Алгебра 10 класс Мерзляк профиль

А. Г. Мерзляк
Д. А. Номіровський
В. Б. Полонський
М. С. Якір
АЛГЕБРА
Підручник для 10 класу
загальноосвітніх навчальних закладів
Профільний рівень
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
Харків
«Гімназія
2010
УДК 373:512 ББК 22.141я721 М52 Від авторів
Любі десятикЛасники!
Ви починаєте вивчати новий шкільний предмет — алгебру
і початки аналізу.
Цей предмет надзвичайно важливий. Мабуть, немає сьогодні
Рекомендовано такої галузі науки, де б не застосовувалися досягнення цього розділу математики. Фізики та хіміки, астрономи та біологи, географи та економісти, навіть мовознавці та історики викори­ стовують «математичний інструмент».
Міністерством освіти і науки України
Алгебра і початки аналізу — корисний і дуже цікавий пред­
мет, який розвиває аналітичне і логічне мислення, дослідницькі навички, математичну культуру, кмітливість.
Ви зробили серйозний життєвий крок: вирішили продовжити
освіту в профільному класі, де математика вивчається на підви­ щеному рівні. Ми вітаємо вас з цим вибором і сподіваємося, що ви не розчаруєтеся у своєму рішенні.
Навчатися в профільному класі не просто. Потрібно бути напо­
легливим і завзятим, уважним і акуратним, при цьому найголов­ ніше — не бути байдужим до математики, а любити цю красиву науку. Сподіваємося, що ви з інтересом будете засвоювати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою.
Підручник розділено на п’ять параграфів, кожний з яких скла­
дається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним
М52 Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. шрифтом.
Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. загально­ Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом.
освіт. навч. закладів : Проф. рівень. — Х. : Гімназія, 2010. — 416 с.: іл. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується при­
кладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один з можливих зразків оформлення розв’язання.
ISBN 978­966­474­094­1.
УДК 373:512 До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв’я­
ББК 22.141я721 зування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особливо ті, які позна­ чено зірочкою (*)). Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі у тестовій формі з рубрики «Перевір себе».
Крім того, у підручнику ви зможете прочитати оповідання
© А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, з істо рії математики, зокрема про діяльність видатних українських математиків. Назви цих оповідань надруковано синім кольором.
В. Б. Полон ський, М. С. Якір, 2010
© Кулинич С. Е., художнє оформлення, 2010
ISBN 978­966­474­094­1 © ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет, 2010 Дерзайте! Бажаємо успіху!
3
Від авторів
ШаноВні коЛеги!
Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з підвищеним рів­
нем викладання математики — робота нелегка. Організація такого навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який фор­ мує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його в багатьох посібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається.
У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний ма­
теріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати не­ можливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зруч­ ніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.
Червоним кольором позначено номери задач, що рекоменду­
ються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач,
які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв’язувати усно.
Бажаємо творчого натхнення й терпіння.
Умовні позначення
завдання, що відповідають початковому і середньому рівням навчальних досягнень;
n°
n • завдання, що відповідають достатньому рівню на­ вчальних досягнень;
n •• завдання, що відповідають високому рівню навчаль­ них досягнень;
n* задачі для математичних гуртків і факультативів; задачі, у яких отримано результат, що може бути використаний при розв’язуванні інших задач;
? закінчення доведення теореми;
рубрика «Коли зроблено уроки».
§ 1. Множини. Операції над множинами 1. Множина та її елементи
1. Множина та її елементи Наприклад, 12 ∈ ?, –3 ∉ ?, 2 3 ∈ ?, 2 3 ∉ ?.
Ми часто говоримо: косяк риб; зграя птахів; рій бджіл; колек­ Якщо множина A складається з трьох елементів a, b, c, то
ція марок; зібрання картин; набір ручок; букет квітів; компанія друзів; парк машин; отара овець. пишуть A = {a, b, c}.
Наприклад, якщо M — множина натуральних дільників чис­
Якщо в цих парах перетасувати перші слова, то може вийти ла 6, то пишуть M = {1, 2, 3, 6}. Множина дільників числа 6, які є складеними числами, має такий вигляд: {6}. Це приклад одноелементної множини.
смішно. Наприклад, букет овець, косяк картин, колекція друзів тощо. Водночас такі словосполучення, як колекція риб, колекція картин, колекція ручок, колекція машин тощо, достатньо прий­ нятні. Справа в тому, що слово «колекція» досить універсальне. Однак у математиці є більш всеосяжне слово, яким можна заміни­ ти будь­яке з перших слів у наведених парах. Це слово множина.
Позначення множини за допомогою фігурних дужок, у яких
указано список її елементів, є зручним у тих випадках, коли множина складається з невеликої кількості елементів.
О з н а ч е н н я. Дві множини A і B називають р і в н и м и , якщо
Наведемо ще кілька прикладів множин: вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини
• множина учнів вашого класу; A належить множині B і, навпаки, кожний
• множина планет Сонячної системи; елемент множини B належить множині A.
• • x множина пар чисел ( множина двоцифрових чисел; 2 + y 2 = 1. x; y), які є розв’язками рівняння ся своїми елементами. Якщо множину записано за допомогою фігурних дужок, то порядок, у якому виписано її елементи, не має значення. Так, множина, яка складається з трьох елементів a, b, c, припускає шість варіантів запису: Якщо множини A і B рівні, то пишуть A = B. З означення випливає, що множина однозначно визначаєть-
Окремі найважливіші множини мають загальноприйняті на­
зви та позначення:
• множина точок площини — геометрична фігура;
• множина точок, яким притаманна певна властивість, —
геометричне місце точок (ГМТ); множина значень аргументу функції {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}.
• f — область визначен- Оскільки з означення рівних множин випливає, що, напри­
ня функції f, яку позначають D(f); множина значень функції клад, {a, b, c} = {a, a, b, c}, то надалі будемо розглядати множини, які складаються з різних елементів. Так, множина букв слова «шаровари» має вигляд {ш, а, р, о, в, и}.
• f — область значень функції f,
яку позначають E(f); множина натуральних чисел, яку позначають буквою
• ?; Зауважимо, що {a} ≠ { {a} }. Справді, множина {a} складаєть­
• множина цілих чисел, яку позначають буквою ?; ся з одного елемента a; множина { {a} } складається з одного еле­ мента — множини {a}.
• множина раціональних чисел, яку позначають буквою ?;
• множина дійсних чисел, яку позначають буквою ?. Найчастіше множину задають одним із двох таких способів. Перший спосіб полягає в тому, що множину задають указан­
Множини ?, ?, ?, ? — приклади числових множин. Також
прикладами числових множин є числові проміжки. Наприклад, проміжки [–3; 2], (5; +∞), (–∞; –4] є числовими множинами. ням (переліком) усіх її елементів. Ми вже використовували цей спосіб, записуючи множину за допомогою фігурних дужок, у яких зазначали список її елементів. Зрозуміло, що не всяку множину можна задати в такий спосіб. Наприклад, множину парних чисел так задати не можна.
