Практическая работа
На тему: «Вычисление наибольшего, наименьшего значения
функции в ограниченной области»
Цель
1. Ознакомление и
приобретение навыков вычисления наибольшего, наибольшего значения функции в
ограниченной области.
Основные вопросы:
1.Наибольшее и
наименьшее значение функции.
2.Ограниченная область.
3.Равномерно
непрерывная функция.
Если
функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной
области D, то в этой области найдется, по крайней мере, одна
точка
N(x0, y0, …), такая,
что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая,
что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее
значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее
значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по
крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена
и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m –
соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для
любой точки m Î [m, M] существует
точка
N0(x0, y0, …) такая, что
f(x0, y0, …) = m.
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все
промежуточные значения между M и m. Следствием
этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков,
то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …),
непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена
в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно
неравенство
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена
и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно
непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e
существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2,
у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено
неравенство
Точки, в которых
функция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутой
области, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Если
наибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, то
это точки локального экстремума функции z = f ( x , y ) . Таким образом точки,
в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо
локальными экстремумами, либо граничными точками области. Следовательно, чтобы
найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x , y ) в ограниченной
замкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точках
области D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе. Если
граница задана уравнением ϕ ( x , y ) = 0 ,
то задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на границе
области D сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютного
экстремума) функции одной переменной, так как уравнение границы области D - ϕ
( x , y ) = 0 связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешить
уравнение ϕ ( x , y ) = 0 относительно одной
из переменных или параметрические уравнения границы области D и подставить их в
уравнение z = f ( x , y ) , то придем к задаче нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции одной переменной. Если уравнение ϕ
( x , y ) = 0 невозможно разрешить относительно одной из переменных или
невозможно найти параметрическое задание границы, то задача сводится к
отысканию условного экстремума.
Правило нахождения наибольшего
и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит
в следующем:
1. Найти все
критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в
них;
2. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;
3. Сравнить все
найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее.
Задачи:
1.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху
в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х =
1, х = 2, у = -1,5
Решение: Здесь z'x=2ху+у2+у,
z'y=х2+2ху+х.
Находим все критические
точки:
Решением системы
являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек
не принадлежит области D .
2.
Исследуем
функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА
На участке АВ:
Значения функции z(-1)
= -1,
На участке ВС:
Значения функции z(1) =
3, z(2) = 3,5.
На участке СЕ:
z'y=4у+6,
4у+6=0, у=-3/2.
Значения функции
На участке АЕ:
Значения функции z(1) =
-3/4,z(2) = -4,5.
3.
Найти
наибольшее M и наименьшее m значения функции z
= 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x
= 0, y = 0, 4x+3y=12 .
Решение
1. Построим область D
(рис. 1.5) на плоскости Оху.
Угловые точки: О (0;
0), В (0; 4), А (3; 0).
Граница Г
области D состоит из трёх частей:
Примеры:
1. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = х2у + ху2 + ху в
замкнутой области, ограниченной линиями: х = 1, х = 2, у =
1,5
2. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в замкнутой области
D, ограниченной осью OY, прямой y = 2 и параболой y = x 2 при x ≥ 0
.
3. Найти наибольшее M и
наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D,
ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .
4. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой
области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у =
-1,5
5.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции в
треугольнике, ограниченном прямыми ,
,
.
Другие работы по теме:
Однофакторный дисперсионный анализ 3
дисперсионный анализ. Вариант 1. 10. Двух и трёх факторные Д. А. Содержание задания. Определить влияние времени откачки и напряжения на нагревателе насоса на давление внутри вакуумной камеры (р). Выбраны три уровня для времени откачки и два значения напряжения.
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Метод хорд
Министерство образования и науки РФ Рязанская Государственная Радиотехническая Академия Кафедра САПР ВС Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине ,,Информатика”
Математический анализ
Определение функции нескольких переменных, Нахождение частных производных, Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных
Вычисление корней нелинейного уравнения
Нахождение нулей функции графическим методом. Вычисление корней уравнения при помощи вычислительных блоков Givel и Root. Поиск экстремумов функции. Разложение функции в степенной ряд.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Теоретические сведения о функциях
Глава 1. 1.3. Числовые функции 1.3.1. Понятие числовой функции Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой.
Математические последовательности. Предел функции
Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Описание внешности человека по картине И. Ижакевича Мама идет
Иван Ижакевич правдиво передал ситуацию из крестьянской жизни: родители пошли на работу, а наименьшего ребенка оставили со старшей сестренкой. Я думаю, что уже вечер, потому что дети, чувствуя, что скоро вернется домой мама, вышли ее встречать. А может, она уже спешит к детям, потому их глаза и личика засияли радостью.
Фильтр скользящего среднего
Программная реализация фильтра. Аналоговый и дискретный варианты реализации фильтра скользящего среднего, схема фильтрации. Реализация вычислений среднего значения функции в заданном интервале времени. Описание амплитудно-фазовой характеристики фильтра.
Работа в среде Visual Basic
Создание приложения для вычисления значений функций и определение суммы этих функций: эскиз формы, таблица свойств объекта, список идентификаторов и непосредственные коды процедур. Результаты вычислений и выводы, проверка работы данной программы.
Для чего нужна процедура Function?
Функция выполняет служебное действие, например вычисление, и возвращает значение. Вызвать функцию можно, написав её имя и передав ей аргументы, в нужном месте вашей программы.
Расчет задач вычислительных систем
Алгоритм и программа вычисления функции на параллельной структуре. Разложение функции в ряд Маклорена. Однопроцессорный и многопроцессорный алгоритмы решения. Программа на Паскале. Размер буферной памяти между звеньями. Матрица вероятностных переходов.
Расчет задач вычислительных систем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ” Кафедра “Обчислювальна техніка та програмування”
Метки. Оператор GOTO. Процедура Halt
С.А. Григорьев Операторы в Паскале могут быть помечены. Метки - это идентификаторы, или целые числа от 0 до 9999, они могут записываться перед любым выполняемым оператором и отделяются от него двоеточием. Оператор может иметь любое количество меток. Все метки, использованные в программе, должны быть описаны в разделе описаний с ключевым словом LABEL.
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Пояснительная записка к курсовой работе
Содержание 1. Программирование нестандартных функций --------------------------------------------------- 5 1.1. Постановка задачи -------------------------------------------------------------------------- 5
Работа в среде Visual Basic
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский Государственный Университет» социально-экономический факультет