на промежутке от 0 до 1
Эта функция имеет и много других названий: функция Томе (примеч. Carl Johannes Thomae (1840 – 1921) — немецкий математик), модифицированная функция Дирихле, поп-корн (popcorn) функция, функция дождевых капель (raindrop), функция счетных облаков (countable cloud), функция линейки (ruler) или Звезды над Вавилоном (Stars over Babylon).
Функция Римана является простейшим примером функции, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных точках. Эта вещественнозначная функция одной переменной определяется так:
(здесь дробь несократима).
Докажем, что функция Римана непрерывна во всех иррациональных точках. Действительно, для данного иррационального числа и произвольного рассмотрим множество
.
Если , то — рациональное число вида , где , дробь несократима и . Из ограничения на следует, что пересечение множества и промежутка состоит из конечного числа точек. Таким образом, мы можем выбрать окрестность точки так, чтобы в ней не содержалась ни одна точка множества . А если , то . Отсюда следует доказываемое.
Теперь докажем, что функция Римана разрывна во всех рациональных точках. Действительно, существует хотя бы одно иррациональное число сколь угодно близко к любому рациональному числу. Тем самым, мы можем выбрать последовательность иррациональных чисел, стремящуюся к данному рациональному числу. Тогда предел соответствующих значения функции (для членов данной последовательности) будет равен нулю, что отличается от значения функции и данной точке.
Интересно, что функции, непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных точках, не существует.
Другие работы по теме:
Место и роль философии в культуре 3
3. место и роль философии в культуре Назначение и функции философии в культуре Во-первых, философия проявляет самые распространенные идеи, представления, формы опыта, на которых базируется культура и общественная жизнь в целом. Эти общие идеи, являющиеся граничными основами культуры, называют универсалиями культуры.
Комплексный анализ
Поле комплексных чисел. Топологии в С (открытость, замкнутость, связность). Отображения в С (пути, кривые, функции комплексного переменного).
Теорема Дирихле
Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.
Премия института Клэя
Математическим институтом Клэя в Кембридже, штат Массачусетс (CMI) определены семь задач, за решение которых дается премия. Были отмечены некоторые из наиболее сложных проблем, с которыми математики бились на рубеже второго тысячелетия.
Теорема Дирихле
Содержание 1.1 Определение характера. Основные свойства характеров 3 1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности 6 1.3 Характеры Дирихле 8 Введение
Экстремумы функций 2
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений.
Дзета функция Римана
Министерство образования Российской Федерации Ставропольский Государственный университет Кафедра математического анализа Курсовая работа на тему :
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Шпаргалка по Математике 4
наз. сходящимся, если сходимости ЧР: // Если ряд сходится, то 3. Интегральный ПК сх.Р: 5. Признак Коши: 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля:
Интеграл Лебега
ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Курсовая работа на тему:
Дуальные числа
Определение дуальных чисел. Свойства дуальных чисел. Функция и дифференциал функции. Аналог уравнений Коши-Римана. Оператор дифференцирования в области дуальных чисел.
Интеграл Лебега
ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Курсовая работа на тему:
Интеграл Стилтьеса
Министерство образования Российской Федерации Костромской государственный университет имени Некрасова Курсовая работа По математическому анализу
Гамма функции
Бэта-функции Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода: (1.1) сходятся при .Полагая =1 – t получим: т.e. аргумент входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле
Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
Регер, Макс
Иоганн Баптист Иозеф Максимилиан Регер (нем. Johann Baptist Joseph Maximilian Reger 19 марта 1873 — 11 мая 1916) — немецкий композитор, дирижер, пианист, органист и педагог.[1]
Индексирование
Чтобы задать смысл индексов для объектов класса используется функция operator[]. Второй параметр (индекс) функции operator[] может быть любого типа. Это позволяет определять ассоциативные массивы и т.п.
Считаем время выполнения скрипта
Вы наверняка замечали на некоторых сайтах внизу страницы надпись, что мол скрипт выполнен или страница создана за столько-то секунд. И сейчас мы сделаем это средствами PHP.
Построение геометрических тел с помощью библиотеки OpenGL
Создание программы, с помощью библиотеки OpenGL рисующей проволочный чайник с поворотом рисунка вокруг осей X, Y, Z. Построение отрографической проекции. Установка области отображения. Функция обработки сообщений с клавиатуры. Главный цикл приложения.
Белки
Это линейные биополимеры состоящие из периодических мономеров (альфа аминокислот). Все 10 000 белков образованы 20 аминокислотами.