Як правило, множини позначають великими латинськими
літерами: A, B, C, D тощо.
Об’єкти, які складають множину, називають елементами цієї
множини. Зазвичай елементи позначають малими латинськими літерами: a, b, c, d тощо. Другий спосіб полягає в тому, що задається характеристична
властивість елементів множини, тобто властивість, яка прита­ манна всім елементам даної множини і тільки їм. Наприклад, властивість «натуральне число при діленні на 2 дає в остачі 1» задає множину непарних чисел.
Якщо a належить множині A, то пишуть a ∈ A (читають:
«a належить множині A»). Якщо b не належить множині A, то пишуть b ∉ A (читають: «b не належить множині A»).
6 7
Якщо x — довільний елемент множини A, яку задано за до­ Приклад Доведіть, що множина A всіх парних натуральних
помогою характеристичної властивості її елементів, то пишуть A = {x | ...}. Тут після вертикальної риски вказують характерис­ тичну властивість, якій має задовольняти елемент x, щоб нале­ жати множині A. чисел дорівнює множині B чисел, які можна подати у вигляді суми двох непарних натуральних чисел.
Р о з в ’ я з а н н я. Нехай x ∈ A. Тоді можна записати, що x = 2m,
де m — натуральне число. Маємо: x = 2m = (2m – 1) + 1. Отже, x ∈ B.
Розглянемо кілька прикладів.
• { x | x = 3n, n ∈ ?} — множина натуральних чисел, кратних 3. Тепер припустимо, що x ∈ B. Тоді x = (2n – 1) + (2k – 1),
• { x | x(x 2 – 1) = 0} — множина коренів рівняння x(x 2 – 1) = 0. Ця де n і k — натуральні числа. Маємо: x = 2n – 1 + 2k – 1 =
множина дорівнює множині {–1, 0, 1}, яку, у свою чергу, мож­ на задати за допомогою іншої характеристичної властивості: = 2 (n + k – 1). Отже, x ∈ A.
Маємо: якщо x ∈ A, то x ∈ B, і навпаки, якщо x ∈ B, то x ∈ A.
{x | x ∈ ?, | x | < 2}. Звідси A = B.
Тому можна записати, що {x | x(x 2 – 1) = 0} =
= {x | x ∈ ?, | x | < 2}.
• Нехай ( x; y) — координати точки. Тоді множина точок {(x; y) | y =
= 2x – 1, x — будь­яке число} — пряма, яка є графіком функції y = 2x – 1. Узагалі, для точок координатної площини множина {(x; y) | y =
1.° Як називають множину точок кута, рівновіддалених від його
= f(x), x ∈ D(f)} — це графік функції f. сторін?
У геометрії, задаючи множину точок за допомогою характе­ 2.° Як називають множину вовків, які підкорюються одному
ристичної властивості, тим самим задають ГМТ.
ватажку?
• Якщо A, B — дані точки площини, X — довільна точка цієї
площини, то множина {X | XA = XB} — серединний перпен­ дикуляр відрізка AB. Якщо задавати множину характеристичною властивістю її еле­ 3.° Назвіть яку­небудь множину запорізьких козаків.
4.° Як називають множину вчителів, які працюють в одній
школі?
ментів, то може статися, що жодний об’єкт такої властивості не має. 5.° Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати
Розглянемо приклади. правильне твердження: 1) 5 *
• Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам 1, 2, 5. ?; 3) –5 * ?; 5) 3,14 * ?; 7) 2 * ; ?
З нерівності трикутника випливає, що ця множина не містить жодного елемента. 2) 0 * ?; 4) − 1 2 * ; ? 6) π * ?; 8) 3 * . ∅
• Позначимо через A множину учнів вашого класу, які є май­ 6.° Дано функцію f(x) = x 2 + 1. Поставте замість зірочки знак ∈
страми спорту з шахів. Може виявитися, що множина A також не містить жодного елемента. або ∉ так, щоб отримати правильне твердження: 1) 3 * D(f);
3) 0 * E(f); 5) 1,01 * E(f).
• Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, слід
передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має. Наведені приклади вказують на те, що зручно до сукупності 2) 0 * D(f); 4) 1 2 * ( ); E f
7.° Які з наступних тверджень є правильними:
множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить жодного елемента. Її називають порожньою множиною і позна­ чають символом ∅.
1) 1 ∈ {1, 2, 3}; 3) {1} ∈ {1, 2}; 5) ∅ ∉ {1, 2};
2) 1 ∉ {1}; 4) {1} ∈ { {1} }; 6) ∅ ∈ {∅}?
Наприклад, {x | 0x = 2} = {x | x ∈ ?, x < 1} = ∅. 8.° Запишіть множину коренів рівняння:
Зазначимо, що множина {∅} не є порожньою. Вона містить 1) x(x – 1) = 0; 3) x = 2;
один елемент — порожню множину. 2) (x – 2) (x 2 – 4) = 0; 4) x 2 + 3 = 0.
8 9
§ 1. Множини. Операції над множинами
9.° Задайте переліком елементів множину:
1) правильних дробів зі знаменником 7; 2) правильних дробів, знаменник яких не перевищує 4; 3) букв у слові «математика»; 4) цифр числа 5555.
10.° Задайте переліком елементів множину:
1) A = {x | x ∈ ?, x 2 – 1 = 0};
2) B = {x | x ∈ ?, | x | < 3};
3) C = {x | x ∈ ?, x m 15, x = 7k, k ∈ ?}.
11.° Задайте переліком елементів множину:
1) A = {x | x ∈ ?, x(2 | x | – 1) = 0};
2) B = {x | x ∈ ?, –3 m x < 2}.
12. • Чи рівні множини A і B, якщо:
1) A = {1, 2}, B = {2, 1}; 3) A = {1}, B = { {1} }?
2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)};
13. • Чи рівні множини A і B, якщо:
1) A = [–1; 2), B = (–1; 2]; 2) A — множина коренів рівняння | x | = x, B = [0; +∞); 3) A — множина чотирикутників, у яких протилежні сторо­
ни попарно рівні; B — множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл?
14. • Які з наступних множин дорівнюють порожній множині:
1) множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°; 2) множина гірських вершин заввишки понад 8800 м; 3) множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює
половині сторони, до якої вона проведена;
4) множина функцій, графіком яких є коло?
15. • Нехай O — задана точка площини. Що являє собою множина
точок M цієї площини:
1) {M | OM = 3 см}; 3) {M | OM m 5 см}?
2) {M | OM > 5 см};
16. • Які з наведених множин дорівнюють порожній множині: { }
1) A = x x | ∈ ? , 1 2 x − = 2 0 ; 4) D = { x | 3x 4 + 5x 2 + 7 = 0 };
2) B = { x | x ≠ x}; 5) E = {x | x > | x | }?
