спроса и предложения на мороженое.
Определение предела числовой функции
31. . Односторонние пределы. Свойства пределов. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n€N (xn≠x0), сходящейся к х0
Полное исследование функций и построение их графиков
Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
Исследование функций
Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
Биография Архимеда
Математика Средневековый портрет Архимед По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе.
Алгоритмы численного решения задач
Графоаналитический метод решения задач. Получение задачи линейного программирования в основном виде. Вычисление градиента и поиск экстремумов методом множителей Лагранжа. Параболоид вращения функции. Поиск решения на основе условий Куна-Таккера.
Анализ области определения функции
Постановка задачи Анализ области определения функции Рабочий лист Excel в режиме отображения значений Рабочий лист Excel в режиме отображения формул
Алгоритмы численного решения задач
Решить графоаналитическим методом. Задача 1 max (X) = - 2x1 + x2 + 5x3 при 4x1 + 2x2 + 5x3 12 6x1 - 3x2 + 4x3 = 18 3x1 + 3x2 - 2x3 16 Х ≥ 0 Здесь число n = 3 и число m = 3.