Алгебра 10 класс Нелин академ

Є. П. Нелін
АЛГЕБРА
І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Підручник
для загальноосвітніх
навчальних закладів
Академічний рівень
Харків
«Гімназія»
2010
УДК 373:[512+517] ББК 22.12я721+2.161я721 H58
H58 Є. П. Нелін
Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. загальноосвіт.
навч. закладів : академ. рівень. — Х. : Гімназія, 2010. — 416 с. : іл.
ISBN 978-966-474-095-8.
УДК 373:[512+517]
ББК 22.12я721+2.161я721
© Є. П. Нелін, 2010 © С. Е. Кулініч, художнє оформлення, 2010 © ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет, 2010
ПЕРЕДМОВА ДЛЯ УЧНІВ Ви починаєте вивчати новий предмет «Алгебра і початки аналі-
зу», який об’єднує матеріал кількох галузей математичної науки. Як і в курсі алгебри, значну увагу буде приділено перетворенням виразів, розв’язуванню рівнянь, нерівностей та їх систем і розгляду властивостей функцій. Поряд із розв’язуванням знайомих задач, пов’язаних з много- членами, раціональними дробами, степенями і коренями, у 10 класі буде розглянуто нові види функцій: степеневі й тригонометричні та відповід- ні рівняння і нерівності.
Принципово нова частина курсу — початки аналізу — буде розгля-
датися в 11–12 класах. Математичний аналіз(або просто аналіз) — га- лузь математики, сформована у XVIII ст., що відіграла значну роль у розвитку природознавства: з’явився потужний, достатньо універсаль- ний метод дослідження функцій, які виникають під час розв’язування різноманітних прикладних задач.
Кілька зауважень про те, як користуватися підручником. Система навчального матеріалу підручника з кожної теми представ-
лена на двох рівнях. Основний матеріалнаведено в параграфах, но- мери яких позначено синім кольором. Додатковий матеріал(номери параграфів позначено сірим кольором) призначений для оволодіння те- мою на більш глибокому рівні (наприклад, для виконання складніших завдань з алгебри і початків аналізу зовнішнього незалежного оціню- вання з математики). Учень може опановувати його самостійно чи під керівниц твом учителя.
На початку багатьох параграфів наведено довідкові таблиці, які
містять основні означення, властивості та орієнтиридля пошуку пла- ну розв’язування задач з теми. Для ознайомлення з основними ідея- ми розв’язування задач наводяться приклади, у яких, крім самого розв’язання, міститься також коментар, що допоможе скласти план розв’язування аналогічного завдання.
З метою закріплення, контролю і самоконтролю засвоєння на-
4  ПЕРЕДМОВА
ПЕРЕДМОВА ДЛЯ ВЧИТЕЛЯ Пропонований підручник спрямовано на реалізацію основних поло-
жень концепції профільного навчання в старшій школі, на організацію особистісно-орієнтованого навчання математики. Підручник підготовле- но відповідно до чинної програми з алгебри і початків аналізу акаде- мічного рівня з урахуванням програми профільного рівня та програми і змісту зовнішнього незалежного оцінювання з математики.
Відзначимо основні відмінності пропонованого підручника від ін-
ших підручників з алгебри і початків аналізу. Це дворівневий підруч- ник, у кожному розділі якого поряд із параграфами, що призначені для оволодіння учнями стандартом математичної освіти на академічному рівні, є систематичний матеріал для організації індивідуальної роботи з учнями, які цікавляться математикою.
Основний матеріал, який повинні засвоїти учні, структуровано
у формі довідкових таблицьна початку параграфа, які містять систе- матизацію теоретичного матеріалу та способів діяльностііз цим матері- алом у формі спеціальних орієнтирів для розв’язування завдань. У пер- шу чергу учні повинні засвоїти матеріал, який міститься в таблицях. Тому під час пояснення нового матеріалу доцільно працювати з підруч- ником, використовуючи відповідні таблиці та рисунки. Усі потрібні по- яснення й обґрунтування теж наведено в підручнику, але кожен учень може вибирати власний рівень ознайомлення із цими обґрунтуван нями.