3) C = { x | x ∈ ?, | x | < 1 };
10
2. Підмножина. Операції над множинами
2. Підмножина. операції над множинами
Розглянемо множину цифр десяткової системи числення
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Виокремимо з множини A ті її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину B = {0, 2, 4, 6, 8}, усі елементи якої є елементами множини A.
Означення. Множину B називають підмножиною множини A,
якщо кожний елемент множини B є елементом множини A.
Це записують так: B ⊂ A або A ⊃ B (читають: «множина B є під­
множиною множини A» або «множина A містить множину B»).
Розглянемо приклади:
• ? ⊂ ?, ? ⊂ ?, ? ⊃ ?, ? ⊂ ?; { } A C B
• { x x | 2 − = 1 0 } ⊂ x x | 2 = 1 4 ;
Рис. 1
• { a} ⊂ {a, b};
• множина учнів вашого класу є підмножиною множини учнів
вашої школи;
• множина ссавців є підмножиною множини хребетних;
• множина точок променя CB є підмно жиною множини точок
прямої AB (рис. 1). Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують
схеми, які називають діаграмами Ейлера.
На рисунку 2 зображено множину A (більший круг) і мно­
жину B (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема означає, що B ⊂ A (або A ⊃ B).
На рисунку 3 за допомогою діа грам Ейлера показано співвід­
ношення між множинами ?, ?, ? і ?.
?
?
?
A B ?
? ⊂ ? ⊂ ? ⊂ ?
Рис. 2 Рис. 3
11
§ 1. Множини. Операції над множинами 2. Підмножина. Операції над множинами
Якщо B ⊂ A, то за допомогою рисунка 2 можна зробити такі О з н а ч е н н я. П е р е т и н о м множин A і B називають множи-
висновки: ну, яка складається з усіх елементів, що належать і множи- ні
1) для того щоб елемент x належав множині A, достатньо, щоб A, і множині B.
він належав множині B; Перетин множин A і B позначають так: A Ç B.
2) для того щоб елемент x належав множині B, необхідно, щоб З означення випливає, що
він належав множині A. A Ç B = {x | x ∈ A і x ∈ B}.
Наприклад, якщо A — множина натуральних чисел, кратних 5, Легко переконатися, що розв’язком системи, яка розглядала­
а B — множина натуральних чисел, кратних 10, то очевидно, що B ⊂ A. Тому для того, щоб натуральне число n було кратним 5 (n ∈ A), достатньо, щоб воно було кратним 10 (n ∈ B). Для того щоб натуральне число n було кратним 10 (n ∈ B), необхідно, щоб воно було кратним 5 (n ∈ A). ся, є пара (4; 1). Цей факт можна записати так:
{(x; y) | x + y = 5} Ç {(x; y) | x – y = 3} = {(4; 1)}.
Якщо множини A і B не мають спільних елементів, то їх пере­
тином є порожня множина, тобто A Ç B = ∅. Також зазначимо,
що A Ç ∅ = ∅.
Із означень підмножини і рівності множин випливає, що коли З означення перетину двох множин випливає, що коли A ⊂ B,
A ⊂ B і B ⊂ A, то A = B. то A Ç B = A, зокрема, якщо B = A, то A Ç A = A.
Якщо в множині B немає такого елемента, який не належить Наприклад,
множині A, то множина B є підмножиною множини A. У силу цих міркувань порожню множину вважають підмножиною будь­ якої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині A. Тому для будь­якої множини A справедливе твер­ дження: ∅ ⊂ A. ? Ç ? = ?,
? Ç ? = ?.
Перетин множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ей­
лера. На рисунку 4 заштрихована фігура зображує множину A Ç B.
Будь­яка множина A є підмножиною самої себе, тобто A ⊂ A.
О з н а ч е н н я. Якщо B⊂ A і B≠ A, то множину B називають A B B A
в л а с н о ю п і д м н о ж и н о ю множини A.
Наприклад, множина ? є власною підмножиною множи­
ни ?. а) б)
Рис. 4
Приклад 1 Випишіть усі підмножини множини A = {a, b, c}. Для того щоб розв’язати рівняння (x 2 – x) (x 2 – 1) = 0, треба
Р о з в ’ я з а н н я. Маємо: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}, розв’язати кожне з рівнянь x 2 – x = 0 і x 2 – 1 = 0.
∅. Усього отримали 8 підмножин. В 11 класі буде доведено, що кількість підмножин n­елементної множини дорівнює 2 Маємо: A = {0, 1} — множина коренів першого рівняння,
n . B = {–1, 1} — множина коренів другого рівняння. Зрозуміло, що множина C = {–1, 0, 1}, кожний елемент якої належить або мно­ жині A, або множині B, є множиною коренів заданого рівняння. Множину C називають об’єднанням множин A і B.
Нехай A — множина розв’язків рівняння x + y = 5, а B — мно­
жина розв’язків рівняння x – y = 3. Тоді множина C розв’язків системи рівнянь
О з н а ч е н н я. О б ’ є д н а н н я м множин A і B називають множину,
? ? x y x y + = − = 5 3 , яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині
? A, або множині B.
складається з усіх елементів, які належать і множині A, і мно­ жині B. У такому випадку кажуть, що множина C є перетином множин A і B. Об’єднання множин A і B позначають так: A È B. З означення
випливає, що
A È B = {x | x ∈ A або x ∈ B}.
12 13
Наприклад, (–3; 1) È(0; 2] = (–3; 2], (–∞; 1)È(–1; +∞) =
= (–∞; +∞). A B A B
Об’єднання множин ірраціональних і раціональних чисел до­
рівнює множині дійсних чисел.
Якщо треба знайти об’єднання множин розв’язків рівнянь
(нерівностей), то кажуть, що треба розв’язати сукупність рівнянь (нерівностей). Сукупність записують за допомогою квадратної дужки. Так, щоб розв’язати рівняння (x C C
2 – x) (x 2 – 1) = 0, треба
розв’язати сукупність рівнянь Рис. 6 Рис. 7
? ? x 2 − = − = x 0 , Приклад 2 Знайдіть перетин множин A і B, якщо:
? x 2 1 0 . 1) A = {x | x = 5k, k ∈ ?}, B = {x | x = 3n, n ∈ ?};
2) A — множина ромбів, B — множина прямокутників; 3) A = {x | x > 3}, B = {x | x m 4}; 4) A = {x | x ∈
Зауважимо, що A È∅ = A.
З означення об’єднання двох множин випливає, що коли ?, x = 2m, m ∈ ?}, B — множина простих чисел.
A ⊂ B, то A È B = В, зокрема, якщо B = A, то AÈ A = A. Р о з в ’ я з а н н я 1) A — множина натуральних чисел, кратних 5. B — множина натуральних чисел, кратних 3. Тоді множина A
Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм
Ейлера. На рисунку 5 заштрихована фігура зображує множи­ ну A
È B.
