Варивант №2
Задание 1
Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
Длину стороны АВ;
Внутренний угол А с точностью до градуса;
Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
Точку пересечения высот;
Уравнение медианы, опущенной из вершины С;
Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;
Сделать чертеж;
Решение:
Найдем координаты вектора АВ:
Длина стороны АВ равна:
Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)
Тогда 
Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор 
.
По формуле получим уравнение высоты:
Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:
Координаты основания медианы будут:
;
Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М
Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору 
Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:
х=11 у=23
Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор 
.
Теперь воспользовавшись формулой
Подставляя в нее координаты точки С(0,3)
Задание 2
Даны векторы 
Доказать, что 
образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.
Решение:
Докажем, что подсистема 
линейно независима:
Из четвертого уравнения имеем , что 
, тогда из первого, второго и третьего следует, что 
. Линейная независимость доказана.
Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов 
.
Очевидно,
Найдем представление 
через .
Из четвертого уравнения находим 
и подставляем в первые три
Получили , что данная система векторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:
Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график
Область определения:
, то есть 
2. Кривая имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как
Находим наклонные асимптоты. 
а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.
Функция общего вида, так как 
и 
Функция периодичностью не обладает
Находим производную функции
Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.
Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы
| х |  |  | 1 |  | 5 |  |
| y’ | - | - | 0 | + | 0 | - |
| y | убывает | убывыает | 0 min | возрастает | 0,074 | убывает |
Находим вторую производную функции
Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.
| х | |  | 0.22 |  | 6.11 |  |
| y” | - | + | 0 | + | 0 | - |
| y | выпукла | вогнута | 0,335 перегиб | вогнута | 0,072 | выпукла |
Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу
получаем точку (0;1); 
получаем точку (1;0)
При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
Строим график в соответствии с результатами исследований:
Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:
Проверка:
б) сделаем подстановку 
Проверка:
в) Воспользуемся способом интегрирования по частям
Проверка:
г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей
Проверка:
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:
приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение
корни этого квадратного уравнения 
следовательно : 
, и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем: 
т.к
получаем:
Другие работы по теме:
Уравнения регрессии
Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
Классический метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов; регрессионный анализ для оценки неизвестных величин по результатам измерений. Приближённое представление заданной функции другими; обработка количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, наблюдений.
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов Оценка параметров уравнения А0 , А1, А2 осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.
Кейнсианская теория
Основополагающее Кейнсианское уравнение. Монетарная трактовка Кейнсианского уравнения.
Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно,
Метод Гаусса
Методические рекомендации по выполнению заданий методом гауса. Примеры выполнения заданий.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания в электрических проводах. Электрический ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
Логарифмические уравнения
Данная система упражнений может быть использована в качестве дополнения при изучении темы «Логарифмические уравнения» к любому учебнику по алгебре для 10-го класса.
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Иероглифическая запись уравнения
Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции.
Решение нелинейных уравнений
ЧИСЛЕННОЕ . 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом
Принципы построения систем автоматического управления
Теория автоматического управления как наука, предмет и методика ее изучения. Классификация систем автоматического управления по различным признакам, их математические модели. Дифференциальные уравнения систем автоматического управления, их решения.
Алгоритмы численного решения задач
Графоаналитический метод решения задач. Получение задачи линейного программирования в основном виде. Вычисление градиента и поиск экстремумов методом множителей Лагранжа. Параболоид вращения функции. Поиск решения на основе условий Куна-Таккера.
Ариабхата I
Ариабхата I (476— ок. 550) — индийский астроном и математик.В сочинении “Ариабхатиам” (499), посвященном астрономии и математике, изложены математические сведения, необходимые для астрономических наблюдений.
