XIV муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения »
Изучение методов
интерполяции и аппроксимации
Выполнила учащаяся группы ФМ3.2
Сарманова Снежана Геннадьевна
Научный руководитель: Бородкин
Дмитрий Константинович,
преподаватель информатики Лицея №2
г.Ангарск, 2009
Содержание
Аннотация……………………………...…………………………………………………....3
Цель, задачи……………………………………………………………………...……….....3
Введение………………………………………………………………………..…….……...4
Линейная интерполяция………………………………………………………....……...….5
Теория ………………………………………………………………………….........5
Блок-схема……………………………………………………………...……………6
Текст программы……………………………………………………………..….….7
Пример…………………………………………………………………..……….…..7
Квадратичная интерполяция………….………………………………………..…………..8
Теория…………………………………………………………………….……….. 10
Блок-схема…………………………………………………………….....…………11
Текст программы…………………………………………………………….……..12
Пример……………………………………………………………………………...13
Инструкция по работе с программами……………............................................................16
Заключение…………………………………………………………………………………17
Список литературы………………………………………………………………………...18
Аннотация
В данной работе излагаются основные численные методы решения математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов.
Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших.
Данная работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами.
Цель работы: разработать программы вычисления значений функции f(x) для значений х, не содержащихся в таблице.
Задачи:
Изучить и проанализировать научную, справочную литературу
Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени
Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы
Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0
Гипотеза: создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными расчетами.
Введение
Если задана функция y (x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.
Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) 
φ(х). Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а={а1, а2, …, аn} и соответствующим их выбором. В этом случае используются такие понятия как, аппроксимация и интерполяция.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x) в точках x, лежащих между точками x0 по известным значениям yi = f( xi) (где i = 0,1,..., n). Если x лежит вне интервала ( x0, xn), аналогичная процедура называется экстраполяцией.
Основная цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(x) для значений х, не содержащихся в таблице.
АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь) - замена одних математических объектов (например, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например, кривых линий близкими к ним ломаными).
Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная.
Линейная интерполяция
Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки ( хi, уi) ( i=0, 1, …, n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х) приближается ломаной с вершинами в данных точках.
Рис. пример интерполяции
Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется n интервалов ( хi-1 , хi), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( хi-1 , уi-1 ) и (хi , yi), в виде
= 
Отсюда
y= aix + bi ; xi-1 ≤ x ≤ xi , (1)
, bi= yi-1 – aixi-1 .
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке.
Данный алгоритм представлен на рисунке
Нет
Да
a= (y[i] – y[i-1]) /
(x[i] – x[i-1])
Нет
b= y [i-1] – a*x[i-1]
y= a*xр + b
Текст программы:
Program interpol;
Const N=3;
Var x: array [1..N] of real;
y: array [1..N] of real;
a, b, xр, yр : real;
i: integer;
begin
for i:=1 to N do
begin {ввод данных через массивы}
writeln (‘x[‘,i,’]=’);
readln (x[i]);
writeln (‘y[‘,i,’]=’);
readln (y[i]);
end;
write (‘vvedite x=’); {ввод промежуточного значения}
readln (xр);
for i:=2 to N do
if (x[i-1]<=xp) and (xp<=x[i-1]) then
begin
a:= (y[i] – y[i-1]) / (x[i] – x[i-1]);
b:= y [i-1] – a*x[i-1];
yр:= a*xр + b
else writeln (‘ekstrepolyazia’);
readln;
end;
writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}
readln;
end.
Пример. Найти значение функции y=f(x), изображенной на рисунке, при х=1
Воспользуемся формулой линейной интерполяции(1). Значение х=1 находится между точками хi =2 и хi-1 = 0. Отсюда имеем
= 
bi= yi-1 – ai ٠xi-1 = 4 – 0.5٠0=4
у= а٠хр +b = -0.5 ٠1 + 4 = 3.5
Результаты выполнения программы
На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных
Рис.1
На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов
Рис.2
Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol1.exe
Пример 2.
Если в два часа ночи температура воздуха была +10, а в шесть утра - +25,
то используя линейную интерполяцию можно предположить
что в три часа ночи температура воздуха была равна
(25 - 10) / (6 - 2) * (3 - 2) + 10 = 13.75
Квадратичная интерполяция
В качестве интерполяционной функции на отрезке [хi-1, xi+1] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической.
Уравнение квадратного трехчлена
y = aix2 + bix + ci , xi-1
xi xi+1 (2)
содержит три неизвестных коэффициента ai , bi , ci , для определения которых необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы (2) через три точки ( xi-1, yi-1),
(xi, yi), (xi+1, yi+1). Эти условия можно записать в виде
yi-1 = aix2i-1 + bixi-1 + ci
yi = aix2i + bixi + ci (3)
yi+1 = aix2i+1 + bixi+1 + ci
Данная система уравнений решается методом Крамера.
