Содержание
Введение
1. Условие задачи
2. Математическая модель задачи
3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек
4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel
Выводы
Используемая литература
Введение
В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один – это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй – с помощью специального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:
- составить математическую модель задачи,
- определить исследуемую функцию, зависящую от одной переменной,
- построить график заданной функции с помощью графического редактора MS Excel,
- исследовать функцию по общей схеме, найти критические точки,
- найти решение задачи,
- сделать вывод, сравнить полученные результаты.
1. Условие задачи
Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса r.
Поясним, данную задачу графически:
ABС – конус
О – центр, вписанного шара в конус
OН=OК – радиус вписанного шара
ВН – высота конуса
2. Математическая модель задачи
Введем необходимые обозначения и составим исходную функцию, зависящую от одной переменной.
Пусть BH=x, OH=r, BO=OC=x-r. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH:
Теперь, воспользуюсь формулой нахождения объема конуса, составим функцию, зависящую от одной переменной х – высота конуса.
Объем конуса будет вычисляться по следующей формуле:
Исследуем функцию вида:
3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек
Воспользуемся общей схемой исследования функции.
1. Найти область определения
Функция существует для всех положительных значений х, также подкоренное выражение должно быть положительным. Решим неравенство:
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.
В нашем случае это невозможно, т.к. все параметры конуса числа положительные, т.е. точек пересечения с осями координат данная функция не имеет.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ).
при любом значении из области определения функции
4. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида.
Функция является четной функцией, т.к.
,
но для данной области определения является функцией общего вида.
5. Найдите асимптоты графика функции.
Функция не имеет вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.
6. Найдите интервалы монотонности функции (проверить функцию на выпуклость и вогнутость, используя первую производную)
Для этого найдем первую производную от заданной функции:
Решим уравнение вида:
Получим, что при функция меняется, т.е. на промежутке функция монотонно убывает, а на монотонно возрастает.
7. Найти экстремумы функции.
Из пункта 6 следует, что точка максимума.
Найдем точки, в которых функция не существует:
Найдем значение функции в точке, где функция не существует, в точке экстремума и на концах промежутка области определения:
Таким образом, получим, что при высоте конуса конус имеет наименьший объем, равный
.
4. Построение графика искомой функции средствами MSExcel
Для построения графика необходимо составить таблицу значений переменной и функции. Воспользуемся приложением MS Excel:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| радиус вписанной окружности r= |
|
|
|
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h= | 4,5 | 4,6 | 4,7 | 4,8 | 4,9 | 5 | 5,1 | 5,2 | 5,3 |
Vкон= | 5,5 | 5,353158 | 5,268761 | 5,225578 | 5,2111 | 5,217492 | 5,239506 | 5,273554 | 5,317067 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании значений таблицы строим график заданной функции:
Найдем максимальное и минимальное значения на области определения. Для этого воспользуемся сортировкой.
| максимум | 5,5 |
|
| минимум | 5,211111 |
|
Как мы видим, функция достигает минимума V=5,2111 при значении х=4,9.
Решим задачу, пользуясь надстройкой «поиск решения». Выполним следующие действия:
Введем в любую ячейку целевую функцию
2. В меню Сервис выберем команду Поиск решения.
В появившемся окне уже установлена целевая ячейка.
Отмечаем флажок в поле «равной» на «минимальному значению», т.к. наша функция стремится к минимуму.
В поле «Изменяя ячейки» выбираем любую, пустую ячейку.
Нажимаем кнопку «выполнить», не меняя других параметров.
3. Просматриваем полученный результат.
h= | 4,91485421 |
Vкон= | 5,21089007 |
Т.е. при высоте конуса х=4,91485 палатка имеет наименьший объем, равный 5,21089.
Вывод
В данной работе выполнены все поставленные цели и задачи. В ходе выполнения были сделаны следующие выводы.
Решив данную задачу, двумя способами, мы получили равные результаты.
В первом случае, в процессе решения задачи самостоятельно, мы потеряли достаточное количество времени, сохраняя большой риск ошибки в вычислениях.
Во втором же, решение задачи с помощью MS Excel, мы достигли того же результата минимизируя недостатки за считанные минуты.
Во время всеобщей компьютеризации, все пытаются облегчить себе процесс работы, и это действительно работает.
Используемая литература
Журнал «Информатика и образование» № 12, 2007.
Журнал «Информатика и образование» № 4, 2008.
Бурдюкова Е.В.Основы работы в Microsoft Excel. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.
Письменный Д.Т. конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс,2007.
Практические задания и методические рекомендации по использованию информационных технологий. Хабаровск: ХК ИППК ПК,2003.
10
Другие работы по теме:
Имитационное структурное моделирование системы
Методика и основные этапы построения математических моделей, их сущность и особенности, порядок разработки. Составление математических моделей для системы "ЭМУ-Д". Алгоритм расчета переходных процессов в системе и оформление результатов программы.
Оценка стоимости недвижимости
Определение текущей стоимости объекта при определенной ставке дисконта. Расчет величины фактической арендной платы банка за аренду офиса. Показатель значения коэффициента капитализации. Выбор варианта наиболее эффективного использования участка.