Ç B складається з усіх натуральних чисел,
кратних 5 і 3 одночасно, тобто з усіх натуральних чисел, крат­ них 15. Отже, A
A B Ç B = {x | x = 15k, k ∈ ?}.
A B A B 2) Множина A Ç B складається з усіх чотирикутників, які
одночасно є і ромбами, і прямокутниками. Отже, шукана мно­ жина — це множина квадратів.
а) б) 3) A Ç B = {x | 3 < x m 4}.
Рис. 5 в) 4) A — множина парних натуральних чисел. Оскільки у мно­
жині простих чисел є тільки одне парне число (число 2), то A
Часто доводиться розглядати перетин і об’єднання трьох Ç B = {2}.
і більше множин.
Перетин множин A, B і C — це множина всіх елементів, які Приклад 3 Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо:
належать і множині A, і множині B, і множині C (рис. 6). 1) A = {x | x = 2k – 1, k ∈ ?}, B = {x | x = 2n, n ∈ ?};
Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь 2) A = {x | x = 2k – 1, k ∈ ?}, B = {x | x = 4n + 1, n ∈ ?};
? ? x y x y x + = − = 5 3 , , 3) A = {X | OX < 3}, B = {X | OX = 3}, де O і X — точки пло­
? щини, O — дана точка.
? ? 2 + y 2 = 17 , Р о з в ’ я з а н н я 1) A — множина непарних натуральних чисел, B — множина
треба знайти перетин трьох множин: {(x, y) | x + y = 5}, {(x, y) | x – – y = 3} і {(x, y) | x парних натуральних чисел. Тоді A È B — це множина натураль­
2 + y 2 = 17}. них чисел, тобто A È B = ?.
Об’єднання множин A, B і C — це множина всіх елементів, 2) A — множина непарних натуральних чисел. Елементами
які належать хоча б одній з цих множин: або множині A, або множині B, або множині C (рис. 7). множини B є тільки непарні числа. Отже, B ⊂ A. Тоді A È B =
= A = {x | x = 2k – 1, k ∈ ?}.
Наприклад, об’єднання множин гострокутних, тупокутних 3) Очевидно, що A È B = {X | OX m 3}. Отже, AÈ B — це
і прямокутних трикутників — це множина всіх трикутників. круг з центром O і радіусом 3.
14 15
D — множина вовків; E — множина хижих ссавців.
17.° Назвіть кілька підмножин учнів вашого класу. 30. • Зобразіть за допомогою діаграм Ейлера співвідношення між
18.° Назвіть які­небудь геометричні фігури, які є підмножинами множинами:
множини точок прямої. 1) A — множина невід’ємних раціональних чисел; B = {0};
19.° Назвіть які­небудь геометричні фігури, які є підмножинами ? — множина натуральних чисел;
множини точок круга. 2) ? — множина цілих чисел;
20.° Нехай A — множина букв у слові «координата». Множина A — множина натуральних чисел, кратних 6; B — множина натуральних чисел, кратних 3.
букв якого слова є підмножиною множини A: 1) кора;
4) крокодил; 7) тин; 10) дорога;
2) дірка; 5) нитки; 8) криниця; 11) дар; 31. • Запишіть за допомогою символу ⊂ співвідношення між мно­
3) картина; 6) нирки; 9) сокирка; 12) кардинал? жинами:
21.° Нехай A — множина цифр числа 1958. Чи є множина цифр A = {x | x = 2n, n ∈ ?}; C = {x | x = 10n, n ∈ ?};
числа x підмножиною множини A, якщо: 1) x = 98; B = {x | x = 50n, n ∈ ?}; D = {x | x = 5n, n ∈ ?}.
3) x = 519; 5) x = 195888; 32. • Яка з множин A або B є підмножиною другої, якщо:
2) x = 9510; 4) x = 5858; 6) x = 91258? A = {x | x = 4n + 2, n ∈ ?}; B = {x | x = 8n + 2, n ∈ ?} ?
22.° Нехай A ≠ ∅. Які дві різні підмножини завжди має множина A? 33. • Дано множини {7}, {11}, {19}, {7, 11}, {7, 19}, {11, 19}, ∅,
23.° Знайдіть перетин множин цифр, які використовуються в за­ які є всіма власними підмножинами деякої множини A. За­ пишіть множину A.
пису чисел:
1) 555288 і 82223; 2) 470713 і 400007. 34. • Запишіть усі підмножини множини {1, 2}.
24.° Нехай A — множина двоцифрових чисел, B — множина
простих чисел. Чи належить множині A Ç B число: 5, 7, 11, 35. • Опишіть мовою «необхідно й достатньо» належність елемен­
31, 57, 96? та x множинам A, B і C (рис. 8).
25.° Знайдіть множину спільних дільників чисел 30 і 45. 26.° Знайдіть об’єднання множин цифр, які використовуються
A
в запису чисел: B A A C B C B
1) 27288 і 56383; 2) 55555 і 777777.
27.° Які з наступних тверджень є правильними: à) á) â)
1) {a} ∈ {a, b}; 3) a ⊂ {a, b}; Рис. 8
2) {a} ⊂ {a, b}; 4) {a, b} ∈ {a, b}?
28. • Доведіть, що коли A ⊂ B і B ⊂ C, то A ⊂ C. 36. • Замість крапок поставте слово «необхідно» або «достатньо»,
29. • Розмістіть дані множини у такій послідовності, щоб кожна щоб утворилося правильне твердження:
наступна множина була підмножиною попередньої: 1) для того щоб трикутник був рівностороннім, ..., щоб два
1) A — множина прямокутників; його кути були рівні;
B — множина чотирикутників; C — множина квадратів; D — множина паралелограмів; 2) для того щоб чотирикутник був паралелограмом, ..., щоб
дві його сторони були паралельні;
3) для того щоб число ділилося націло на 3, ..., щоб воно
2) A — множина ссавців; ділилося націло на 9;
B — множина собачих; C — множина хребетних; 4) для того щоб остання цифра десяткового запису числа була
нулем, ..., щоб число було кратне 5.
16 17
§ 1. Множини. Операції над множинами 3. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність
37. • Відомо, що для будь­якої множини B множина A є її під­ 47. • Накресліть два трикутники так, щоб їх об’єднанням був:
множиною. Знайдіть множину A. 1) чотирикутник; 2) трикутник; 3) шестикутник. Чи може об’єднання трикутників бути відрізком?
38. • Які з наступних тверджень є правильними:
1) {a, b} Ç {a} = a; 3) {a, b} Ç {a} = {a}; 48. • Які фігури можуть бути об’єднанням двох променів, що ле­
2) {a, b} Ç {a} = {a, b}; 4) {a, b} Ç {a} = {b}? жать на одній прямій?
