Контрольная
работа
«Элементы
алгебры и геометрии»
Вариант
9
Задание № 19
Решить систему трех уравнений с
тремя неизвестными при помощи определителей.
Найдем определитель матрицы А:
Δ(А) = =
= 2 ∙ 1 ∙6 + (-3)
(-2) ∙3 + 1 ∙ 1 ∙ (-2) – 1 ∙ 1 ∙ 3 – (-3) ∙
1 ∙ 6 – 2 (-2) ∙ (-2) =
= 12 + 18 – 2 – 3 + 18 – 8 = 48
– 13 = 35
Δ(А) = 35
Найдём Δ1, Δ2,
Δ3
Δ1 = =
= 3 ∙ 1 ∙ 6 + (-3)
(-2) ∙ 0 + 1 ∙ 4 ∙(-2) – 0 ∙1 ∙ 1 – 4 ∙
(-3) ∙ 6 – 3 (-2) (-2) =
= 18 + 0 – 8 – 0 + 72 – 12 = 90
– 20 = 70
Δ2 (А) = =
= 2 ∙ 4 ∙ 6 + 3 ∙
(-2) ∙ 3 + 1 ∙ 1 ∙ 0 – 3 ∙ 4 ∙ 1 – 1 ∙ 3 ∙
6 – 2 ∙ 0 ∙ (-2) =
= 48 – 18 + 0 – 12 -18 – 0 = 0
Δ3 = =
= 2 ∙ 1 ∙ 0 + (-3) 4
∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙(-2) – 3 ∙1 ∙ 3 – 1 ∙ (-3) ∙
0 – 2 ∙ (-2) 4 =
= 0 – 36 – 6 – 9 + 0 + 16 = – 20
– 15 = – 35
Найдем корни:
Ответ: 2; 0; –1
Задание № 40
Исследовать данную систему
уравнений на совместность и решить её, если она совместна.
Запишем матрицу А и найдем ранг
матрицы А:
Поменяем местами первую и вторую
строки:
Первую строку умножим на 3 и
вычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью:
Вычтем из второй строки –
третью:
Ранг матрицы
Запишем расширенную матрицу
Найдем определитель расширенной
матрицы. Поменяем местами первую и вторую строки:
Умножим первую строку на 3 и
вычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью:
Вычтем из второй строки третью:
Ранг расширенной матрицы
Ранг расширенной матрицы системы
не равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений).
Задание № 54
Даны
координаты точек А (х1;у1) и В (х2;у2)
и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат.
Требуется:
1)
составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В;
2)
найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;
3)
найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;
4)
построить эллипс и окружность.
Решение:
1. Общий
вид канонического уравнения эллипса:
Подставим координаты точек А и В
в общее уравнение:
Подставляем найденные переменные
в общее уравнение эллипса:
2.
Полуоси:
3.
Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8,
найдем решив систему уравнений:
Получили четыре точки
пересечения эллипса с окружностью:
4.
Задание № 69
Дано: вершины пирамиды АВСD
1.
Записать векторы в системе орт и найти их
модули:
А (3; 3; –3); В (7; 7; –5); С
(5; 14; –13); D (3; 5; –2).
= (7 – 3; 7 – 3; –5 + 3) =
(4; 4; –2)$
;
= = 6;
= (5 – 3;
14 – 3; –13 + 3) = (2; 11; –10);
= 2i +
11j – 10k;
= 15;
= (3 – 3; 5 – 3; –2 + 3) =
(0; 2; 1);
= =
2.
Найти угол между векторами и :
3.
Найти проекцию вектора на вектор :
Найти площадь грани АВС:
=
;
Найти объем пирамиды ABCD:
= =
Задание № 93
Даны координаты точек А, В, С,
М:
А (5; 4; 1); В (–1; –2; –2); С
(3; –2; 2); М (–5; 5; 4).
1.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С:
= 0;
= 0;
(x – 5)( – 6 –
18) – (y – 4)( – 6 – 6) + (z – 1)(36 – 12) = 0;
– 24(x – 5) +
12(y – 4) + 24(z – 1) = 0;
– 2(x –
5) + (y – 4) + 2(z – 1) = 0;
–2x + 10
+ y – 4 + 2z – 2 = 0;
–2x + y + 2z + 4 = 0 – уравнение плоскости Q.