Підкреслимо, що будь-який підручник з алгебри і початків аналізу
повинен забезпечити не тільки ознайомлення учнів з основними алгебра- їчними поняттями та їх властивостями (тобто дати можливість формува- ти в учнів знання з алгебри і початків аналізу), а й формування способів дій із цими поняттями (тобто дати можливість формувати в учнів уміння з алгебри і початків аналізу). Ту систему умов, на яку реально спираєть- ся учень при виконанні дії, психологи називають орієнтовною основою дії. Якщо учням пропонують достатньо загальні орієнтовні основи для розв’язування відповідних завдань у вигляді спеціальних правил та ал- горитмів, то кажуть, що їм пропонують орієнтовні основи другого і тре- тього типів. Як правило, у підручниках алгебри і початків аналізу для 10 класів учням пропонуються тільки зразки розв’язувань завдань. Учні приступають до самостійної діяльності, орієнтуючись на ці зразки (тоб- то учням пропонуються орієнтовні основи першого типу). Таке навчан- ня передбачає, що учень самостійно виконає систематизацію та узагаль- нення способів дій, орієнтуючись на запропоновані зразки, і виділить для себе орієнтовну основу розв’язування розглянутих завдань. Як пра- вило, у цьому випадку орієнтовна основа, що створюється в учня, непо- вна, і, крім того, вона часто не усвідомлена ним, бо учень не може пояс-
ПЕРЕДМОВА  5
нити, чому він виконував саме такі перетворення під час розв’язування завдан ня, а не інші.
Із цієї причини одним з принципів побудови нашого підручни-
ка було виділення для учнів орієнтовних основ відповідної діяльності з розв’язування алгебраїчних завдань безпосередньо в підручнику.
У кожному розділі розв’язанню вправ передує виділення загальних
орієнтирів для розв’язування таких завдань. Тому важливою складо- вою роботи за пропонованим підручником є обговорення вибору відпо- відних орієнтирів та планів розв’язування завдань. Пояснення методів розв’язування ведеться за схемою:
Р о з в ’ я з а н н я К о м е н т а р
За умови такої подачі навчального матеріалу коментар, у якому по-
яснюється розв’язання, не заважає сприйняттю основної ідеї та плану розв’язування завдань певного типу. Це дозволяє учневі, який уже за- своїв спосіб розв’язування, за допомогою наведеного прикладу згада- ти, як розв’язувати завдання, а учневі, якому потрібна консультація з розв’язування, — отримати детальну консультацію, що міститься в коментарі.
За рахунок чіткого виділення загальних орієнтирів роботи з прак-
тичними завданнями курсу вдається частину «нестандартних» (з точки зору традиційних підручників) завдань перевести в розряд «стандарт- них» (наприклад, рівняння, для розв’язування яких доводиться вико- ристовувати властивості функцій). Це дозволяє, зокрема, ознайомити учнів з методами розв’язування навіть складних завдань з алгебри і по- чатків аналізу, які пропонуються в зовнішньому незалежному оцінюван- ні з математики, та з оформленням їх розв’язання.
Умовні позначення
головне в навчальному матеріалі
? початок розв’язання задачі
? закінчення розв’язання задачі
? початок обґрунтування твердження
? закінчення обґрунтування твердження
6  ПЕРЕДМОВА
Позначення, які застосовано в підручнику
множина всіх нату- ральних чисел модуль (абсолютна ве- личина) числа x
N — | x |—
множина всіх цілих чисел
Z — [x] — ціла частина числа x
{x} — дробовачастина числа x
множина всіх невід’- єм них цілих чисел
Z — значення функції f у точці x
0 f(x) —
область визначення функції f
D(f) —
множина всіх раціо- нальних чисел
Q —
область значень функ- ції f
E(f) —
множина всіх дійсних чисел, числова пряма sin — функція синус
R —
cos — функція косинус
множина всіх додат- них дійсних чисел tg — функція тангенс
R —
+ ctg — функція котангенс
відрізок (замкнений проміжок) з кінцями a і b, a< b arcsin — функція арксинус
[a; b] —
arccos — функція арккосинус
інтервал (відкритий проміжок) з кінцями a і b, a< b arctg — функція арктангенс
(a; b) — arcctg — функція арккотангенс
напіввідкриті проміж- ки з кінцями aі b, a< b
(a; b], — a — арифметичний корінь із числа a
[a; b)
арифметичний корінь 2k-го степеня із числа a (k ∈ N)
(a; +∞), [a; +∞), 2 k a —
— нескінченні проміжки
(–∞; b], арифметичний корінь 2k-го степеня із числа a (k ∈ N)
(–∞; b) 2 k a —
Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
ОСНОВНИЙ МАТЕРІАЛ
§ 1. Множини § 2. Функції § 3. Рівняння § 4. Нерівності
ДОДАТКОВИЙ МАТЕРІАЛ
§ 5. Графіки рівнянь та нерівностей з двома змін­
ними
§ 6. Метод математичної індукції § 7. Многочлени від однієї змінної та дії над ними § 8. Рівняння і нерівності, що містять знак модуля § 9. Рівняння і нерівності з параметрами
В основній частині цього розділу ви систематизуєте та узагальните свої
знання й уміння, пов’язані з множинами, функціями, рівняннями і нерів- ностями, уточните, як досліджують і обґрунтовують основні характеристи- ки функцій. Також ви отримаєте рекомендації щодо розв’язування рівнянь та нерівностей різними методами.
