Рассмотрим линейную краевую задачу
(2.24)
(2.25)
,
где , , и непрерывны на [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага
.
Точки разбиения
,
называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции и ее производных обозначим соответственно через
.
Введем обозначения
Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:
(2.26)
Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].
Для граничных точек положим
. (2.27)
Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений
(2.28)
Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:
. (2.29)
Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.
Преобразуем уравнения (2.28):
. (2.30)
Введя обозначения
получим
, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)
Краевые условия по-прежнему запишем в виде
. (2.32)
Метод прогонки состоит в следующем.
Разрешим уравнение (2.31) относительно :
. (2.33)
Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде
, (2.34)
где и должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что
Исключая из этих двух уравнений , найдем
.
Выразим теперь отсюда :
(2.35)
Но, согласно формуле (2.34),
(2.36)
Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что
(2.37)
Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n–2. Выражая по формуле (2.34), получим:
.
Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь
.
Разрешая полученное уравнение относительно, находим
, или
. (2.38)
Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы:
(2.39)
Так как и уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты и до и включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.
Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем
Разрешая эту систему относительно, будем иметь
. (2.40)
Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки.
Итак, получаем следующую цепочку:
(2.41)
Для простейших краевых условий
формулы для и упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь
Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.
1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?
2) Как фактически находить это решение?
3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?
Можно доказать, что если краевая задача имеет вид
причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая
Теорема
Если и дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой
равномерно сходится к точному с погрешностью при
Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной
имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации
Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:
, (2.42)
, (2.43)
i=1, 2,..., n.
Погрешность формулы (2.42) выражается так:
то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:
(2.44)
Где .
Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты
(2.45)
Затем определяют коэффициенты по следующим рекуррентным формулам:
(2.46)
Обратный ход начинается с нахождения :
(2.47)
После этого находим по формулам:
, (2.48)
. (2.49)
Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при
и ,
и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место
Теорема
Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия
, ,
то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью .
Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.
Другие работы по теме:
Метод простого прибавления неразложимого остатка в экономическом анализе
Метод цепных подстановок (ЦП). Он заключается в изменении влияния одного из нескольких факторов на обобщающий показатель при исключении действия остальных (приём устранения воздействия всех факторов на величину результативного показателя, кроме одного, называется элиминированием). Достигается это путём последовательной замены базисных значений факторов фактическими.
Конечные разности. Погрешности
Действительные и конечно-разрядные числа при работе на вычислительных машинах. Порядок накопления вычислительной погрешности алгоритма для операндов. Определение и исчисление конечных разностей. Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования.
Задача по теории упругости
Задача №1 Использование плоского напряженного состояния балки-стенки с использованием степенных полиномов Рисунок 1. Решение: Выделим из пластины бесконечно малый элемент aob и рассмотрим его равновесие:
Охлаждение изолированного провода
Кафедра КТЭИ Переработка полимеров Лабораторная работа "Охлаждение изолированного провода" Специальность – электроизоляционная, конденсаторная и кабельная техника
Охлаждение изолированного провода
Влияние параметров технологического режима охлаждения изолированной жилы на процесс с применением метода математического моделирования и числовых методов. Определение температуры поля в сечениях проводника и изоляции для выбора рационального режима.
Методом четвертых разностей
Прогнозирование изменения величины сигнала путем построения кривой. Сопоставление различных вариантов развития процесса с применением анализа графиков, построенных на базе полученных данных. Графическое обобщение нескольких вариантов развития процесса.
Численные методы
Интерполяционная схема Эйткина. Связь конечных разностей и производных. Распространение ошибки исходных данных при вычислении конечные разности. Свойства разделенной разности. Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов. Полином Лагранжа.
Приближенное решение интегрального уравнения
Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
Закономерность распределения простых чисел (дополнение)
Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.
Метод конечных разностей или метод сеток
ВВЕДЕНИЕ Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Численные методы 4
ЛЕКЦИЯ №5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана система вида: (5.1) f'(x)= - производная Частная производная - вектор (все значения).
Методы коллокаций и Галеркина
Метод коллокаций - определение функции, удовлетворяющей линейное дифференциальное уравнение и линейные краевые условия. Определение коэффициентов конечной суммы в выражении для приближенного решения дифференциального уравнения методом Галёркина.
Метод конечных разностей или метод сеток
Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
Методы коллокаций и Галеркина
Метод коллокаций Пусть необходимо определить функцию , удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению (2.50) и линейными краевыми условиями
Аппроксимация функций 2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Авиа- и ракетостроение» Специальность 160801- «Ракетостроение»
Аппроксимация функций
Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
Метод конечных разностей
Ознакомление с аналоговым и дискретным вариантами реализации фильтра. Определение конечных разностей первого и второго порядков функции. Программная реализация и график исследуемой функции. Рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения.
Методология истории
План Введение 1 Методы исторического исследования Список литературы Введение Методология исторической науки (истории) — специальная историческая дисциплина, которая определяет предмет и объект исторической науки, цель научного исторического познания, изучает научный и социальный статус исторической науки, её дисциплинарное строение, разрабатывает теорию исторического познания (включая общефилософские, гносеологические и эпистомологические основы, принципы, уровни, виды и методы исторического познания).
Ценообразование 6
Ценообразование — установление цен, процесс выбора окончательной цены в зависимости от себестоимости продукции, цен конкурентов, соотношения спроса и предложения и других факторов.
Буль (Boole), Джордж
Его работы «Трактат о дифференциальных уравнениях» (1859г.) и «Трактат о вычислении предельных разностей» (1860г.) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля.