«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по атомной физике
для студентов физического факультета
Ростов-на-Дону
2006
Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.
Ответственный редактор канд. физ.-мат. наук И.Н. Леонтьев
Компьютерный набор и верстка инженер Г.А. Колесников
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол № 21 от 25 апреля 2006 г.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Закон Стефана - Больцмана
,
где Rе – энергетическая светимость черного тела; Т – термодинамическая температура; - постоянная Стефана – Больцмана.
Энергетическая светимость серого тела в классическом приближении
,
где – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.
Закон смещения Вина
,
где m – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b -постоянная закона смещения Вина.
Энергия фотона
или ,
где h – постоянная Планка; ; – частота излучения; – циклическая частота; – длина волны.
Формула Планка для спектральной плотности энергии
,
где – спектральная плотность энергетической светимости черного тела; – круговая частота; с – скорость света в вакууме; к – постоянная Больцмана; – постоянная Планка.
Формула Эйнштейна для фотоэффекта
,
где – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Еmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
Коротковолновая граница min сплошного рентгеновского спектра
,
где – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; е – заряд электрона; U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.
Давление производимое светом при нормальном падении,
или ,
где Ee – облученность поверхности; с – скорость электромагнитного излучения в вакууме; w – объемная плотность энергии излучения; – коэффициент отражения.
Изменение длины волны фотона при рассеянии его на свободном электроне на угол
,
где m – масса покоя электрона отдачи; с – скорость света в вакууме; – комптоновская длина волны.
Задача №1
Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны = 500 нм. Принимая Солнце за черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии Фе, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.
Энергетическая светимость R черного тела выражается формулой Стефана – Больцмана
.
Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина
.
Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана – Больцмана, получим
.
Произведя вычисления по этой формуле, получим Re = 64 МВт/м2.
Поток энергии Фе, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости R на площадь поверхности солнца S
,
где RC = радиус Солнца. Подставляя в последнюю формулу численные значения, получим Фе = 3,91026 Вт.
Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии
.
С другой стороны, энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Фе (мощности излучения) на время
.
Отсюда
.
Произведя вычисления, получим m = 4,3109 кг.
Задача №2
Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:
,
где а = 7,6410-12 Кс. Найти с помощью этой формулы при Т = 2000 К: а) наиболее вероятную частоту вер длину вер излучения; б) средние значения частоты <>.
Наиболее вероятную частоту излучения ω найдем из условия
.
Отсюда
.
Удовлетворяющие этому уравнению значения ω = 0 , ω = ∞ соответствуют минимумам функции . Значение , обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения вер
.
Откуда =7,81014 с-1.
2. Поскольку связь функций и имеет следующий вид:
,
то в нашем случае
.
Наиболее вероятную длину волны излучения найдем из условия
.
Тогда
.
Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 , λ = ∞ соответствуют минимумам функции . Значение λ, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения λ вер.
=> =2,40 мкм.
Среднее значение частоты излучения определяется следующим выражением
.
Интегралы, стоящие как в числителе последней дроби, так и в знаменателе сводятся к следующему табличному интегралу:
.
Тогда
=1,051014 с-1.
Задача №3
Преобразовать формулу Планка к виду, соответствующему распределению: а) по линейным частотам; б) по длинам волн.
Энергетическая светимость абсолютно черного тела определяется следующим выражением:
, (1)
где – функция спектрального распределения энергии излучения, определяемая формулой Планка
. (2)
Чтобы получить распределение по линейным частотам произведем в (1) замену переменных с учетом того, что
.
Тогда
,
,
отсюда
.
Аналогичным образом поступим, чтобы найти распределение по длинам волн. Поскольку
,
то
,
,
отсюда
.
Задача №4
Получить приближенные выражения формулы Планка при << и >> .
Рассмотрим первый случай, когда << . Отсюда
<< 1.
Тогда мы можем воспользоваться следующим тождеством
,
откуда
.
Подставляя полученное выражение в формулу Планка, получим
.
Полученное выражение представляет собой закон Рэлея – Джинса.