39. • Знайдіть перетин множин A і B, якщо: 49. • Відомо, що для будь­якої множини B виконується рівність
1) A — множина рівнобедрених трикутників, B — множина A È B = B. Знайдіть множину A.
рівносторонніх трикутників;
2) A — множина прямокутних трикутників, B — множина 50. • Наведіть приклад такої одноелементної множини, що її еле­
рівносторонніх трикутників; мент є одночасно підмножиною даної множини.
3) A — множина двоцифрових чисел, B — множина натураль­
них чисел, кратних 19;
4) A — множина одноцифрових чисел, B — множина простих 3. скінченні множини. Взаємно однозначна
чисел.
40. • Знайдіть перетин множин A і B, якщо: відповідність
1) A = {x | x < 19}, B = {x | x ∈ ?, x > 11};
2) A = {x | x = 4n, n ∈ ?}, B = {x | x = 6n, n ∈ ?}; Якщо множина містить скінченну кількість елементів, то її на­
зивають скінченною, а якщо в ній нескінченно багато елементів — то нескінченною. Порожню множину вважають скінченною.
3) A = {(x; y) | 2x – y = 1}, B = {(x; y) | x + y = 5}.
41. • Накресліть два трикутники так, щоб їх перетином була Наприклад, множина учнів вашого класу — скінченна мно­
така геометрична фігура: 1) відрізок; 2) точка; 3) трикутник; 4) п’ятикутник; 5) шестикутник. жина, а множина натуральних чисел — нескінченна множина.
42. • Які фігури можуть бути перетином двох променів, що лежать Якщо A — скінченна множина, то
на одній прямій? кількість її елементів позначатимемо так: n(A). A B
43. • Відомо, що для будь­якої множини B виконується рівність
A Ç B = A. Знайдіть множину A. Наприклад, якщо A — це множина днів
тижня, то n(A) = 7; якщо B — це множи­ на двоцифрових чисел, то n(B) = 90. Зро­ зуміло, що n(∅) = 0.
44. • Які з наступних тверджень є правильними: Рис. 9
1) {a, b} È{b} = {a, b}; 3) {a, b} È{a} = {a};
2) {a, b} È{b} = {b}; 4) {a, b} È{b} = {{b}}? Нехай A і B — такі скінченні множини, що A Ç B = ∅. Тоді
45. • Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо: очевидно, що
1) A — множина рівнобедрених трикутників, B — множина n(A È B) = n(A) + n(B). (1)
рівносторонніх трикутників; Якщо A і B — скінченні множини, причому A Ç B ≠ ∅ (рис. 9),
2) A — множина простих чисел, B — множина складених то до суми n(A) + n(B) двічі входить кількість елементів їх пе­ ретину, тобто двічі враховується число n(A
чисел; Ç B). Отже, у цьому
3) A — множина простих чисел, B — множина непарних чисел. випадку
46. • Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо: n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B) (2)
1) A = {x | x 2 – 1 = 0}, B = {x | (x – 1) (x – 2) = 0};
2) A = {x | 2x + 3 = 0}, B = {x | x 2 + 3 = 2}; Коли A Ç B = ∅, то n(A Ç B) = 0. Тому формула (2) є узагаль­
3) A = {x | x ∈ ?, x < 5}, B = {x | x ∈ ?, x < 7}. ненням формули (1).
18 19
Приклад 1 У фізико­математичному класі 25 учнів, і всі вони Звідси
люблять математику. Відомо, що 23 учні люблять алгебру, а 21 — геометрію. Скільки учнів цього класу люблять і алгебру, і гео­ метрію? n(A Ç Б) + n(Б Ç В) + n(В Ç A) = 40 + n(A Ç Б Ç В) l 40.
Якщо припустити, що кожне з чисел n(A Ç Б), n(Б Ç В),
n(В Ç A) не перевищує 13, то їх сума не перевищує 39. Отримали
Р о з в ’ я з а н н я. Нехай A — множина учнів, які люблять алге­ суперечність.
бру, B — множина учнів, які люблять геометрію. Тоді n(A) = 23, n(B) = 21, n(A Нам доволі часто доводиться порівнювати скінченні множини
È B) = 25. Водночас A Ç B — множина учнів, за кількістю їх елементів.
які люблять і алгебру, і геометрію. З формули (2) отримуємо n(A Як дізнатися, чи вистачить у шкільній бібліотеці підручни­
Ç B) = n(A) + n(B) – n(AÈ B) = 23 + 21 – 25 = 19. ків з алгебри і початків аналізу для десятикласників? Звичайно, можна порахувати окремо учнів і підручники, а можна видати підручники учням. Якщо, наприклад, усім підручників виста­ чить, а в бібліотеці не залишиться жодного підручника, то це означатиме, що десятикласників і підручників однакова кількість.
З’ясуємо, як знайти кількість елементів множини A È BÈ С,
де A, B і C — скінченні множини.
A B A B
Так само, щоб дізнатися, чи вистачить стільців у класі, зовсім
не обов’язково їх перераховувати. Достатньо запросити учнів сісти на стільці. Якщо, наприклад, місць вистачить не всім, то це озна­ чатиме, що кількість учнів більша, ніж кількість стільців.
C C У цих прикладах, порівнюючи кількість елементів двох мно­
жин, ми кожному елементу однієї множини поставили у відпо- відність єдиний елемент другої множини. Скористаємося цією ідеєю в наступному прикладі.
Рис. 10 Рис. 11
Якщо A Ç B Ç C = ∅ (рис. 10), то зрозуміло, що
n(A È BÈ C) = n(A) + n(B) + n(C) – Приклад 3 Порівняйте кількість елементів множини A двоциф­
– n(A Ç B) – n(B Ç C) – n(C Ç A). (3) рових чисел і множини B трицифрових чисел, десятковий запис яких закінчується цифрою 1.
Якщо A Ç B Ç C ≠ ∅ (рис. 11), то права частина формули (3)
не враховує кількості спільних елементів множин A, B і C. Отже, у цьому випадку формула набуває вигляду: Р о з в ’ я з а н н я. Поставимо у відповідність кожному двоциф­
ровому числу те трицифрове число, яке отримаємо з нього, при­ писавши справа одиницю. Дістанемо:
n(A È BÈ C) = n(A) + n(B) + n(C) –
– n(A Ç B) – n(B Ç C) – n(C Ç A) + n(A Ç B Ç C). (4) 10, 11, 12, ..., 98, 99
? ? ? ? ?
Аналогічну формулу можна отримати для будь­якої кількості
множин. Її називають «формулою включення­виключення». 10 1 , 11 1 , 12 1 , ..., 98 1 , 99 1
Зазначимо, що за такої відповідності всі елементи множини B
Приклад 2 У спортивній школі є три секції: акробатики, бас­ виявляться «задіяними». Справді, якщо в числі виду ab1 закрес­ лити останню цифру, то отримаємо двоцифрове число ab.
