Системы с постоянной четной частью

Дипломная работа

"Системы с постоянной четной частью"

Содержание

6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть 29

6.2 Построение систем с заданной четной частью 30

25

Введение

Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.

Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.

1. Четные и нечетные вектор-функции

По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию , будем называть четной (нечетной), если для всех , является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения симметрична относительно нуля и ().

Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если

и

то

и является четной функцией, а – нечетной.

будем называть четной частью функции , – нечетной.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.

Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).

Доказательство. a) – четная функция.

Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.

б) – нечетная функция.

Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.

Свойство 2 Если – нечетная функция, то .

Доказательство. Поскольку – нечетная функция, то

Подставив вместо получаем

Откуда следует

2. Основные сведения из теории отражающих функций

Рассмотрим систему

11()

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения

Пусть

Определение: Отражающей функцией системы Error: Reference source not found назовем дифференцируемую функцию

определяемую формулой

22()

или формулами

Для отражающей функции справедливы свойства:

1) Для любого решения

системы Error: Reference source not found верно тождество

33()

2) Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:

44()

3) Дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы Error: Reference source not found тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

55()

и начальному условию

66()

Уравнение Error: Reference source not found будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения Error: Reference source not found. Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы Error: Reference source not found верны тождества

Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы Error: Reference source not found, и следуют тождества Error: Reference source not found.

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть – отражающая функция системы Error: Reference source not found. Тогда для неё верно тождество Error: Reference source not found. Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что – решение системы Error: Reference source not found, и самим тождеством Error: Reference source not found. Получим тождество

из которого в силу произвольности решения следует, что – решение системы Error: Reference source not found. Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция удовлетворяет системе Error: Reference source not found и условию Error: Reference source not found. Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи Error: Reference source not found – Error: Reference source not found функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Лемма Основная лемма 3 Пусть правая часть системы Error: Reference source not found -периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы Error: Reference source not found можно найти по формуле

и поэтому решение

системы Error: Reference source not found будет -периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы

77()

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.

Утверждение 4 Пусть непрерывно дифференцируемая функция -периодична и нечетна по , т.е.

и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы Error: Reference source not found будет -периодическим и четным по .

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению Error: Reference source not found и условию Error: Reference source not found. Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение Error: Reference source not found в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение

Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы Error: Reference source not found будет -периодическим. Четность произвольного решения системы Error: Reference source not found следует из тождеств

справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

Справедливы следующие утверждения Error: Reference source not found.

Теорема 5 Пусть все решения системы Error: Reference source not found -периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция этой системы -периодична по

Теорема 6 Пусть система Error: Reference source not found -периодична по а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Если, кроме того, отражающая функция этой системы -периодична по то все решения системы Error: Reference source not found периодичны с периодом

Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы Error: Reference source not found продолжимы на отрезок При этом заключение о -периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех

Из -периодичности отражающей функции следует -периодичность всех продолжимых на решений периодической системы Error: Reference source not found. Из -периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, -периодичность решений -периодической системы, хотя следует их -периодичность.

Не следует думать, что если все решения -периодической системы -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть -периодической. Этому противоречит пример уравнения

В случае, когда , т.е. когда система Error: Reference source not found вырождается в уравнение, верна

Теорема 7 Пусть уравнение Error: Reference source not found -периодично по а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Тогда для того, чтобы все решения уравнения Error: Reference source not found были -периодичны, необходима и достаточна -периодичность по отражающей функции этого уравнения.

3. Системы чёт-нечет

Рассмотрим систему

88()

Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а) Функция непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы Error: Reference source not found имеет единственное решение;

б) Правая часть системы Error: Reference source not found -периодична по .

Лемма 8 Пусть система Error: Reference source not found удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок решение этой системы будет -периодическим тогда и только тогда, когда

где

– есть нечетная часть решения .

Доказательство. Пусть – -периодическое решение системы Error: Reference source not found. Тогда

Необходимость доказана.

Пусть – решение системы Error: Reference source not found, для которого . Тогда

и поэтому

Таким образом, точка есть неподвижная точка отображения за период, а решение – -периодическое.

Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения

сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида Error: Reference source not found. Дифференцируемые функции

удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:

99()

так как

решение системы Error: Reference source not found. Заменяя в тождестве Error: Reference source not found на и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество –

1010()

Из тождеств Error: Reference source not found и Error: Reference source not found найдем производные:

Таким образом вектор-функция

1111()

удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка :

1212()

При этом

Систему Error: Reference source not found будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе Error: Reference source not found. решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Сделаем преобразования и приведем подобные

Таким образом:

Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Четная часть общего решения:

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Сделаем преобразования и приведем подобные

Таким образом:

Сделаем проверку:

Четная часть общего решения

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Получили два решения и .

1) ;

2) ;

Сделаем проверку для :

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Сделаем проверку для :

Отсюда видно, что не являются решением для исходной системы.

Таким образом:

Четная часть общего решения

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:

где и – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

; ;

1313()

Системы вида Error: Reference source not found будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.

5. Простые и простейшие системы

Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции

для которой выполнены тождества Error: Reference source not found, имеют место соотношения

Теорема 10 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции определенной в симметричной области , содержащей гиперплоскость для которой выполнены тождества Error: Reference source not found, существует дифференциальная система

c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с .

Теорема 11 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции

определенной в области содержащей гиперплоскость , для которой выполнены тождества Error: Reference source not found, при всех и достаточно малых существует дифференциальная система

отражающая функция которой совпадает с а общий интеграл задается формулой

Следствие 12 Дважды непрерывно дифференцируемая функция

является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества Error: Reference source not found.

Системы, существование которых гарантируется теоремами Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, называются соответственно простой и простейшей.

Теорема 13 Пусть

простейшая система, тогда

где – отражающая функция системы Error: Reference source not found.

Доказательство. Если система простейшая,

Теорема 14 Пусть

есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции

выполнены тождества Error: Reference source not found. Тогда для того, чтобы в области функция совпадала с необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид

или вид

где

есть некоторая непрерывная вектор-функция.

Будем говорить, что множество систем вида Error: Reference source not found образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция

со свойствами:

1) Oтражающая функция

любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения с функцией

2) Любая система вида Error: Reference source not found, отражающая функция

которой совпадает в области с функцией содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида Error: Reference source not found, принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

Из третьего свойства отражающей функции следует, что система Error: Reference source not found и система

принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений

совместна.

Необходимым условием совместности этой системы является тождество .

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна

Пусть нам дана система

1414()

Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.

1515()

То есть, когда не будет зависеть от времени .

Возьмем отражающую функцию системы Error: Reference source not found и используя

получим четную часть следующим образом:

1616()

Теорема 15 Если выполнено тождество

где – отражающая функция, для линейной системы вида Error: Reference source not found, то любое решение этой системы имеет постоянную четную часть.

Доказательство. Возьмем любое решение системы Error: Reference source not found. Его производная

Поэтому можем записать

Из условия теоремы имеем

Таким образом получили, что – четная вектор-функция. Тогда

Рассмотрим систему Error: Reference source not found. Будем строить систему с заданной четной частью.

Пусть нам известна четная часть . Воспользуемся формулой Error: Reference source not found и преобразуем ее

Следовательно, можем записать

Отсюда зная Error: Reference source not found, получим

где – отражающая функция системы. Исключая из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией , удовлетворяющей условию

получим требуемую систему.

Пример 16 Пусть

где – заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

Преобразуем правую часть

Перепишем полученное в виде:

Выразим :

1717()

Для всех систем вида Error: Reference source not found должно быть выполнено условие

Возьмем

Найдем , . ;

Подставим значения , в систему Error: Reference source not found:

Получаем требуемую систему:

Пример 17 Пусть

где – заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

и преобразуем правую часть

Перепишем полученное в виде:

Выразим :

1818()

Для всех таких систем должно быть выполнено условие .

Возьмем . Найдем , . ,

Подставим найденные значения в систему Error: Reference source not found и сделав преобразования аналогичные примеру Error: Reference source not found, получаем:

Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть общего решения системы с отражающей функцией . В этом случае

Поэтому, если нам задана, то из соотношения

при заданной мы найдем общее решение искомой системы. Саму систему мы построим исключая из соотношений

Таким образом, мы пришли к

Теорема 18 Всякая система

1919()

где находятся из системы

при любой заданной дифференцируемой функции , удовлетворяющей соотношениям

имеет общее решение с четной частью .

Если

то система Error: Reference source not found имеет вид:

Таким образом, мы пришли к выводу:

Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.

Заключение

Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.

Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.

Список использованных источников

11[] Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 – 240 с.

22[] Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 – 232 с.

33[] Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 – 744 с.

44[] Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 – 76 с.

55[] Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 – 331 с.