Рассмотрим теперь случай, когда >> . В этом случае единицей в знаменателе формулы Планка можно пренебречь т.к.
>> 1.
Отсюда
.
Полученное выражение совпадает с законом Вина (см. задачу №2). Здесь
, .
Задача №5
Определить максимальную скорость фотоэлектронов vmax, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны 1 = 0,155 мкм; 2) – излучением с длиной волны 2 = 2,47 пм.
Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта
. (3)
Энергия фотона вычисляется по формуле
.
Работа выхода электрона для серебра равна А = 4,7 эВ.
Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле
(4)
или по релятивистской
. (5)
Если энергия фотона много меньше энергии покоя электрона Е0, то может быть применена формула (4); если же сравнима по размеру с Е0, то вычисление по формуле (4) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо вычислять по формуле (5).
Для ультрафиолетового излучения с длиной волны 1 = 0,155 мкм энергия фотона равна 1 = 8 эВ, что много меньше энергии покоя электрона (0,511 МэВ). Следовательно, в данном случае формула (4) справедлива, откуда
= 1,08106 м/c.
В случае – излучения с длиной волны 2 = 2,47 пм энергия фотона равна 1 = 0,502 МэВ, тогда работой выхода электрона (А = 4,7 эВ) можно пренебречь и можно принять, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна энергии фотона. Т.к. в данном случае энергия покоя электрона сопоставима с энергией фотона, то для вычисления скорости фотоэлектрона необходимо воспользоваться релятивистской формулой для кинетической энергии
,
где . Произведя математические преобразования, получим
.
Тогда максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых – излучением равна
= 226106 м/c.
Задача №6
До какого потенциала можно зарядить удаленный от других тел цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны = 200 нм.
При облучении шарика ультрафиолетовым излучением с длиной волны , из него будут выбиваться электроны с максимальной кинетической энергией Еmax, причём электроны будут покидать шарик до тех пор, пока энергия электростатического взаимодействия (притяжения) W не станет равной максимальной кинетической энергии фотоэлектронов Еmax,т. е.
W = Еmax.
Максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов найдем из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта
,
где AZn – работа выхода электрона для цинка. Отсюда
.
Поскольку
,
где е – заряд электрона, – потенциал шарика, то
.
Отсюда
=2,74 В.
Задача №7
Определить красную границу кр фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом с длиной волны = 400 нм максимальная скорость vmax фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с..
При облучении светом, длина волны которого кр соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна в этом случае будет иметь вид
или ,
где АCs – работа выхода электрона из цезия. Отсюда
. (6)
Чтобы получить работу выхода электрона из цезия воспользуемся уравнением Эйнштейна в виде
. (7)
Подставляя (7) в (6), получим
.= 651 нм.
Задача №8
После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в = 2,0 раза первоначальная длина волны 0 коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на = 50пм. Найти 0.
Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется выражением:
,
где V – напряжение на рентгеновской трубке; а – некоторая постоянная, то при увеличении напряжения на рентгеновской трубке длина волны рентгеновского излучения будет уменьшаться. Тогда
и .
Разделив второе равенство на первое, получим
.
Отсюда находим
.
Задача №9
Определить напряжение на рентгеновской трубке, если известно, что зеркальное отражение узкого пучка ее излучения от естественной грани монокристалла NaCl наблюдается при уменьшении угла скольжения вплоть до = 4,1. Соответствующее межплоскостное расстояние d = 281 пм.
Согласно закону Вульфа – Брэгга
, (8)
где d – межплоскостное расстояние, – угол дифракции (брэгговский угол или угол, под которым наблюдается максимум отраженного от кристалла рентгеновского пучка), – длина волны падающего рентгеновского излучения, n – порядок дифракции (в данном случае n = 1).
Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется следующим выражением:
,
где V – напряжение на рентгеновской трубке. Подставляя последнее выражение в (8), получим
.
Отсюда
.
Подставляя в последнее выражение численные значения, получим V = 31 кВ.
Задача №10
Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны λ падает на рассеивающее вещество. Найти λ, если длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами 1 = 60° и 2 = 120°, отличаются друг от друга в = 2,0 раза.
