Содержание
Введение
1. Условие задачи
2. Математическая модель задачи
3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критических
точек
4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel
Выводы
Используемая литература
Введение
В данной работе требуется
решить математическую задачу двумя способами, один – это привычный для нас
вариант, с помощью математических исследований, а второй – с помощью
специального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:
- составить
математическую модель задачи,
- определить исследуемую
функцию, зависящую от одной переменной,
- построить график
заданной функции с помощью графического редактора MS Excel,
- исследовать функцию по
общей схеме, найти критические точки,
- найти решение задачи,
- сделать вывод, сравнить
полученные результаты.
1. Условие задачи
Найти высоту конуса
наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса r.
Поясним, данную задачу графически:
ABС – конус
О – центр, вписанного шара в конус
OН=OК – радиус вписанного шара
ВН – высота конуса
2. Математическая
модель задачи
Введем необходимые
обозначения и составим исходную функцию, зависящую от одной переменной.
Пусть BH=x, OH=r, BO=OC=x-r. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH:
Теперь, воспользуюсь
формулой нахождения объема конуса, составим функцию, зависящую от одной
переменной х – высота конуса.
Объем конуса будет
вычисляться по следующей формуле:
Исследуем функцию вида:
3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критических
точек
Воспользуемся общей
схемой исследования функции.
1. Найти область
определения
Функция существует для
всех положительных значений х, также подкоренное выражение должно
быть положительным. Решим неравенство:
2. Найти (если это
можно) точки пересечения графика с осями координат.
В нашем случае это
невозможно, т.к. все параметры конуса числа положительные, т.е. точек
пересечения с осями координат данная функция не имеет.
3. Найти интервалы
знакопостоянства функции (промежутки, на которых или
).
при любом значении из
области определения функции
4. Выяснить является
ли функция четной, нечетной или общего вида.
Функция является четной функцией,
т.к.
,
но для данной области
определения является функцией общего
вида.
5. Найдите асимптоты
графика функции.
Функция не имеет вертикальной,
горизонтальной и наклонной асимптот.
6. Найдите интервалы
монотонности функции (проверить функцию на выпуклость и вогнутость, используя
первую производную)
Для этого найдем первую производную
от заданной функции:
Решим уравнение вида:
Получим, что при функция меняется, т.е. на
промежутке функция монотонно убывает,
а на монотонно возрастает.
7. Найти экстремумы
функции.
Из пункта 6 следует, что точка максимума.
Найдем точки, в которых
функция не существует:
Найдем значение функции в
точке, где функция не существует, в точке экстремума и на концах промежутка
области определения:
Таким образом, получим,
что при высоте конуса конус имеет наименьший
объем, равный
.
4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel
Для построения графика
необходимо составить таблицу значений переменной и функции. Воспользуемся
приложением MS
Excel:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиус вписанной окружности r= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h= |
4,5 |
4,6 |
4,7 |
4,8 |
4,9 |
5 |
5,1 |
5,2 |
5,3 |
Vкон= |
5,5 |
5,353158 |
5,268761 |
5,225578 |
5,2111 |
5,217492 |
5,239506 |
5,273554 |
5,317067 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании значений таблицы
строим график заданной функции:
Найдем максимальное и
минимальное значения на области определения. Для этого воспользуемся
сортировкой.
|
максимум |
5,5 |
|
|
минимум |
5,211111 |
|
Как мы видим, функция
достигает минимума V=5,2111 при
значении х=4,9.
Решим задачу, пользуясь
надстройкой «поиск решения». Выполним следующие действия:
Введем в любую ячейку
целевую функцию
2. В меню Сервис выберем
команду Поиск решения.
В появившемся окне уже
установлена целевая ячейка.
Отмечаем флажок в поле
«равной» на «минимальному значению», т.к. наша функция стремится к минимуму.
В поле «Изменяя ячейки»
выбираем любую, пустую ячейку.
Нажимаем кнопку
«выполнить», не меняя других параметров.
3. Просматриваем
полученный результат.
h= |
4,91485421 |
Vкон= |
5,21089007 |
Т.е. при высоте конуса х=4,91485
палатка имеет наименьший объем, равный 5,21089.
Вывод
В данной работе выполнены
все поставленные цели и задачи. В ходе выполнения были сделаны следующие
выводы.
Решив данную задачу,
двумя способами, мы получили равные результаты.
В первом случае, в
процессе решения задачи самостоятельно, мы потеряли достаточное количество
времени, сохраняя большой риск ошибки в вычислениях.
Во втором же, решение
задачи с помощью MS Excel, мы достигли того же результата
минимизируя недостатки за считанные минуты.
Во время всеобщей
компьютеризации, все пытаются облегчить себе процесс работы, и это
действительно работает.
Используемая литература
1.
Журнал
«Информатика и образование» № 12,
2007.
2.
Журнал
«Информатика и образование» № 4,
2008.
3.
Бурдюкова
Е.В.Основы работы в Microsoft Excel. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.
4.
Письменный Д.Т.
конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс,2007.
5.
Практические
задания и методические рекомендации по использованию информационных технологий.
Хабаровск: ХК ИППК ПК,2003.
Другие работы по теме:
Моделирование предприятия в MS Excel
Методика и этапы построения экономических моделей с помощью программы Microsoft Excel. Определение оптимальной структуры производства консервного завода на основании имеющихся статистических данных. Нахождение условного экстремума функции в Excel.