2.Составить каноническое
уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q:
Подставим координаты точки М
(–5; 5; 4) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q
(–2; 1; 2) в каноническое уравнение прямой:
3.Найти точки пересечения
полученной прямой с плоскостью Q и с координатными
плоскостями хОу, уОz, xOz:
пусть
Где t –
некоторый параметр, тогда уравнения прямой можно записать так:
Подставим данные выражения в
уравнение плоскости Q и найдем параметр t:
Подставим значение параметра t в уравнения и найдем координаты точки пересечения:
Итак, координаты точки P, точки пересечения полученной во втором пункте прямой и
плоскости Q: Р.
Р1 – точка
пересечения прямой с с хОу: z = 0;
P1
(2,6; 1,2; 0).
P2
– точка пересечения прямой с уОz: x
= 0;
P2
(0; 1,6; 2,8).
Р3 - точка
пересечения прямой с xOz: y =
0;
;
P3
(0,5; 0; 1,5).
Найти расстояние от точки М до
плоскости Q:
т.к. прямая МР перпендикулярна
плоскости Q, точка Р принадлежит плоскости Q, то расстояние между точками М и Р и будет расстоянием от
точки М до плоскости Q.
Производная и дифференциал
Задание № 114
Найти пределы:
Разложим на множители и
числитель и знаменатель:
Задание № 135
Функция у задана различными
аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х.
1.
Найти точки разрыва функции, если они существуют.
Данная функция определена и
непрерывна в интервалах ( При и меняется аналитическое выражение
функции и только в этих точках функция может иметь разрывы.
Определим
односторонние пределы в
Т.к.
односторонние пределы в не совпадают, значит разрыв
I рода.
Определим
односторонние пределы в точке:
Т.к.
односторонние пределы в точке совпадают, значит функция
в точке непрерывна.
2. Найти
скачок функции в точке разрыва:
точка разрыва
Задание № 198
Найти приближенное значение
указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.
или
Задание № 156
Найти производные пользуясь формулами
дифференцирования:
Задание №240
Исследовать функцию методами
дифференциального исчисления.
Начертить график.
План исследования:
1.найти область существования
функции;
2.исследовать на непрерывность,
найти точки разрыва и её односторонние пределы в этих точках;
3. исследовать на четность,
нечетность;
4. найти точки экстремума, интервалы
возрастания, убывания функции;
5. найти точки перегиба,
интервалы выпуклости и вогнутости;
6.асимптоты, если они есть;
7. построить график.
Задание № 272
Требуется поставить палатку в
форме правильной четырехугольной пирамиды с заданной боковой поверхностью . Каковы должны быть
размеры палатки (сторона а и высота h) чтобы
вместимость палатки была наибольшей.
Решение:
Вместимость палатки – это объем
палатки. Объем правильной пирамиды находится по формуле где а – сторона квадрата (основание
пирамиды), h – высота пирамиды.
Выразим высоту пирамиды через
сторону квадрата:
Другие работы по теме:
Васильев Николай Александрович
Васильев Николай Александрович- логик, психолог, философ. Профессор Казанского университета с 1918. Предвосхитил конструктивизм в логике /неуниверсальность закона исключенного третьего/.
работа
Челябинский институт путей сообщения – филиал государственного образовательного учреждения
Методические рекомендации по подготовке к олимпиадам по математике учащихся 9 классов
Скудина Наталья Федоровна cherlakmg@mail Учитель математики МОУ «Черлакская муниципальная гимназия» Черлакского муниципального района Данные методические рекомендации адресованы учителям математики для подготовки учащихся 9 классов к олимпиаде. Представленный материал включает перечень основных математических понятий, знание которых необходимо участникам олимпиады, а также основные умения и навыки, которые должны быть сформированы у учащихся.
: «Фузионизм в преподавании геометрии»
Актуальные проблемы обучения математике (К 150-летию со дня рождения А. П. Киселева). Т. 1: Материалы Всероссийской научно практической конференции. Орел: Изд-во огу, 2002. – 351 с
Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
Метод Гаусса
Методические рекомендации по выполнению заданий методом гауса. Примеры выполнения заданий.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Непрерывная, но не дифференцируемая функции
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
Восьмиэлементные ассоциативные кольца
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Происхождение геометрии
Text Text Graphics Происхождение геометрии Работа ученицы 7 «Б» класса Нурмиевой Людмилы Graphics Содержание Почему возникла геометрия? Евклид – основатель геометрии
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Штейнер Якоб
(Steiner Jacob) тейнер Якоб (18.3.1796-1.4.1863)-немецкий математик. Член Берлинской Академии Наук (1834г.). Родился в Утценсторфе (Швейцария). Окончил Гейдельбергский университет (1821г). Преподавал математику в Берлинском городском промышленном училище (1825-1835гг). Профессор математики Берлинского университета (с 1835г).
График
Связи между алгеброй и геометрией были известны еще древним математикам. Например, длина отрезка выражается числом, а ведь отрезок — геометрическая фигура, тогда как числа изучаются в алгебре.
Тригонометрические функции 2
Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника, является разделом геометрии , тригонометрические функции являются объектом изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения изучаются методами алгебры.
Задачи по Математике 2
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0
История развития геометрии
Text Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры.
Восьмиэлементные ассоциативные кольца
Абелевы группы по сложению. Кольца, образованные аддитивной группой ZxZ. Кольца, образованные аддитивной группой ZxZxZ. Подкольца поля комплексных чисел и кольца классов вычетов целых чисел. Теория ассоциативных колец.
Созвездия Наугольник, Секстант и Октант
Каких-либо иных, столь же четко "вычерченных" геометрических фигур на небе не найти. С некоторой натяжкой к небесной геометрии можно отнести созвездия, носящие названия угломерных навигационных приборов.
Стихотворение Книги-наши друзья
Стихотворение "Книги-наши друзья" Автор: Сочинения на свободную тему Все задают себе вопрос, Кто просто шутит, кто всерьез: “Зачем нам книги на Земле?
Сочинение про мою классную руководительницу
Автор: Сочинения на свободную тему Получив свободу выбора кандидатур для описания, я долго не мог остановиться на ком-либо одном. Все наши учителя - яркие личности. Изрядно подумав, я решил, что лучшего преподавателя, чем Нина Яковлевна, не найти. Ведь не каждому повезло учить математику при столь благоприятных условиях.
Квадривиум
Квадри́виум , или квадри́вий (лат. quadrivium — «четырёхпутье») — повышенный курс светского образования (следующий за тривием) в средневековых школах и университетах. Квадривий состоял из 4 дисциплин: арифметики (считалась базовой дисциплиной), геометрии, астрономии и музыки (подразумевается наука гармоника, а не «искусство звуков» и т.п.).
Авраам бен-Хия
(ивр. אברהם בר חייא, лат. Abraham Judaeus; 1065—1136) — еврейский математик и астроном, живший в Барселоне. Латинизированное имя
Саккери, Джироламо
Джироламо Саккери (итал. Giovanni Girolamo Saccheri; 1667—1733) — итальянский математик, иезуит, создатель первого наброска неевклидовой геометрии.
Крамп, Кристиан
Кристиа́н (Кретье́н) Крамп (фр. Christian Kramp, 8 июля 1760, Страсбург — 13 мая 1826, там же) — французский математик (эльзасец). Известен работами по теории чисел, геометрии, математической кристаллографии, алгебре и механике. Предложил общепринятое обозначение n! для факториала.
Колумб Христофор
Колумб Колумб (лат. – Columbus, итал. - Colon) Христофор; (26.08. 31.10.1451 -20.05.1506 .) – мореплаватель. Отец Колумба занимался суконным ремеслом и торговлей вином; в юности сын, по- видимому, пошел по стопам отца. Неизвестно, где и у кого он учился, но получил основательные познания в области геометрии, астрономии, географии, освоил искусства составления карт.
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения
Эварист Галуа
За пять лет до гибели Пушкина сходная смерть на дуэли унесла молодого француза " Эвариста Галуа. Его мало кто знал. К 20 годам он успел только поступить в Высшую Нормальную школу (это педагогический университет в Париже).
Александров Александр Данилович
Основатель современной школы геометрии в целом. Основные труды Александрова относятся к геометрии, где он открыл методы изучения метрических свойств фигур, породившие новый объект исследования — нерегулярные метрические многообразия