У додатковій частині розділу учні, які бажають узнати більше, змо-
жуть ознайомитися з важливим методом доведення математичних твер- джень (методом математичної індукції) та з методами розв’язування деяких складних завдань, що їх пропонують, наприклад, у завданнях зовнішньо- го незалежного оцінювання чи державної підсумкової атестації з математи- ки (це, у першу чергу, методи розв’язування рівнянь і нерівностей з моду- лями і параметрами, знаходження цілих коренів многочленів із цілими ко- ефіцієнтами, побудова графіків рівнянь і нерівностей із двома змінними).
Розділ 1
Функції, рівняння
і нерівності
§ 1 МНОЖИНИ
1.1. Множини та операції над ними
Т а б л и ц я 1
Поняття множини та її елементів
Множину можна уявити собі як сукуп- ність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою. У математиці мно- жини — це одне з основних неозначу- ваних понять.
Кожний об’єкт, що входить до мно­ жини
А,називається елементом цієї
множини.
Множина, що не містить жодного еле- мента, називається порожньою множи- ною і позначається ∅
Підмножина (⊂)
Якщо кожен елемент однієї множини A є елементом другої множини B, то кажуть, що перша множина
A
є підмножиною другої множини B
і записують так: A⊂ B.
Використовують також запис A⊆ B, якщо множина Aабо є підмножиною множини B, або дорівнює множині B
Рівність множин
Дві множини називаються рівними,
? x A ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ x B якщо кожний елемент першої множини є елементом другої множини, і навпаки, кожний елемент другої множини є елементом першої множини
A B = ⇔ ?
? x B x A
§ 1. Множини   9
Продовження табл. 1
Переріз множин ( Ç)
Перерізом множин Аі Вназивають їх спільну частину, тобто множину
C всіх
елементів, що належать як множині А,
так і множині В
Об’єднання множин ( È)
Об’єднанням множин А і Вназивають множину
C, складену з усіх елементів,
що належать хоча б одній із цих множин (
А або В)
Різниця множин ()
Різницею множин А і Вназивається множина
C, яка складається з усіх
елементів, які належать множині А
і не належать множині В
Доповнення множин
Якщо всі множини, які ми розглядає- мо, є підмножинами якоїсь так званої універсальноїмножини U, то різниця U A називається доповненням мно- жини A. Тобто
доповненням множини
Aназивається множина, яка склада­ ється з усіх елементів, які не належать множині
А (але які належать універ-
сальній множині U)
10  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Пояснення й обґрунтування
1. Поняття множини. Одним з основних понять, які використовують у математиці, є поняття множини. Для нього не дають означення. Мож- на пояснити, що множиною називають довільну сукупність об’єктів, а самі об’єкти — елементами даної множини. Так,можна говорити про множину учнів у класі (елементи — учні), множину днів тижня (елемен- ти — дні тижня), множину натуральних дільників числа 6 (елементи — числа 1, 2, 3, 6) тощо.
У курсах алгебри та алгебри і початків аналізу найчастіше розгляда-
ють множини, елементами яких є числа, і тому їх називають числовими множинами.
Як правило, множини позначають великими літерами латинського
алфавіту. Наприклад, якщо множина М складається із чисел 1; 2; 3, то її позначають так: М = {1; 2; 3}. Той факт, що число 2 входить до цієї множини (є елементом даної множини М), записують за допомогою спеціального значка ∈так: 2 ∈ М; а те, що число 5 не входить до цієї множини (не є елементом даної множини), записують так: 5 ∉ М.