Изменение длины волны фотона при его рассеивании на свободном электроне равно
, (9)
где – комптоновская длина волны электрона. Тогда формула (9) для случаев рассеяния на углы 1 и 2 примет соответственно следующий вид:
,
.
По условию задачи
,
отсюда
.
Используя тригонометрическое тождество , получим
.
Отсюда
.
Подставляя в последнее выражение численные значения получим = 1,2 пм.
Задача №11
Фотон с энергией Е = 0,75 Мэв рассеялся на свободном электроне под углом = 60. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить : а) энергию Е рассеянного фотона; б) кинетическую энергию электрона отдачи; в) направление его движения.
Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:
.
Выразив длины волн и через энергии Е и Е соответствующих фотонов, получим
.
Разделив обе части полученного равенства на , получим
. (10)
Отсюда
.
Подставив численные значения величин, получим Е = 0,43 МэВ.
Кинетическая энергия электрона отдачи Ек, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией падающего фотона Е и энергией рассеянного фотона Е:
МэВ.
Направление движения электрона отдачи можно определить воспользовавшись законом сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона и электрона отдачи :
.
Векторная диаграмма импульсов показана на рис.1. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол определяет направление движения электрона отдачи.
Из треугольника OCD находим
Рис.1
Или
Так как и , то
. (11)
Из (10) следует, что
. (12)
Заменяя в (11) отношение Е/E по формуле (12), получим
.
Учитывая, что
и ,
получим
.
Подставив численные значения, получаем , откуда = 35
Задача №12
Пучок монохроматического света с длиной волны = 663 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Поток энергии Фе = 0,6 Вт. Определите силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число фотонов N, падающих на нее за время t =5с.
Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:
.
Световое давление может быть найдено по формуле
.
Тогда
. (13)
Поскольку произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S равно потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то (13) можно переписать в виде
.
После подстановки численных значений и с учетом того, что = 1 (поверхность зеркальная), получим F = 4 нН.
Число фотонов, падающих за время t на поверхность, определяется по формуле
,
где W – энергия получаемая поверхностью за время t, – энергия одного фотона. Отсюда
=1019 фотонов.
Задача №13
Параллельный пучок света с длиной волны = 500 нм падает нормально на зачерненную плоскую поверхность, производя давление p = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию n фотонов в пучке; 2) число n1 фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с.
Концентрация фотонов в пучке n может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию одного фотона
. (14)
Из формулы, определяющей давления света
,
выразим w и, подставив в (14), получим
Поскольку энергия одного фотона определяется выражением
,
то
Коэффициент отражения для зачерненной поверхности равен нулю. Тогда подставляя численные значения, получаем n = 2,521013 м-3.
Число фотонов n1, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с найдем из соотношения
,
где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но так как
,
следовательно
.
После подстановки численных значений, получаем = 7,561021 м-2с-1.
Задача №14
Лазер излучает в импульсе длительностью = 0,13 мс узкий пучок света с энергией Е = 10 Дж. Найти среднее за время давление такого пучка света, если его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10мкм на поверхности, перпендикулярной пучку, с коэффициентом отражения = 0,5.
Так как давление света определяется выражением
,
а произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S равно потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то
.
Поток Фе энергии излучения, падающего на поверхность равен
,
тогда с учетом того, что
,
получим
.
Подставляя численные значения, получим р = 5 МПа 50 атм.
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
| Постоянная Планка | |
| Скорость света в вакууме | с = 2,998108 м/c |
| Масса электрона | |
| Заряд электрона | |
| Электрическая постоянная | o = 8,8510-12 Ф/м 1/4o=9109 м / Ф |
| Постоянная Стефана - Больцмана | = 5,6710-8 Вт/(м2 К4) |
| Постоянная закона смещения Вина | b = 2,9010-3 мК |
| Постоянная Больцмана |
ЛИТЕРАТУРА
Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с.
Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с.
Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями: Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк., 2006. – 591с.
Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с.
Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с.
Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. –271с.