Актуарные расчеты 2
Вопрос 6 Актуарные расчеты — система статистических и экономико-математических методов расчетов тарифных ставок и определения финансовых взаимоотношений страховщика и страхователя. Актуарные расчеты отражают механизм образования и расходования страхового фонда в долгосрочных страховых операциях, связанных с продолжительностью жизни населения.
Отчет 32 с
Пектральная теория операторов, методы гомогенизации, псевдодифференциальные операторы, разностные операторы, квантовая теория рассеяния, дифракция электромагнитных волн
Методические рекомендации по подготовке к олимпиадам по математике учащихся 9 классов
Скудина Наталья Федоровна cherlakmg@mail Учитель математики МОУ «Черлакская муниципальная гимназия» Черлакского муниципального района Данные методические рекомендации адресованы учителям математики для подготовки учащихся 9 классов к олимпиаде. Представленный материал включает перечень основных математических понятий, знание которых необходимо участникам олимпиады, а также основные умения и навыки, которые должны быть сформированы у учащихся.
Количественная школа управления 2
Количественная школа управления (с 1950гг – по н. в.) Основная предпосылка возникновения - усложнение процесса управления, что было обусловлено бурным научно - техническим прогрессом послевоенных лет.
Решение уровней колебания струны методом характеристик
Пономарева Т.Т., Комаров К В., Емельянов П. Ю. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК. Известно, что решение многих задач из курса физики напрямую зависит от владения аппаратом математического анализа. Так, например, и уравнения колебания струны, которые рассматриваются как в математическом анализе, так и в курсе физики, но с разными подходами к их решению.
Общее представление о математическом моделировании экономических задач
1. Общее представление о математическом моделировании экономических задач 1.1. Определение экономико-математической модели Математические модели экономических задач – это совокупность средств: уравнений, комплексов математических зависимостей, знаковые логические выражения, отображающие выделенные для изучения характеристики объекта, реальные взаимосвязи и зависимости экономических показателей.
Математическая модель распределения информации
1 Математическая модель распределения информации Математическая модель системы распределения информации включает следующие три основных элемента: входящий поток вызовов (требований на обслуживание), схему системы распределения информации, дисциплину обслуживания потока вызовов.
Методы решения текстовых задач
Text Graphics Методы решения текстовых задач Слушатель ОП «Математическое образование в основной и средней школе» Шаронова Мария Викторовна Graphics
Размышления о взаимодействии лингвистики и математики
Проникновение в лингвистику математических методов и «математического духа» способствовало развитию лингвистики в сторону точности и объективности. Однако на пути ее дальнейшего развития в этом направлении стоят серьезные препятствия.
Гиппарх
Гиппарх - древнегреческий ученый, один из основоположников астрономии.Родился в городе Никее, жил и работал на острове Родос. Гиппарху принадлежит заслуга создания первых математических теорий видимого движения Солнца и Луны и теории затмений.
Экспертиза инвестиционного проекта
проводится для того, чтобы рассчитать эффективность инвестиционных проектов и их рискованность. Такая экспертиза проводится с использованием различных математических моделей, при которых анализируются сумма инвестирования, доходность инвестиций, индекс доходности и срок окупаемости инвестиционных проектов.
Крамп, Кристиан
Кристиа́н (Кретье́н) Крамп (фр. Christian Kramp, 8 июля 1760, Страсбург — 13 мая 1826, там же) — французский математик (эльзасец). Известен работами по теории чисел, геометрии, математической кристаллографии, алгебре и механике. Предложил общепринятое обозначение n! для факториала.
Регрессионные зависимости
Вычисление значений регрессионно-авторегрессионной зависимости заданного выражения линейного программирования. Графическое представление математической модели в виде уравнения регрессии. Принципи оптимизации производственных и коммерческих операций.
Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab
Определение зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представление этой зависимости графически и подбор подходящей формулы.
Решение задачи с помощью математической модели и средств MS Excel
Содержание Математическая модель задачи 3 Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек 4 Введение В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один - это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй - с помощью специального офисного приложения MS Excel.
Информатика. Тестовые задания. Кузнецов Chapter3
Часть 3. Тестовые задания по теме Моделирование — это: процесс замены реального объекта (процесса, явления) моделью, отражающей его существенные признаки с точки зрения достижения конкретной цели;
Теория экономического анализа 5
Вариант № 7. Значение экономико-математических методов анализа. Широкое использование математических методов является важным направлением совершенствования экономического анализа, повышает эффективность анализа деятельности пред и их подразделений. Это достигается за счет сокращение сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.
Гаврилов Михаил Александрович
Гаврилов Михаил Александрович (1903-79), российский ученый, стоявший у истоков информатики в нашей стране, в частности технической кибернетики, теории автоматов и теории ЭВМ, член-корреспондент АН СССР (1964)
Ляпунов Алексей Андреевич
Ляпунов Алексей Андреевич (1911-73), российский математик, член-корреспондент АН СССР (1964). Автор трудов по теории множеств, математическим вопросам кибернетики, математической лингвистике.