Можна розглядати також множину, яка не містить жодного елемен-
та, — порожню множину.
Наприклад, множина простих дільників числа 1 — порожня множина. Для деяких множин існують спеціальні позначення. Так, порож-
ню множину позначають символом ∅, множину всіх натуральних чи- сел — літерою
N, множину всіх цілих чисел — літерою Z, множину всіх
раціональних чисел — літерою Q, а множину всіх дійсних чисел — лі-
терою R.
Множини бувають скінченні і нескінченні залежно від того, яку кіль-
кість елементів вони містять. Так, множини А= {7}; M= {1; 2; 3} — скін- ченні, бо містять скінченне число елементів, а множини
N, Z, Q,
R— нескінченні.
Множини задають або за допомогою переліку їх елементів (це можна
зробити лише для скінченних множин), або за допомогою опису, коли задається правило — характеристична властивість, яке дозволяє ви- значити, належить чи ні даний об’єкт розглядуваній множині. Напри- клад, множина А = {–1; 0; 1} задана переліком елементів, а множина B парних цілих чисел — характеристичною властивістю елементів мно- жини. Останню множину інколи записують так: B= {b| b — парне ціле число} або так: B= {b| b = 2m, де m ∈
Z} — тут після вертикальної риски
записана характеристична властивість.
У загальному вигляді запис множини за допомогою характеристичної
властивості можна подати так: A= {x| P(x)}, де P(x) — характеристична властивість. Наприклад,{x| x
2 – 1 = 0} = {–1, 1}, {x| x ∈ R і x 2 + 1 = 0} = ∅.
§ 1. Множини   11
2. Рівність множин.Нехай А — множина цифр трицифрового числа 312, тобто A= {3; 1; 2}, а B— множина натуральних чисел, менших від 4, тобто B= {1; 2; 3}. Оскільки ці множини складаються з одних і тих самих елементів, то їх вважають рівними. Це записують так: A= B. Для нескінченних множин таким способом (порівнюючи всі елементи) установити їх рівність неможливо. Тому в загальному випадку рівність множин означають таким чином.
Дві множини називаються рівними, якщо кожний елемент першої
множини є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини є елементом першої множини.
З наведеного означення рівності множин випливає, що в множині од-
накові елементи не розрізняються. Дійсно, наприклад, {1; 2; 2} = {1; 2}, оскільки кожний елемент першої множини (1 або 2) є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини (1 або 2) є еле- ментом першої. Тому, записуючи множину, найчастіше кожний її еле- мент записують тільки один раз.
3. Підмножина
Якщо кожен елемент однієї множини Aє елементом другої множини B,
то кажуть, що перша множина Aє підмножиною другої множини B,
і записують так: A⊂ B. Наприклад, {1; 2} ⊂ {0; 1; 2; 3}, N⊂ Z(оскільки
будь-яке натуральне число — ціле), Z⊂ Q(оскільки будь-яке ціле чис-
ло — раціональне), Q⊂ R(оскільки будь-яке раціональне число — дійсне).
Вважають, що завжди ∅ ⊂ A , тобто порожня множина є підмножи-
ною будь-якої непорожньої множини.
Інколи замість запису A⊂ Bвикористовують також запис A⊆ B,
якщо множина Aабо є підмножиною множини B, або дорівнює множи- ні B. Наприклад, A⊆ A.
Співставимо означення рівності множин з означенням підмножини.
Якщо множини А і В рівні, то: 1) кожний елемент множини А є елемен- том множини B, отже, А— підмножина В(A⊆ B); 2) кожний елемент множини В є елементом множини А, отже, В — підмножина А(B⊆ A). Таким чином,
дві множини рівні, якщо кожна
з них є підмножиною іншої.
Інколи співвідношення між мно-
жинами зручно ілюструвати за до- помогою кругів (які часто назива- ють кругами Ейлера—Венна). Напри- клад, рисунок 1 ілюструє означення підмножини, а рисунок 2 — співвід- ношення між множинами
⇔
A ⊂ B ßêùî õ ∈ À, òî õ ∈ Â
N,Z,Q,R.
Рис. 1
12  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
4. Операції над множинами.Над множи- нами можна виконувати певні дії: переріз, об’єднання, знаходження різниці множин. Дамо означення цих операцій і проілюстру- ємо їх за допомогою кругів Ейлера—Венна.