кетболу, волейболу. Відомо, що школу відвідують 200 школя­ рів, а кожну із секцій — 80 школярів. Доведіть, що знайдеться 14 школярів, які відвідують одні й ті самі дві секції.
На основі відповідності між елементами множин A і B можна
Розв’язання. Позначимо множини школярів, які відвідують зробити висновок, що n(A) = n(B).
секції акробатики, баскетболу й волейболу, буквами А, Б і В відповідно. Тоді n(A О з н а ч е н н я. Якщо кожному елементу множини A поставле-
È БÈ В) = 200, n(A) = n(Б) = n(В) = 80. но у відповідність єдиний елемент множини B і при цьому будь-
Підставимо ці значення у формулу (4): який елемент множини B є відповідним деякому єдиному елемен-
200 = 80 + 80 + 80 – n(A Ç Б) – n(Б Ç В) – ту множини A, то кажуть, що між множинами A і B встановлено
– n(В Ç A) + n(A Ç Б Ç В). в з а є м н о о д н о з н а ч н у в і д п о в і д н і с т ь .
20 21
У прикладі 3 кожному двоцифровому числу було постав­ 54.° У грудні було 10 ясних і затишних днів, 15 днів був ві­
лено у відповідність єдине трицифрове число зазначеного ви­ гляду і, навпаки, кожне таке трицифрове число є відповідним єдиному двоцифровому числу. Отже, між множинами, що розгля­ даються, було встановлено взаємно однозначну відповідність. тер і 12 днів ішов сніг. Скільки днів у грудні була хуртовина (сніг і вітер)?
55.° Чи встановлено взаємно однозначну відповідність між мно­
жинами А і В (рис. 12)? Точками на рисунку зображено еле­ менти множин.
Зазначимо, що коли в класі всі учні сидять і при цьому є вільні
стільці, то між множиною учнів і множиною стільців взаємно однозначної відповідності не встановлено.
A B A B A B A B
Цікаво, що з дитинства кожному з нас неодноразово доводило­
ся встановлювати взаємно однозначні відповідності. Дитина, про­ мовляючи «один», «два», «три» і при цьому послідовно показуючи на машинку, м’ячик і коника, тим самим встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною своїх іграшок і множи­ ною {1, 2, 3}. Рахуючи іграшки, дитина ніби прив’язує до кож­ ного з предметів ярлики з написами «1», «2», «3». Зауважимо, що, показуючи іграшки в іншому порядку, наприклад, «м’ячик», «коник», «машинка», одержуємо іншу взаємно однозначну від­ повідність між цими множинами.
а) б) в) г)
Рис. 12
56.° Одинадцять гравців футбольної команди отримали футбол­
ки з номерами від 1 до 11. Між якими множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?
Якщо між скінченними множинами A і B встановлено вза- 57.° У результаті жеребкування кожна з 20 пар фігуристів отри­
ємно однозначну відповідність, то n(A)= n(B). І навпаки, якщо n(A)= n(B), то між скінченними множинами A і B можна вста- новити взаємно однозначну відповідність. мала порядковий номер її виступу. Між якими множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?
58.° Кожний глядач, який прийшов до кінотеатру, купив квиток
Отже, між скінченними множинами з різною кількістю еле­ із зазначеними рядом і місцем. Між якими множинами вста­ новлено взаємно однозначну відповідність?
ментів неможливо встановити взаємно однозначну відповідність. Це дозволяє сформулювати таке правило.
Якщо між скінченними множинами A і C встановлено взаємно 59. • Між першими n натуральними числами і правильними дро­
однозначну відповідність і С ⊂ B, C ≠ B, то n(A) < n(B). бами зі знаменником 7 установлено взаємно однозначну від­ повідність. Знайдіть n.
60. • Кожному елементу множини {n, n + 1, n + 2}, де n ∈ ?, по­
ставили у відповідність остачу від ділення цього елемента на 3. Чи встановлено таким чином взаємно однозначну відповідність між множинами {n, n + 1, n + 2} і {0, 1, 2}?
51.° Кожний з 32 учнів класу вивчає щонайменше одну іноземну
мову. З них 20 вивчають англійську мову і 18 — французьку. Скільки учнів вивчають і англійську, і французьку мови?
61. * В олімпіаді взяли участь 46 учнів. Їм було запропоновано
52.° Відомо, що 26 мешканців будинку тримають котів і собак, розв’язати 3 задачі. Після підведення підсумків з’ясувалося, що кожен з учасників розв’язав хоча б одну задачу. Пер­ шу і другу задачі розв’язали 11 учасників, другу і третю — 8 учасників, першу і третю — 5 учасників, а всі три задачі розв’язали тільки 2 учасники. Доведіть, що одну із задач розв’язали не менше ніж половина учасників.
16 з них мають котів, а 15 — собак. Скільки мешканців ма­ ють і собаку, і кота?
53.° З анкети, проведеної в класі, з’ясувалося, що з 30 учнів класу
18 мають брата, 14 — сестру, а у 10 учнів є сестра і брат. Чи є в цьому класі учні, у яких немає ні сестри, ні брата?
22 23
§ 1. Множини. Операції над множинами
4. нескінченні множини.
Зліченні множини
У попередньому пункті ми розглядали скінченні множини, між
якими встановлено взаємно однозначну відповідність, і з’ясували, що такі множини мають однакову кількість елементів.
Керуючись принципом «частина менша від цілого», доходимо
висновку, що коли B — власна підмножина скінченної множи­ ни A, то n(B) < n(A). Отже, між скінченною множиною та її власною підмножиною неможливо встановити взаємно однозначну відповідність.
Оскільки ? ⊂ ?, то, здавалося б, природно вважати, що цілих
чисел більше, ніж натуральних. Проте це не так.
Нескінченні множини в цьому сенсі поводяться незвично. Розглянемо множину
? і підмножину M парних чисел. Мно­
жина M є власною підмножиною множини ?. Кожному елементу
n ∈ ? поставимо у відповідність єдиний елемент 2n ∈ M:
1, 2, 3, 4, ..., n, ...
? ? ? ? ?
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...
При цьому кожне парне число відповідатиме єдиному нату­
ральному числу. Тим самим між множинами ? і M встановлено
взаємно однозначну відповідність, а тому не можна вважати, що в множині
? міститься більше елементів, ніж в її власній
підмножині — множині парних чисел.
Цей приклад показує, що звичні для нас уявлення про
скінченні множини не можна переносити на нескінченні мно­ жини.