Определители:
Решение:
Алгоритм нахождения приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяции можно записать в виде структурограммы, как и для случая линейной интерполяции. Вместо формулы (1) нужно использовать (2) с учетом решения системы линейных уравнений (3). Интерполяция для любой точки x є [xo, xn] приводится по трем ближайшим к ней узлам.
Данный алгоритм представлен на рисунке
Да
delta= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i]
deltaA= x[i+1]*y[i]– x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1]
deltaB=x[i-1]*x[i-1]*y[i]–x[i+1] *x[i+1]*y[i]-y[i-1]*x[i]*x[i]+ y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1]
deltaC= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i]
a=delta/deltaA
b=delta/deltaB
c=delta/deltac
Yр:= a*xр*xр + b*xр +c
Program interpol2;
Const N=3;
Var x: array [1..N] of real;
y: array [1..N] of real;
a, b, c, xр, yр, deltaA, deltaB, deltaC, delta : real;
i: integer;
begin
for i:=1 to N do
begin {ввод данных через массивы}
writeln (‘x[‘,I,’]=’);
readln (x[i]);
writeln (‘y[‘,I,’]=’);
readln (y[i]);
end;
write (‘vvedite x’); {ввод промежуточного значения}
readln (xр);
for i:=2 to N do
if (x[i-1]<=xр) and (xр<=x[i-1]) then
begin {вычисления}
delta:= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i];
deltaA:= x[i+1]*y[i]– x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1];
deltaB:=x[i-1]*x[i-1]*y[i] – x[i+1]*x[i+1]*y[i]-
y[i-1]*x[i]*x[i] + y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1];
deltaC:= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i];
a:= delta/deltaA;
b:=delta/deltaB;
c:= delta/ deltaC;
yр:= a*xр*xр + b*xр +c;
end;
writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}
readln;
end.
Пример. Найти приближенное значение функции y = f (x) при x = 2.5, если известна следующая таблица её значений:
| x | 2 | 3 | 4 |
| y | 2 | 4 | 7 |
Найдем приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции (2) . Составим систему уравнений (3). С учетом ближайших к точке x = 2.5 узлов xi-1 = 2 , xi = 3, xi+1 = 4. Соответственно yi-1 = 2 , yi = 4 yi+1 = 7. Система (3) запишется в виде
22ai + 2bi + ci = 2;
32ai + 3bi + ci = 4
42ai + 4bi + ci = 7.
4 2 1
9 3 1 = 4٠3-4٠4 +2٠16 -2٠ 9 – 16٠3+ 4٠9= -2
16 4 1
2 2 1
4 3 1 = 2٠3 -2٠4 +2٠3 – 4٠2 - 7٠3 +2٠7 = -1
7 4 1
4 2 1
9 4 1 = 4٠4- 16٠4 -2٠9 + 7٠9 - 4٠7+16٠2= 1
16 7 1
4 2 2
9 3 4 =7٠4٠3 – 4٠4٠4 + 4٠2٠16 – 7٠2٠9 – 2٠16٠3 + 2٠4٠9= -2
16 4 7
; 
Решая эту систему, находим ai =0.5 , bi = -0.5, ci = 1. Искомое значение функции
y(2.5)2٠0.5 + 2.5٠(-0.5) + 12.875.
На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных
Рис.1
На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов
Рис.2
Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol2.exe
Инструкция по работе с программами
Исполнимые модули программ находятся в файле с именами interpol.exe и interpol2.exe, запускаются на выполнение в операционной системе ее средствами.
После запуска программы пользователь должен ввести исходные данные, как это показано на рисунке 1 (см. стр.8, 14) После ввода исходных данных программа производит вычисления и выводит результат на экран в том же окне, что и исходные данные, как это показано на рисунке 2(см. стр.9,15). Чтобы завершить работу программы, пользователь должен нажать любую клавишу.
Составленные программы решают задачу интерполирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Как показывает анализ результатов, вычисления, производимые программами, верны.
Заключение
В данной работе была изучена и проанализирована справочная литература, вследствие чего были выявлены два наиболее простых и удобных вида интерполяции – линейная и квадратичная; созданы программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0 для вычисления значений функции f(x) и разработан быстрый (экономичный) алгоритм решения этой функции, предоставленный в виде блок-схем.
Список использованных источников
Калиткин Н.Н.. Численные методы. – М.: Наука, 1982.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1977.
Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров.. М.: Бином, 1994
Самарский А.А. Численные методы. – М.: Наука, 1989.