N Z Q R
Перерізом множин Аі Вназивають їхню спільну частину, тобто множину
C усіх еле­
ментів, що належать як множині А,так
Рис. 2 і множині В.
Переріз множин позначають знаком Ç
(на рисунку 3 наведено ілюстрацію означення перерізу множин).
Наприклад, якщо A= {2; 3; 4}, B= {0; 2; 4; 6}, то A Ç B = {2; 4}.
Об’єднанням множин Аі Вназивають множину С, складену з усіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин (
А або В).
Об’єднання множин позначають знаком È (на рисунку 4 наведено
ілюстрацію означення об’єднання множин).
Наприклад, для множин Aі Bз попереднього прикладу
A È B = {0; 2; 3; 4; 6}.
Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M È Q= R.
Різницею множин А і Вназивається множина С, яка складаєть­ ся з усіх елементів, які належать множині
Аі не належать мно­
жині В.
Різницю множин позначають знаком (на рисунку 5 наведено іл-
страцію означення різниці множин).
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Наприклад, якщо A= {1; 2; 3}, B= {2; 3; 4; 5}, то A B = {1},
а B A= {4; 5}.
Якщо B— підмножина A, то різницю A B називають доповненням
множини B до множини A(рис. 6).
Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел
через M, то R Q= M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел
§ 1. Множини   13
доповнює множину Q раціональних чисел до множини R усіх дійсних
чисел.
Якщо всі множини, які ми розглядаємо, є підмножинами якоїсь
так званої універсальної множини U (на рисунку її зазвичай зображають у вигляді прямокутника, а всі інші множини зображують кругами все- редині цього прямокутника), то різницю U A називають доповненням множини A (рис. 7). Тобто
доповненням множини Aназивається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині
А,
але які належать універсальній множині U. Доповнення множини А позначають A (читають: «А з рискою» або
«доповнення А»).
Наприклад, якщо U= R і A = [0; 1], то A = −∞ ( ; ) ( ; 0 Ÿ 1 + ∞ ). (Для цьо-
го прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дій- сних чисел на числовій прямій — рис. 8).
A A
Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8
Запитання для контролю
1. Наведіть приклади множин, укажіть декілька елементів кожної
множини.
2. Як позначають порожню множину, множини натуральних, цілих,
раціональних, дійсних чисел?
3. Дайте означення рівності множин. Наведіть приклади двох рівних
множин.
4. Дайте означення підмножини. Наведіть приклади. Проілюструйте
це поняття за допомогою кругів Ейлера—Венна.
5. Дайте означення перерізу, об’єднання, різниці двох множин. Наве-
діть приклади. Проілюструйте за допомогою кругів Ейлера—Венна.
6. Поясніть, що називають доповненням однієї множини до іншої. До-
повненням множини? Наведіть приклади. Проілюструйте ці понят- тя за допомогою відповідних рисунків.
14  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Вправи
1°. Запишіть за допомогою фігурних дужок множину:
1) букв у слові «алгебра»; 2) парних однозначних натуральних чи- сел; 3) непарних однозначних натуральних чисел; 4) однозначних простих чисел.
2°. За якою характеристичною властивістю записані такі множини:
1) {понеділок, вівторок, середа, четвер, п’ятниця, субота, неділя};
2) {січень, лютий, березень, квітень, травень, червень, липень, сер- пень, вересень, жовтень, листопад, грудень};
3) {Австралія, Азія, Америка, Антарктида, Африка, Європа};
4) {до, ре, мі, фа, соль, ля, сі};
5) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3°. Наведіть приклади порожніх множин. 4°. А — множина натуральних чисел, які розміщені між числами 15
і 35. Запишіть множину А за допомогою фігурних дужок. Які з чи- сел 18, 28, 36, 40 належать множині А? Відповідь запишіть за допо- могою знаків ∈ і ∉.
5°. Запишіть за допомогою фігурних дужок і позначте множину:
1) натуральних дільників числа 12;
2) натуральних дільників числа 30;
3) цілих дільників числа 6;
4) простих дільників числа 12.
6°. Відомо, що M = {1; 2; 5}, N = {1; 4; 5; 7; 9}, K = {4; 7; 9}. Запишіть
за допомогою фігурних дужок або знака ∅: 1) переріз M і N; 2) переріз M і K; 3) переріз N і K; 4) об’єднання M і N; 5) об’єднання M і K; 6) об’єднання N і K; 7) різницю M і N; 8) різницю M і K; 9) різницю N і K; 10) доповнення K до N.