Узагалі, математиками було доведено, що в будь­якій не­
скінченній множині A можна виокремити власну підмножину A
таким чином, що між множинами A і A можна встановити вза­ 1
ємно однозначну відповідність. Це принципова відмінність не­ скінченних множин від скінченних. 1
Якщо множини A і B є скінченними і між ними встановлено
взаємно однозначну відповідність, то n(A) = n(B). Якщо ж вза­ ємно однозначну відповідність установлено між нескінченними множинами A і B, то в математиці не прийнято говорити, що ці множини мають однакову кількість елементів, а кажуть, що множини A і B мають однакову потужність.
24
4. Нескінченні множини. Зліченні множини
О з н а ч е н н я. Дві множини називають р і в н о п о т у ж н и м и , якщо
між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність.
Для нескінченних множин слово «потужність» означає те саме,
що для скінченних множин «кількість елементів».
Доведемо ще один дивовижний факт: множина точок прямої
рівнопотужна множині точок відкритого відрізка (відрізка, у яко­ го «виколото» кінці), тобто пряма містить стільки ж точок, скіль­ ки містить їх відкритий відрізок.
На рисунку 13 зображено пряму MN, яка дотикається до
півкола з центром у точці O і діаметром AB, паралельним пря­ мій MN. Вилучимо з півкола точки A і B. Таке півколо називають відкритим.
Кожній точці X відкритого півкола поставимо у відповідність
точку X прямої MN, яка лежить на промені OX. Зрозуміло, що
точці X відповідає єдина точка прямої MN і, навпаки, кожна точка прямої MN є відповідною єдиній точці відкритого півкола. Отже, установлено взаємно однозначну відповідність між множи­ ною точок прямої і множиною точок відкритого півкола. 1
A O B A X B
X
M X 1 N X 1
Рис. 13 Рис. 14
На рисунку 14 показано, як встановити взаємно однозначну
відповідність між множиною точок відкритого відрізка і множи­ ною точок відкритого півкола. Отже, множина точок відкритого відрізка AB рівнопотужна множині точок прямої MN.
У розповіді на с. 27 ви дізнаєтесь ще про один несподіваний
факт, у який важко повірити, керуючись лише інтуїцією: множи­ на точок сторони квадрата рівнопотужна множині точок квадрата.
О з н а ч е н н я. Множину, рівнопотужну множині натуральних
чисел, називають з л і ч е н н о ю м н о ж и н о ю .
Вище ми показали, що множина парних чисел є зліченною.
Зрозуміло, що жодна скінченна множина не є зліченною.
Натуральне число n, яке відповідає елементу a зліченної мно­
жини A, називають номером цього елемента. Якщо елемент a має номер n, то пишуть: a
. Коли встановлюють взаємно одно­
значну відповідність між множинами A і n ?, кожний елемент
25
§ 1. Множини. Операції над множинами Коли зроблено уроки
множини A отримує свій номер, і ці елементи можна розмістити послідовно: 66.° Доведіть, що множина чисел виду 1 n (n ∈ ?) зліченна.
a , a , a , ..., a , ... . 67.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною
Так, якщо елементи множини P простих чисел розмісти­ 1 2 3 n чисел виду 2 n (n ∈ ?) і множиною десяткових дробів виду 0,1;
ти у порядку зростання 2, 3, 5, 7, 11, ..., то всі елементи цієї множини можна пронумерувати: 0,01; 0,001; ... .
68. • Покажіть, що множини точок сторони і діагоналі квадрата
2, 3, 5, 7, 11, ... рівнопотужні.
? ? ? ? ? 69. • Покажіть, що множини точок будь­яких двох концентричних
1, 2, 3, 4, 5, ... кіл рівнопотужні.
70. •• Покажіть, що множина точок прямої і множина точок кола
множинами P і Тим самим установлено взаємно однозначну відповідність між ?. 71. •• з «виколотою» точкою рівнопотужні. На координатній прямій позначили точки O(0), A(1), B(5).
У такий спосіб можна показати, що будь­яка нескінченна під­
мерувати неможливо: адже множина множина множини На перший погляд здається, що елементи множини ? є зліченною (зробіть це самостійно). ? є власною підмножиною ? прону­ 1) множина точок відрізка OA рівнопотужна множині точок Доведіть, що: відрізка OB;
будуть «витрачені» на множину множини ?. Отже, чисел для нумерації не вистачить: усі вони ?. 2) множина точок відрізка OA з «виколотою» точкою O рівнопотужна множині точок променя AB.
Проте якщо елементи множини ? розмістити у вигляді послі­ 72. •• Покажіть, що множини точок будь­яких двох відрізків рів­
довності 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, ..., то тим самим можна кожному цілому числу надати свій номер: нопотужні.
«я бачу це, але ніяк не можу цьому повірити!»
0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, ...
? ? ? ? ? ? ?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Ці слова належать видатному математику, засновнику теорії
множин Георгу Кантору. Вони свідчать про те, що навіть генію часом буває складно примирити свою інтуїцію з формальним результатом.
Можна показати, що множина ? є також зліченною.
Зазначимо, що не будь­яка нескінченна множина є зліченною.
Можна довести, що, наприклад, множина ? не є зліченною. Мабуть, і ви зазнавали подібного диском­
форту, коли логіка міркувань вимушувала вас погодитися з тим, що на будь­якому, навіть дуже маленькому, відрізку стільки ж точок, скільки їх на всій прямій.
62.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною А чи можна повірити в те, що множина
натуральних чисел і множиною натуральних чисел, крат­ них 3. точок квадрата рівнопотужна множині точок його сторони? Мабуть, ні. Цьому не вірив і сам великий Кантор.
63.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною
натуральних чисел і множиною чисел виду 4n + 1 (n ∈ ?). У 1874 р. в одному зі своїх листів до
64.° Доведіть, що множини парних і непарних натуральних чисел видатного математика Р. Дедекінда (1831– 1916) Кантор писав: «Чи можна зіставити поверхню (наприклад, квадратну площадку,
рівнопотужні. Георг Кантор
65.° Доведіть, що множина чисел виду 2 n (n ∈ ?) зліченна. (1845–1918)
26 27
§ 1. Множини. Операції над множинами
включаючи її межі) з відрізком прямої таким чином, щоб кожній точці поверхні відповідала одна точка на цьому відрізку, і на­ впаки?»
Кантор думав, що відповідь має бути негативною, і намагався
це довести протягом трьох років. Проте в 1877 р. він отримує не­ сподіваний результат: будує взаємно однозначну відповідність між множиною точок квадрата і множиною точок його сторони.
Ознайомимося з ідеєю доведення Кантора. Розглянемо на координатній площині квадрат з вершинами
A(0; 0), B(0; 1), C(1; 1), D(1; 0) (рис. 15).
Нехай точка M(x; y) належить квадра­
y ту. Координати x і y задовольняють не­ рівності 0 m x m 1 і 0 m y m 1. Тому числа x і y можна подати у вигляді нескінченних десяткових дробів:
B C
y M
x = 0,α α α ... ,
1 2 3
D y = 0,β β β ... .
