Содержание работы:
1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца:
a) ;
b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;
c) ;
d) .
3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.
Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу :
.
Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет
или
.
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn
вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
.
Напишем теперь тождество:
,
откуда
.
Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’
. Если при этом взять N’
>N, то для n>N’
, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.
Примеры:
1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn
и xn
, причем варианта xn
возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному
отношению
(ибо здесь предел уже конечен
), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.
2. При а>1
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если варианта an
имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn
).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn
=a1
+a2
+…+an,
yn
=n,
Имеем:
Например, если мы знаем, что ,
то и
4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
,
которая представляет неопределённость вида .
Полагая в теореме Штольца
xn
=1k
+2k
+…+nk
, yn
=nk+1
,
будем иметь
.
Но
(n-1)k+1
=nk+1
-(k+1)nk
+… ,
так что
nk+1
-(n-1)k+1
=(k+1)nk
+…
и
.
5. Определим предел варианты
,
представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :
.
Полагая xn
равным числителю этой дроби, а yn
– знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим
.
Но ,
а ,
так что, окончательно,
.
Пример 1.
====== ===.
Пример 2.
=
==
==
==
==
==
=.
Пример 3.
=
=.
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.
Теорема.
Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk
, g(xk
+1)>g(xk
), т.е. функция возрастающая.
Тогда,
если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
.
Тогда, по определению предела
или
.
Значит, какой бы ни взять, все дроби
, , …,
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn
) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при
.
Напишем тождество(которое легко проверить):
,
Откуда
.
Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.
Примеры:
Найти следующие пределы:
1. очевидна неопределенность
===2
2. неопределенность
====0
3. неопределенность
===
Литература:
1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.
Другие работы по теме:
Гончаров и. а. - Роль художественной детали в романе обломов
Роман И. А. Гончарова “Обломов” - это роман о движении и покое. Автор, раскрывая суть движения и покоя, использовал множество различных художественных приемов, о которых было и будет сказано немало. Но часто, говоря о приемах, использованных Гончаровым в его произведении, забывают о немаловажном значении деталей.
Гончаров и. а. - Идеальный женский характер в представлении и. гончарова
И. А. Гончаров в своем романе исследует человеческую натуру, и если в образах Обломова и Штольца мы найдем как бы две крайности (сердечность, но пассивность и активность в ущерб душе), то в образе Ольги Ильинской, с моей точки зрения, воплотились не только лучшие черты русской женщины, но и все лучшее, что видел писатель в русском человеке.
Гончаров и. а. - Комическое и трагическое в романе и. гончарова обломов
Я считаю что. Обломов Гончарова это роман трагикомедия в нем много трагического но немало и комических сцен где автор смеется во весь голос. Трагичен в какой то степени и Штольц. На первый взгляд это новый прогрессивный почти идеальный человек но он скучен и жалок в своей искусственности.
Теорема 15.2
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство . Пусть данная прямая и @ — данная плоскость. По аксиоме I существует точка
Теорема Наполеона
Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Тригонометрия
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1=0,n11n12n13…n1k… m1О{0,1,…,9}{9,n11}
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Межа послідовності. Теорема Штольца
Теорія межі послідовності й межі функції як один з розділів математичного аналізу. Поняття межі послідовності, огляд характерних прикладів обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, специфіка теореми Штольца й приклади її застосування.
Предел последовательности. Теорема Штольца
Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.
Размышления над страницами романа Обломов
Осенний вечер. Дома никого нет, и я читаю роман Гончарова. Странный все-таки герой — Илья Ильич Обломов. Он терпеливо сносит все удары судьбы, смиряется с постоянными недородами в деревне и ленью Захара, с тем, что его постоянно обманывают, обкрадывают, злоупотребляют присущей ему добротой. Он не стремится добиться богатства, славы, положения в обществе.
Встреча Обломова со Штольцем
Главной задачей своего романа «Обломов» Гончаров считал поиск подлинно человеческой «нормы» бытия, утраченной в современном мире, и героя, отвечающего этой «норме». Но особенностью воплощения этого авторского замысла стало то, что «артистический идеал» личности оказывается недостижим. Он как бы распадается на две части, два основных образа — Обломова и Штольца, которые изображаются на основе принципа антитезы.
Андрей Штольц как человек действия
В романе «Обломов» И.А. Гончаров отразил часть современной ему действительности, показал характерные для того времени типы, образы, исследовал истоки и суть противоречий в русском обществе середины XIX века.
Комическое и трагическое в романе И. Гончарова Обломов
Автор: Гончаров И.А. Дарование Гончарова-романиста раскрылось в “Обломове” во всем своем богатстве. Мне кажется, что роман можно назвать трагикомедией: в нем много трагического, но немало и комических сцен, где автор смеется во весь голос. Смешное и трагическое переплетается, подчеркивая друг друга, образуя глубину произведения.
Анализ эпизода прощания Штольца с Обломовым
Автор: Гончаров И.А. Сцена занимает место под конец произведения – конец четвёртой части. В ней подводятся итоги произошедшего в романе. Обломов прожил долгую жизнь: прожил детство, прожил молодость, прожил старость, ни разу не отступив от своего стиля жизни, и этот эпизод показывает итоги его жизни, то, к чему привела его жизнь, к чему должна была привести такая жизнь, кто виноват в том, что она такая, и справедлив ли её конец.
Кто нужен России: Обломов или Штольц
России нужен современник, больше похожий на Штольца, развитый физически, обладающий созидательным умом, творческой энергией и душевной добротой Обломова.
Каковы жизненные идеалы Штольца по роману И.А. Гончарова Обломов
Каковы жизненные идеалы Штольца? (по роману И.А. Гончарова "Обломов") Автор: Гончаров И.А. В романе И.А.Гончарова «Обломов» Андрей Штольц является антиподом Обломова. Каждая черта Штольца - вопиющий протест против качеств Обломова. Первый любит активную и интересную жизнь, второй часто впадает в апатию, он, словно улитка, которая боится вылезти из панциря.
Сюжетные антитезы в романе Обломов
Сюжетные антитезы в романе "Обломов" Автор: Гончаров И.А. 1. Обломов – Штольц. 2. Обломов – Ольга Ильинская Штольц – не положительный герой романа, его деятельность иногда напоминает деятельность Судьбинского из презираемого Штольца Петербургского окружения Обломова: работать, работать, еще раз работать, как машина, без отдыха, развлечений и увлечений.
Андрей Штольц как антипод Обломова
Обломову противопоставлен в романе Андрей Штольц. Первоначально он мыслился Гончаровым как положительный герой, достойный антипод Обломову. Автор мечтал, что со временем много "Штольцев явится под русскими именами".
Образ Андрея Штольца
Автор: Гончаров И.А. Кто такой Штольц? Гончаров не заставляет читателя ломать голову над этим вопросом. В первых двух главах второй части идет подробный рассказ о жизни Штольца, о тех условиях, в которых формировался его деятельный характер. «Штольц был немец только вполовину, по отцу; мать его была русская; веру он исповедовал православную, родная речь его была русская…».
Нужно ли перевоспитывать Обломова?
Сочинение на тему - следует ли перевоспитывать Обломова и Штольца – главных героев романа Гончарова "Обломов". Автор приходит к выводу, что образ жизни – его сугубо личное дело и перевоспитывать Обломова и Штольца не только бесполезно, но и негуманно.