7°. Поясніть, чому виконуються такі рівності:
1) А È ∅ = А; 2) A È А = A; 3) А Ç ∅ = ∅; 4) A Ç А = A.
8°. Запишіть множину всіх двоцифрових чисел, які можна записати за
допомогою цифр 0, 1, 3.
9°. Відомо, що А — множина натуральних дільників числа 12,
а В — множина цілих дільників числа 6. Запишіть множини: 1) А
È В; 2) А Ç В; 3) А В; 4) В А.
10 * . Нехай А і В — деякі множини. Доведіть указані рівності та проілю-
струйте їх за допомогою кругів Ейлера—Венна:
1) А È В = В È А — переставний закон для об’єднання;
2) А Ç В = В Ç А — переставний закон для перерізу.
§ 1. Множини   15
11. В одній множині 40 різних елементів, а в другій — 30. Скільки еле-
ментів може бути в їх: 1) перерізі; 2) об’єднанні.
12 * . Нехай А, В, С — деякі множини. Доведіть указані рівності та про-
ілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера–Венна:
1) (А È В) È С = А È (В È С) — сполучний закон для об’єднання;
2) (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С) — сполучний закон для перерізу;
3) А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)
4) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)
5 ) A B A B Ÿ =
— закони де Моргана.
6 ) A B A B = Ÿ
13. Кожний учень у класі вивчає англійську або французьку мову.
Англійську мову вивчають 25 учнів, французьку — 27 учнів, а оби- дві мови — 18 учнів. Скільки учнів у класі?
14 * .Частина жителів міста вміє розмовляти тільки українською мо-
вою, частина — тільки російською, а частина — обома мовами. Українською мовою розмовляє 95 % жителів, а російською — 85 %. Скільки відсотків жителів міста розмовляє обома мовами?
15 * . Доведіть рівності і проілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера–
Венна:
1) А В = А (А Ç В); 2) A Ç (В С) = (А Ç В) (А Ç С).
16 * . Запишіть множину всіх правильних дробів a b , де a ∈ A, b ∈ B
і A={2; 3; 4; 6}, B = {1; 3; 4; 5; 6}.
17 * .Які трицифрові числа можна записати, якщо:
А = {3; 1; 2} — множина цифр для позначення сотень;
В = {2; 8} — множина цифр для позначення десятків;
С = {5; 7} — множина цифр для позначення одиниць.
Скільки таких чисел одержимо? Спробуйте сформулювати загальне правило підрахунку кількості таких чисел, якщо в множині А — т елементів (О ∉ А), у множині В — п елементів, у множині С — k елементів.
16  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел
Т а б л и ц я 2
1. Числові множини
Дійсні числа R
Числа, які можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу
Раціональні числа Q Ірраціональні числа
Можна подати у вигляді нескорот- Не можна подати у вигляді неско-
ного дробу m , де m— ціле, ротного дробу m , де m— ціле,
n n
n — натуральне число. n — натуральне число.
Записують у вигляді нескінченного Записують у вигляді нескінченного
періодичного десяткового дробу ( 1 3 = 0 333 , ... = 0 3 ,( ) ) неперіодичного десяткового дробу ( 2 1 4142135 = , ... )
Цілі числа Z Дробові числа
Включають натуральні числа, Числа, складені із цілого числа
числа, їм протилежні, та число 0 ( 2 5 — звичайний дріб, часток одиниці
1,23 — десятковий дріб: )
1 23 , = 123 100
Натуральні числа Число 0 Цілі від’ємні
N(цілі додатні) числа
У шкільному курсі ма- Таке число, що будь-яке Числа, протилежні
тематики натуральне число при додаванні до натуральним
число — основне нього не змінюється
неозначуване поняття (a+ 0 = 0 + a= a)
§ 1. Множини   17
Продовження табл. 2
2. Модуль дійсного числа та його властивості
Означення Геометричний зміст модуля
Модулем додатного числа нази­ вається саме це число, модулем від’ємного числа називається чис­ ло, йому протилежне, модуль нуля дорівнює нулю.
a = OA , b = OB
| a – b | = AB
? ? a ïðè a > 0 , , На координатній прямій модуль — це відстань від початку координат до точки, що зображує дане число
?
a = 0 ïðè a = 0
? ? − a ïðè a < 0 Модуль різниці двох чисел a
і b — це відстань між точками a і b на координатній прямій.