A 0 x 1 x Зауважимо, що коли x = 1 або y = 1, 1 2 3
Рис. 15 то координату можна записати у вигляді дробу 0,999... .
За допомогою цих записів сконструюємо новий десятковий
дріб, «перемішуючи» цифри десяткового запису чисел x і y через одну:
z = 0, α β α β α β ... .
1 1 2 2 3 3
Точці M(x; y) поставимо у відповідність точку K(z; 0). Оче­
видно, що ця точка належить стороні AD квадрата.
Зрозуміло, що різні точки квадрата мають різні координати.
Тому при зазначеній відповідності різним точкам квадрата від­ повідають різні точки його сторони AD
1 .
Після викладеного ви, мабуть, уже не дивуватиметесь тому,
що, наприклад, множина точок куба рівнопотужна множині то­ чок його ребра.
Множини, рівнопотужні множині точок відрізка, називають
множинами потужності континууму (від латинського continuum — неперервний).
1 Деякі числа мають два десяткових записи. Наприклад, дробам 0,7000...
і 0,6999... відповідає одне й те саме число. Оскільки ідея доведення Кантора пов’язана з десятковим записом числа, то в строгому доведенні має бути показа­ но, як вирішується проблема неоднозначності запису числа при встановленні взаємно однозначної відповідності.
28
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності 5. Повторення та розширення відомостей про функцію
5. Повторення та розширення відомостей визначення якої — множина людей, а область значень — мно­ жина днів тижня.
про функцію Коли D(f) ⊂ ? і E(f) ⊂ ?, функцію f називають числовою.
Якщо областю визначення функції f ємножина X, а областю
У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати значень — множина Y, то функцію f також називають відо- браженням множини
процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) при­ зводить до зміни іншої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Од­ нією з таких найважливіших моделей є функція. X на множину Y. Слова «відображення»
і «функція» є синонімами. Проте термін «відображення» частіше використовують тоді, коли при заданні функції хочуть наголо­ сити, які множини є областю визначення і областю значень.
З цим поняттям ви ознайомилися в 7 класі. Нагадаємо й уточ­ На рисунку 16 проілюстровано відображення множини X на
нимо основні відомості. множину Y (точками позначено елементи множин).
Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множи­
на значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомо- гою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X f Y X Y X Y
g
X
можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y.
Зазвичай незалежну змінну позначають буквою x, залежну —
буквою y, функцію (правило) — буквою f. Кажуть, що змінна y функціонально залежить від змінної x. Цей факт позначають так: y = f (x).
а) б) в)
Рис. 16
Незалежну змінну ще називають аргументом функції. Множину значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, Відображення f принципово відрізняється від відображень g і ?
(рис. 16): у відображенні f кожний елемент множини Y є відповід­ ним деякому єдиному елементу множини X. Таке відображення називають взаємно однозначним відображенням множини
називають областю визначення функції і позначають D(f) або D(y).
Так, областю визначення оберненої пропорційності y = x 2 множину Y. Наприклад, нумерація елементів деякої зліченної X на
є множина (– ∞; 0)c(0; +∞). Також можна записати D(y) = множини M — це взаємно однозначне відображення множини ?
= {x ∈ ? | x ≠ 0 }. на множину M.
У функціональній залежності кожному значенню аргументу Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначен­
x відповідає певне значення залежної змінної y. Значення за­ лежної змінної ще називають значенням функції і для функції f позначають f (x). Множину значень, яких набуває залежна змін­ на y, тобто множину Y, називають областю значень функціїі по­ значають E(f) або E(y). Так, областю значень функції y ня і правило, за яким за кожним значенням незалежної змінної з області визначення можна знайти значення залежної змінної з області значень.
Функцію можна задати одним з таких способів:
= x є • описово;
множина [0; + різноманітнішої природи. Елементами множин D(f) і E(f) можуть бути об’єкти най­ ∞). • • • за допомогою формули; графічно. за допомогою таблиці;
Так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність Розглянемо кілька прикладів функцій, заданих описово.
його площу, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина многокутників, а область значень — множина додатних чисел. ? Кожному раціональному числу поставимо у відповідність
число 1, а кожному ірраціональному — число 0. Функцію, за­ дану таким чином, називають функцією Діріхле і позначають y = D(x). Пишуть:
Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, ? 1 , якщо x ∈ ? ,
у який вона народилася, то можна говорити про функцію, область D ( ) x = ? ? 0 , якщо x ∉ ? .
30 31
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Тут D(y) = ?, E(y) = {0, 1}.
? Кожному дійсному числу x поставимо у відповідність найбільше
ціле число, яке не перевищує число x. Таку функцію назива­ ють цілою частиною числа x і позначають y = [x]. Наприклад,
[ ] 2 = , [2] = 2, − 1 [ ] 2 = − 2. Тут D(y) = ?, E(y) = ?.
? Кожному дійсному числу x поставимо у відповідність різницю
x – [x]. Таку функцію називають дробовою частиною числа x і позначають y = {x}. Наприклад,
{ } 2 = 2 − [ ] 2 = 2 1 − ,
{2} = 2 – [2] = 2 – 2 = 0, − { } 2 = − 2 − − [ ] 2 = − 2 − − = − ( 2 ) 2 2 .
Тут D(y) = ?, E(y) = [0; 1).
? Кожному від’ємному числу поставимо у відповідність число
–1, кожному додатному числу — число 1, нулю — число 0. Функцію, задану таким чином, називають сигнум (від латинсь­ кого signum — знак) і позначають y = sgn x.
Пишуть:
? ? − 1 , якщо x < 0 ,
?
sgn x = 0 , якщо x = 0 ,
? ? 1 , якщо x > 0 .
Значення цієї функції характеризує знак відповідного аргументу. Зауважимо, що x
• sgn x = | x |.
? Розглянемо функцію f, у якої D(f) = ?. Вважатимемо, що
f(n) = 1, якщо десятковий запис числа π містить n цифр 4,
що йдуть поспіль, і f(n) = 0, якщо цей запис такої властивості не має. Звернемо увагу на те, що значення функції f обчис­ лювати важко. Наприклад, ми не знаємо, чому дорівнює f(10 000 000 000). Проте й у такому випадку функцію вва­ жають заданою.
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо
при цьому не вказано область визначення, то вважають, що об­ ластю визначення функції є область визначення виразу, який входить до формули. Наприклад, якщо функція f задана форму­
лою f x ( ) = 1 , то її областю визначення є область визначення
x − 1
виразу 1 , тобто проміжок (1; + ∞).
x − 1
Значення однієї функції можуть слугувати значеннями аргу­
менту іншої функції.
Наприклад, розглянемо функції f(x) = 2x – 1 і g(x) = x 2 + x + 1.
Тоді f(g(x)) = 2g(x) – 1 = 2 (x 2 + x + 1) – 1 = 2x 2 + 2x + 1. Отже,
32