Математические последовательности Предел функции

Рефераты по математике » Математические последовательности Предел функции

Задание 1


Вычислите и последовательности .

Решение.

Рассмотрим последовательность .

для любого натурального

Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность имеет верхнюю точную грань: .



Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань последовательности не существует.

Ответ. не существует


Задание 2


Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что .

Доказательство.

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует номер такой, что при выполняется неравенство .

Используя определение предела последовательности, докажем, что .

Возьмем любое число .

Если взять , то для всех будет выполняться неравенство . Следовательно, .

Доказано


Задание 3


Пользуясь определением предела функции, докажите, что .

Доказательство

Число называется пределом функции при , если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Используя определение предела функции, докажем, что .

Возьмем любое .



Положим .

Если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно, .

Доказано.


Задание 4


Вычислите предел .

Решение.


Ответ.


Задание 5


Вычислите предел .

Решение.



Ответ.


Задание 6


Вычислить предел .

Решение.

Ответ.


Задание 7


Вычислить предел .

Решение.



Ответ.


Задание 8


Вычислить предел .

Решение



Ответ.


Задание 9


Вычислить предел .

Решение.



Ответ.


Задание 10


Вычислить предел .

Решение.



Ответ.


Задание 11


Вычислить предел .

Решение.



Ответ.


Задание 12


Вычислить предел .

Решение.



Ответ.


Задание 13


Вычислить предел .

Решение.



Ответ.


Задание 14


Вычислить предел .

Решение.



при функция является бесконечно малой

для любого функция является ограниченной.

Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция является бесконечно малой при . Это означает, что .



Ответ.