Властивості
1. | a | l 0 Модуль будь-якого числа — невід’ємне число
2. | –a| = | a | Модулі протилежних чисел рівні
3. a m | a| , тобто –| a| m a m | a| Величина числа не перевищує вели-
чини його модуля
4. При b> 0 | a| m b ⇔ –bm a m b
5. При b> 0 | a| l b ⇔ a m –b або a l b
6. | aæb | = | a |æ| b | Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників
7. a b = a b ( b ≠ 0 ) Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо знаменник не дорівнює нулю)
8. | a n | = | a | n | a| 2 = a 2 | a | 2k = a 2k
| a + b | m | a | + | b | Модуль суми не пере- вищує суми модулів доданків
9.
| a + a + ... + a | m | a | + | a | + ... + | a |
1 2 n 1 2 n
10. || a | – |b|| m |a ä b | m |a | + |b |
18  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Пояснення й обґрунтування
1. Числові множини. У курсі математики ви зустрічалися з різними числами: натуральними, цілими, раціональними, ірраціональними, дій- сними. Уявлення про числа у людства складалися поступово, під впли- вом вимог практики. Наприклад, натуральні числа з’явилися у зв’язку з необхідністю підрахунку предметів. Але для того щоб дати відповідь на запитання «Скільки сірників у порожній коробці з-під сірників?», множини натуральних чисел N= {1; 2; 3; ...} недостатньо — для цього потрібно мати ще й число нуль. Приєднуючи до множини Nнатураль- них чисел число 0, одержуємо множину невід’ємних цілих чисел. Її час- то позначають Z
= {0; 1; 2; 3; ...}. Одних тільки невід’ємних цілих чисел
виявилося недостатньо для розв’язування задач практики (а отже, і ма- тематичних задач, що відображують задану реальну ситуацію). Так, для того щоб охарактеризувати температуру повітря вище і нижче нуля чи рух тіла в протилежних напрямках, потрібні протилежні до натураль- них числа, тобто від’ємні числа.Для натурального числа nпротилежним вважають число –n, а для числа –n протилежним вважають число n. Нуль вважають числом, протилежним самому собі. 0
Натуральні числа, числа, протилежні натуральним, і число нуль
складають множину Z цілих чисел.
Вимірювання величин привело до необхідності розширення множи-
ни цілих чисел і введення раціональних чисел. Наприклад, середня ба- гаторічна температура повітря в січні місяці в м. Харкові складає –7,3 °С,
тривалість уроку — 45 хв, або 3 4 год.
Таким чином, вибираючи якусь одиницю виміру, ми одержуємо чис-
лове значення величин, що можна виразити за допомогою різних раціо- нальних чисел — цілих і дробових, додатних і від’ємних.
Цілі і дробові числа складають множину Q раціональних чисел.
Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді дробу m , де
n
m∈ Z, n ∈ N (тобто чисельник m є цілим числом, а знаменник n — на- туральним).
Раціональне число можна записати різними дробами. Наприклад,
1 2 = = = , − = 2 4 3 6 10 20 2 7 − 2 = − 8 = − 10 , 1 2 , = 12 10 = = 6 5 120 100 , 5 = = 5 1 10 = . 50 10
7 28 35 2
Як видно з наведених прикладів, серед дробів, що зображують дане
раціональне число, завжди є єдиний нескоротний дріб (для цілих чи- сел — це дріб, знаменник якого дорівнює 1).
Зауважимо, що раціональне число, записане у вигляді дробу
m , де m∈ Z, n ∈ N, можна записати також у вигляді скінченного або
n
§ 1. Множини   19
нескінченного періодичного десяткового дробу, поділивши чисельник на знаменник. Наприклад,
3 4 = , , 0 75 1 3 = , 0 3333 ....
Домовимося, що скінченний десятковий дріб можна зображувати
у вигляді нескінченного, у якого після останнього десяткового знака, відмінного від нуля, на місці наступних десяткових знаків записують нулі, наприклад,
3 4 = 0 75 0 75000 , = , ....
