ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО «Самарский государственный
архитектурно-строительный университет»
Факультет информационных систем и технологий
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники
РЕФЕРАТ
по дисциплине
«ТЕХНОЛОГИЯ/МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ»
на тему
«Метод Ньютона для функций одной переменной»
III СЕМЕСТР 2КУРС
Научный руководитель: Пиявский Семён Авраамович
Проверили: | Выполнила: студентка ГИП 107 Сулковская А.С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая оценка____________________
Методический руководитель Оценка Дата
2007 год
Введение
Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения , а затем использовать это значение на каждой последующей итерации:
Достоинства метода Ньютона:
1) если минимизируемая функция является квадратической, то метод позволит найти минимум за один шаг;
2) если минимизируемая функция относится к классу поверхностей вращения (т.е. обладает симметрией), то метод также обеспечивает сходимость за один шаг (поскольку в точке минимума аргументы минимизируемой функции и ее квадратической аппроксимации совпадают);
3) если функция несимметрична, то метод не обеспечивает сходимость за конечное число шагов. Но для многих функций (даже очень сложных, например, для функции Розенброка, которая будет исследоваться Вами в ходе лабораторной работы) достигается гораздо более высокая скорость сходимости, чем при использовании других модификаций метода наискорейшего спуска.
Недостатки метода Ньютона связаны с необходимостью вычислений и (главное!) обращения матриц вторых производных. При этом не только расходуется машинное время, но (это существеннее) могут появиться значительные вычислительные погрешности, если матрица окажется плохо обусловленной (т.е. значение определителя этой матрицы будет близко к нулю).
Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Описание метода
Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где — сжимающее отображение.
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде , тогда:
В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:
С учётом этого функция определяется выражением:
Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение[1], и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения .
Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения ). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение лучше предыдущего .
[править] Геометрическая интерпретация
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пусть — определённая на отрезке [a, b] и дифференцируемая на нём действительнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:
,
где α — угол наклона касательной в точке .
Следовательно искомое выражение для имеет вид:
.
Итерационный процесс начинается с некого начального приближения x0 (чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).
Другие работы по теме:
Эйнштейн и единый метод обоснования
Заменяя механику Ньютона своей теорией относительности, Эйнштейн применял единый метод обоснования. Он этого не осознавал, но тем не менее сделал это. В принципе, это происходит каждый раз при создании новой фундаментальной теории.
Методология социологии
Методология как научно-теоретический анализ исследовательских процессов. Проблематика коллективного и индивидуального объяснений социального феномена. Основная методологическая проблема социальных наук.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Изучение явлений интерференции
Расчет длины волны из опыта Юнга и колец Ньютона. Интерференция света как результат наложения двух когерентных световых волн. Подробный расчет всех необходимых величин. Определение длины волны через угол наклона соответствующей прямой к оси абсцисс.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно,
«БиномНьютон а»
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
Умк по практическим
Умк по дисциплине «Методология и методика научного педагогического исследования»
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Поиск нулей функции. Итерационные методы
Поиск нулей функции - исследование и построение различных функций зависимостей. Исследование непрерывных процессов. Метод простой итерации. Итерационный процесс Ньютона, аналитическое задание системы уравнений и локализация области нахождения корня.
Решение нелинейных уравнений
Задание №1 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них: методом половинного деления; методом хорд; методом касательных; методом секущих;
Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
Интерполяция функций 2
Министерство образования Российской Федерации. Хабаровский государственный Технический Университет. Кафедра «Прикладная математика и информатика»
Аппроксимация функций
Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
Методология истории
План Введение 1 Методы исторического исследования Список литературы Введение Методология исторической науки (истории) — специальная историческая дисциплина, которая определяет предмет и объект исторической науки, цель научного исторического познания, изучает научный и социальный статус исторической науки, её дисциплинарное строение, разрабатывает теорию исторического познания (включая общефилософские, гносеологические и эпистомологические основы, принципы, уровни, виды и методы исторического познания).
Финно-угроведение журнал
«Финно-угрове́дение» — научный академический журнал в России, посвящённый вопросам этнографии, этнологии, этнической истории и языкознания финно-угорских народов, то есть одноимённой научной дисциплине. Кроме того, в журнале публикуются материалы по современной культуре финно-угорских народов, о научных конференциях финно-угроведов и о мероприятиях в рамках европейского панфинно-угристского движения.
Решение нелинейных уравнений
ЧИСЛЕННОЕ . 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом
Расчетно-графическая работа
§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические
Метод касательных (метод Ньютона)
Содержание Содержание 1 Используемая литература 1 Метод Ньютона (касательных). 2 Описание 2 Блок-схема алгоритма 3 Листинг программы 4 Результаты работы программы 6
Итерационные методы решения нелинейных уравнений
Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и аналитическим, простым и модифицированным методом Ньютона. Программы на языке программирования Паскаль и С для вычислений по вариантам в порядке указанных методов. Изменение параметров задачи.
Задачи по математике и информатике
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Российский государственный профессионально-педагогический университет»
Разложение в ряды Тейлора
Министерство образования Российской Федерации Нижегородский государственный университет Имени Н.И. Лобачевского Факультет ВМК Разложение в ряды Тейлора
Исаак Ньютон
Исаак Ньютон - великий английский физик, механик, астроном и математик. Высокое признание получили работы Ньютона, в которых он заложил основы научного понимания законов мироздания взамен фантастических домыслов религии.