О вычислении коэффициентов и узлов одной квадратурной формулы
Асп. Плиева Л.Ю.
Кафедра математического анализа.
Северо-Осетинский государственный университет
Статья посвящена одному квадратурному процессу, построенному Д.Г. Саникидзе в 1965 г. для вычисления некоторых несобственных интегралов. Вычислены коэффициенты, узлы для конкретных значений .
В приближенных вычислениях особое место занимают квадратурные формулы с наивысшей степенью точности. Их преимущество перед другими обычными квадратурными формулами заключается в том, что в них применяется минимальное количество узлов, коэффициентов и результаты получаются с наименьшей погрешностью. Квадратурные формулы указанного типа были построены еще в XIX в. Гауссом. Поэтому такие квадратурные формулы получили название квадратурных формул Гаусса. В дальнейшем в развитие этой теории значительный вклад внесли А.Крылов и В.Крылов [1].
Здесь же мы рассмотрим квадратурную формулу, которая была построена в 1965 г. грузинским математиком Саникидзе Д.Г. [2]. Он построил ее для вычисления несобственных интегралов вида:
, (1)
где – весовая функция и , а – дифференцируемая до определенного порядка функция.
Итак, квадратурная формула для (1) имеет вид:
,
где ,
, ,
,
.
Здесь являются узлами квадратурной формулы, , – коэффициентами, а – остаточным членом.
В статье Д.Г.Саникидзе [2] приведена таблица узлов и коэффициентов для случая , которые не позволяют вычислить интеграл с более высокой степенью точности из-за отсутствия дальнейших значений узлов и коэффициентов.
Наша задача заключалась в том, чтобы построить указанную квадратурную формулу для конкретных значений .
В [2] вычисляют из следующей системы нелинейных уравнений:
(). (2)
Используя свойства ортогональности многочленов, можно (2) заменить следующей эквивалентной системой:
. (3)
Отсюда для любого мы будем получать формулы Вьета, т. е. наша задача свелась к решению обыкновенного алгебраического уравнения -ой степени:
(4)
где . Для его решения и вычисления коэффициентов была составлена программа на языке Паскаль для значений:
.
Ниже мы приводим полученные результаты для и :
, 1,072244199477261880,
0,505492653760114758, 0,421908758347199805,
0,888813304815261389, 0,153346705375644365,
16,705000673599787900,
0,021010252334716897, 1,018984571918536970,
0,103866983666919520, 0,481159060055772372,
0,239874720072333520, 0,304701660614504889,
0,410803984491100701, 0,210697676646705469,
0,593708243717703457, 0,148242465067985048,
0,764030577337008023, 0,100794530327821750,
0,898906161681775344, 0,061185532509305821,
0,980260135888473404, 0,025642390273945643,
15,297184223170844100;
0,011538570831164812, 0,992093361560775528
0,057797996308034946, 0,475206996405231443,
0,136691350037226988, 0,309481687628868688,
0,242410221548385496, 0,224182021687137567,
0,367149993172128210, 0,170025942566687891,
0,501699747781751390, 0,131105212017457282,
0,636123814574765828, 0,100675698014444633,
0,760495808704081177, 0,075350705067579744,
0,865631994733214915, 0,053206548788294829,
0,943770905120913118, 0,033031548416791457,
0,989161252517134264, 0,014001581712479520,
14,843217392368502800.
Замечание. При проверке достоверности полученных результатов на многочисленных примерах оказалось, что при погрешность округления значительно влияет на точность результатов. Следовательно, желательно использовать полученные результаты при .
Список литературы
1. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Физ. мат. изд., 1959.
2. Саникидзе Д. Г. О приближенном вычислении некоторых несобственных интегралов // Труды Тбилисского мат. университета, 1965. Т.110.
Другие работы по теме:
Гравитация
Основная задача физики – это объяснить силу гравитации и силу электрического взаимодействия одной теорией. Все материальные точки разбегаются, тогда для любого наблюдателя они имеют некоторую скорость. Вывод формулы гравитационного взаимодействия.
«БиномНьютон а»
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
Основные формулы тригонометрии
Основные фоpмулы тpигонометpии. Таблица часных случаев для тpигонометpических функций. Таблица углов sin, cos, tg, ctg.
Численные методы
Интерполяционная схема Эйткина. Связь конечных разностей и производных. Распространение ошибки исходных данных при вычислении конечные разности. Свойства разделенной разности. Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов. Полином Лагранжа.
Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.
Вычисление определенного интеграла
Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
Приближенное вычисление интеграла
Содержание Введение 2 1. Различные методы вычисления определенных интегралов 3 1.1. Метод Симпсона для интегрирования функций F(x) по заданному промежутку и его реализация на языке Pascal 4
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Численное интегрирование функций
Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
Формулы по математике (11 кл.)
АЛГЕБРА Формулы Формулы сложения Формулы двойного аргумента Формулы половинного аргумента Ф-лы преобразования суммы в произведение Ф-лы преобразования произведения в сумму
Формулы по алгебре
Основные тригонометрические тождества Формулы суммы и разности Формулы двойного аргумента Формулы произведений Формулы сложения Формулы половинного аргумента
Численные методы вычисления интегралов
Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.
Перспективные цифровые радиосигналы
Text Text BPSK является самой помехоустойчивой из всех видов ФМн, то есть при использовании бинарной ФМн вероятность ошибки при приёме данных наименьшая. Однако каждый символ несет только 1 бит информации, что обуславливает наименьшую в этом методе модуляции скорость передачи информации.
Вычислительная техника и программирование
Построение интерполяционного полинома Ньютона по значениям функции в узлах согласно методу Лагранжа. Составление алгоритмов решения задачи, их реализация на программном уровне на языке Turbo Pascal. Представление результатов работы программы Polinom.
Решение линейных интегральных уравнений
Основные леммы и теоремы для решения линейных интегральных уравнений методом итераций. Применение информационных технологий для вычисления функции, построение алгоритма для определения уравнения по ядру и отрезку интегрирования и правой части уравнения.
Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab
Определение зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представление этой зависимости графически и подбор подходящей формулы.
Приближенное вычисление значений определенного интеграла
Сущность и особенности применения метода средних треугольников. Порядок расчета по методу трапеций и Ньютона-Котеса. Формула Чебышева и значения узлов ее квадратуры. Составление блок-схемы программы и ее основных процедур различными численными методами.
Взаимосвязь некоторых признаков у кормовых бобов
Значение кормовых бобов как сельскохозяйственной культуры и в качестве объекта биологических исследований общеизвестно. По сбору протеина с единицы площади бобы во влажных регионах превосходят горох и рапс.