Лекция 10
Комплексные числа и действия над ними
Рассмотрим уравнение
.
Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число (мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению . Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида
, , .
Совокупность всех чисел называется множеством комплексных чисел. При этом число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как
,
а число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается как
.
Удобно изображать комплексные числа в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами . В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.
Операции умножения и деления комплексных чисел.
При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):
Пример.
.
При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.
Пример.
Комплексному числу можно приписать понятие модуля и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.
Модуль числа равен .
Аргументом числа называется полярный угол , (аргумент является многозначной функцией).
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
, где .
Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле
(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).
Следствием формулы умножения является следующая формула.
Формула возведения в степень (формула Муавра)
.
Пример.
, , ,
Формула извлечения корня -й степени
, .
Пример. Вычислить .
Запишем в тригонометрической форме:
.
Тогда получаем
при
при
при
Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа :, , .
Формула Эйлера
.
Пример использования.
Вычислить .
Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции через показательную функцию. Имеем:
откуда
.
Следовательно,
,
откуда
.
Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.
,
Отсюда следует
Ответ: .
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Рассмотрим уравнение
где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов
, , ,
произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение
назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения
имеет вид
,
если , два различных вещественных числа; имеет вид
,
если и, наконец, решение имеет вид
,
если , комплексносопряженные корни характеристического уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.
Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть
если , и в виде
если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.
Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
.
Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Получаем:
,
Подставляя , , в исходное уравнение, получаем:
Сокращая на и приводя подобные, получим
,
,
откуда
Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид
.
Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:
,
Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :
Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:
.
Далее,
.
Ответ: .
Пример.Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
,
откуда
,
где мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть
.
Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что
,
получим:
откуда
и, следовательно,
, .
Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция
.
Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде
.
Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия
, .
Так как
,
получаем систему линейных уравнений на и :
откуда .
Другие работы по теме:
Структура логистических затрат
За последнее десятилетие отмечен рост логистических затрат многих стран на такие комплексные «логистические активности», как транспортирование, обработка заказов, информационно-компьютерная поддержка, администрирование».
Классификация затрат на производство
В соответствии с задачами и в целях выполнения управленческих и контрольных функций учет затрат на производство осуществляется в нескольких разрезах.
Кислоты и соли
КИСЛОТЫ Кислоты - сложные вещества, состоящие из атомов водорода и кислотного остатка. (С точки зрения теории электролитической диссоциации: кислоты - электролиты, которые при диссоциации в качестве катионов образуют только H+).
Расчет электрических цепей синусоидального тока
Задачи на расчет электрической цепи синусоидального тока с последовательным и смешанным соединением приемников. Определение токов в линейных и нейтральных проводах; полная, активная и реактивная мощность каждой фазы и всей цепи. Векторная диаграмма.
Плоская электромагнитная волна
Определение параметров плоской электромагнитной волны: диэлектрической проницаемости, длины, фазовой скорости и сопротивления. Определение комплексных и мгновенных значений векторов. Построение графиков зависимостей мгновенных значений и АЧХ волны.
Расчет параметров электрических схем
Расчет заданной схемы по законам Кирхгофа. Определение токов в ветвях методом контурных токов. Уравнение баланса мощностей, проверка его подстановкой числовых значений. Комплексные действующие значения токов в ветвях схемы. Построение векторных диаграмм.
Виды и назначение комплексных добавок бетона
1.Введение. Опыт применения добавок в бетон показывает, что во многих практически важных случаях наиболее перспективными являются комплексные добавки. Основные преимущества многокомпонентных добавок в общем случае выражаются в том, что монодобавки часто наряду с положительным оказывают и отрицательное влияние на свойства бетонов и растворов, что снижает их эффективность.
Комплексные числа. История открытия
Комплексные числа. История открытия Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того, как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение.
Комплексные числа
Геометрическая интерпретация комплексного числа (КЧ); модуль КЧ; операции с КЧ, тригонометрическая форма КЧ, формула Муавра.
Комплексные числа
Понятие о комплексных числах. Действия с комплексными числами. Решение уравнений с комплексным переменным.
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
Теорема Наполеона
Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией.
История развития комплексных чисел
Р Е Ф Е Р А Т История развития комплексных чисел 1. История развития комплексных чисел Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Основы высшей математики
Построение подмножеств и диаграмм Венна по заданному универсальному множеству и его составляющим. Сложение, вычитание и транспонирование матриц. Метод понижения порядка и приведения системы к треугольному виду. Методы Крамера, Гаусса и матричный способ.
Перемещение во времени трехмерного пространства
Для простоты и наглядности введем коэффициент перемещения во времени, и определим его как отношение времени, на которое совершается перемещение к собственному времени затраченному на это перемещение.
Комплексные числа
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа.
Комплексные числа их прошлое и настоящее
Содержание. Введение. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
Комплексные числа
Комплексные числа и комплексные равенства, их алгебраическая и тригонометрическая формы. Арифметические действия над комплексными числами. Целые функции (многочлены) и их свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
Комплексные числа
Автор работы раскрывает содержание основ элементарной математики, довольно полно и исчерпывающе излагает материал на темы сложения и вычитания, деления и умножения (геометрический аспект).
Комплексные числа: их прошлое и настоящее
Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
Основы теории цепей
Общая характеристика способов представления и параметров. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока. Специфика алгебры комплексных чисел, формы их представления. Особенности символического метода, его применение. Законы цепей в символической форме.
Операции сложения и вычитания
Алгоритм выполнения операции сложения, вычитания. Сложение чисел в столбик. Проверка получившихся результатов, переведение их в другую систему счисления. Перевод числа 128 из 8-й в 10-ую систему счисления и числа 11011101 из 2-й в 10-ую систему счисления.
Стибиц (Stibitz) Джордж
Стибиц (Stibitz) Джордж, американский математик, создатель одного из первых электромеханических вычислительных устройств - двоичного сумматора.
Рисунок 2 1
Признаки классификации информационных потоков По отношению к логистическим функциям По степени открытости и уровню значимости По назначению информации