Актуарные расчеты 2
Вопрос 6 Актуарные расчеты — система статистических и экономико-математических методов расчетов тарифных ставок и определения финансовых взаимоотношений страховщика и страхователя. Актуарные расчеты отражают механизм образования и расходования страхового фонда в долгосрочных страховых операциях, связанных с продолжительностью жизни населения.
Математические модели в расчетах
Содержание Задача 1 Задача 2 Задача 3 Список литературы Задача 1 Создание математической модели трехконтурной электрической схемы в среде табличного процессора Excel.
Импорт таблиц EXCEL в текстовый документ WORD
Вопрос 12. Импорт таблиц EXCEL в текстовый документ WORD. Microsoft Excel – мощная программа для работы с электронными таблицами, являющаяся, также как и Word, частью пакета Microsoft Office. Обладая достаточно широкими возможностями и высокой степенью интеграции с другими приложениями Office и Windows вообще, Excel стала наиболее популярной программой среди людей, постоянно имеющих дело с огромными массивами чисел.
Отчет 32 с
Пектральная теория операторов, методы гомогенизации, псевдодифференциальные операторы, разностные операторы, квантовая теория рассеяния, дифракция электромагнитных волн
Количественная школа управления 2
Количественная школа управления (с 1950гг – по н. в.) Основная предпосылка возникновения - усложнение процесса управления, что было обусловлено бурным научно - техническим прогрессом послевоенных лет.
Общее представление о математическом моделировании экономических задач
1. Общее представление о математическом моделировании экономических задач 1.1. Определение экономико-математической модели Математические модели экономических задач – это совокупность средств: уравнений, комплексов математических зависимостей, знаковые логические выражения, отображающие выделенные для изучения характеристики объекта, реальные взаимосвязи и зависимости экономических показателей.
Методы решения текстовых задач
Text Graphics Методы решения текстовых задач Слушатель ОП «Математическое образование в основной и средней школе» Шаронова Мария Викторовна Graphics
Крамп, Кристиан
Кристиа́н (Кретье́н) Крамп (фр. Christian Kramp, 8 июля 1760, Страсбург — 13 мая 1826, там же) — французский математик (эльзасец). Известен работами по теории чисел, геометрии, математической кристаллографии, алгебре и механике. Предложил общепринятое обозначение n! для факториала.
Вычисление значения функции y(x)
Особенности применения компьютерных программ Pascal, Excel, MathCAD и Delphi для вычисления значения функции y(x) с заданным промежутком и шагом. Виды результатов вычислений, их сравнение и вывод. Изображение блок-схемы алгоритма решения задания.
Электронные таблицы Excel
Overview Диаграмма1 Диаграмма3 Диаграмма2 Лист1 Sheet 1: Диаграмма1 Sheet 2: Диаграмма3 Sheet 3: Диаграмма2 Sheet 4: Лист1 остатки денежных средств на счетах клиентов
Microsoft Exel
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ИНФОРМАТИКЕ 2 семестр Табличные процессоры. Классификация. Табличный процессор Excel. Назначение. Основные приемы работы в Excel: ведение рабочей книги.
Регрессионные зависимости
Вычисление значений регрессионно-авторегрессионной зависимости заданного выражения линейного программирования. Графическое представление математической модели в виде уравнения регрессии. Принципи оптимизации производственных и коммерческих операций.
Инструментальные средства Microsoft Office
Особенности разработки текстовых документов с помощью информационной технологии Microsoft Office Word с включением в текст графических объектов типа "скриншот". Инструкция по построению диаграммы с помощью пункта "Вид" главного меню приложения MS Excel.
Экспорт в Excel
Рано или поздно практически каждый программист сталкивается с необходимостью организовать экспорт данных в MS Office. При этом каждое "поколение" программистов натыкается на одни и те же вилы.
Назначение и основные понятия электронных таблиц
Назначение электронных таблиц Microsoft Excel — один из наиболее популярных пакетов для среды Windows , принадлежащий к классу так называемых табличных процессоров, или электронных таблиц. Но
Решение задачи с помощью математической модели и средств MS Excel
Содержание Математическая модель задачи 3 Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек 4 Введение В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один - это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй - с помощью специального офисного приложения MS Excel.
Создание макросов
Запись макроса При записи макроса все необходимые действия записываются программой записи макроса. Перемещение по ленте не включается в записанные шаги.
Information Methods Essay Research Paper The aim
Information Methods Essay, Research Paper The aim of this assignment was to show and explain the value and importance of information and the tools readily accessible to us as students. We were to investigate the individual components of Access, Excel, Word and Powerpoint, then to transform, manipulate and present the information we gathered.
Ляпунов Алексей Андреевич
Ляпунов Алексей Андреевич (1911-73), российский математик, член-корреспондент АН СССР (1964). Автор трудов по теории множеств, математическим вопросам кибернетики, математической лингвистике.
Особенности банковского учета с применением Excel
Общие рекомендации по выполнению задач финансовой математики с использованием финансовых функций Microsoft Office Excel. Методика вычисления обыкновенных процентов по ссуде и эффективной ставки процента банка. Порядок определения дисконта от векселя.
Табличний редактор Microsoft Excel
Теоретичні відомості 1.1. Табличний редактор Microsoft Excel Microsoft Excel – це складова частина пакето-прикладних програм Microsoft Office. Microsoft Excel – призначений для створення електронних таблиць і найбільшою перевагою є можливість досліджувати, аналізувати дані і виконувати обчислення.