Цілі числа також домовимося записувати у вигляді нескінченного
десяткового дробу, у якого справа від коми на місці десяткових знаків стоять нулі, наприклад, 13 = 13,000... . Таким чином, будь-яке раціо- нальне число може бути записане як нескінченний періодичний дріб. Нагадаємо, що у нескінченного періодичного дробу, починаючи з деяко- го місця, усі десяткові знаки починають повторюватися. Групу цифр, що повторюється, називають періодом дробу; у записі дробу період наводять
у дужках. Наприклад, 1 3 = 0 3333 , ... = 0 3 ,( ), 3 = 0 136363636 , ... = 0 1 36 , ( ).
22
Отже, кожне раціональне число може бути записане у вигляді не-
скінченного періодичного десяткового дробу і, навпаки, кожний нескін- ченний періодичний десятковий дріб задає раціональне число.
Зауважимо, що будь-який періодичний десятковий дріб, який має
своїм періодом дев’ятку, дорівнює нескінченному десятковому дробу з періодом нуль, у якого десятковий розряд, що передує періоду, збіль- шений на одиницю порівняно з відповідним розрядом першого дробу. Наприклад, нескінченні періодичні дроби 0,2(9) і 0,3(0) є записом одного й того самого раціонального числа
3 . Дійсно, ураховуючи, що сума не-
10
скінченно спадної геометричної прогресії з першим членом a і знамен-
1
ником qобчислюється за формулою S = a 1 , маємо
1 − q
9
0 2 9 , ( ) = 0 2999 , ... = 0 2 , + 9 + 9 + 9 + = ... 0 2 , + 100 = 0 , , 2 + 1 = 0 3 0 3 0 , = , ( ).
100 1000 10 000 1 − 1 10
10
У подальшому, записуючи раціональні числа за допомогою нескін-
ченних періодичних десяткових дробів, домовимося не розглядати не- скінченні періодичні дроби, період яких дорівнює дев’яти.
Кожне раціональне число можна зобразити точкою на координатній
прямій (тобто на прямій, на якій вибрано початок відліку, додатний на- прям і одиницю виміру). Наприклад, на рисунку 9 зображено декілька раці-
( )
ональних чисел 0 1 ; ; − 1 2 ; , . 2 5
20  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Але на координатній прямій розташо-
вані точки, які зображають числа, що не є раціональними. Наприклад, з курсу ал- гебри відомо, що число 2 не є раціо- нальним. Це так зване ірраціональне чис- ло. Якщо побудувати квадрат із стороною, рівною 1, на координатній прямій х (рис. 10), то його діагональ дорівнюватиме
2. Тоді, провівши дугу кола із центром
Рис. 10
у точці O і радіусом OM = 2, одержимо
точку M, координата якої дорівнює 2. Крім числа 2, ви також зу- стрічалися з ірраціональними числами 3, 10 тощо.
Раціональні та ірраціональні числа складають множину дійсних чи-
сел R. На координатній прямій кожному дійсному числу відповідає єди- на точка, і навпаки, кожній точці координатної прямої відповідає єдине дійсне число (у такому разі кажуть, що між множиною дійсних чисел і множиною точок координатної прямої встановлюється взаємно одно- значна відповідність).
Кожне дійсне число можна записати у вигляді нескінченного десят-
кового дробу: раціональні числа — у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу, а ірраціональні — у вигляді нескінченного неперіо- дичного десяткового дробу.
Нагадаємо, що для порівняння дійсних чисел і виконання дій над
ними (у випадку, коли хоча б одне з них не є раціональним) викорис- товують наближені значення цих чисел. Зокрема, щоб порівняти два дійсних числа, треба розглянути послідовно їх наближені значення з недостачею з точністю до цілих, десятих, сотих і т. д. до тих пір, поки не одержимо якесь наближене значення одного числа, більше за відповідне наближене значення другого. Тоді те число, у якого наближене значення більше, і вважається більшим. Наприклад, якщо
α = 3 1 7320508 = , ..., β = 1 3 4 = 1 7500000 , ..., то α < β (оскільки
1,73 < 1,75).
Для того щоб виконати додавання чи множення розглянутих чи-
сел α і β, послідовно записують їх наближені значення з недостачею та з надлишком (з точністю до цілих, десятих, сотих і т. д.) і виконують дії над одержаними раціональними числами. У результаті послідовно отримуємо значення суми чи добутку з потрібною точністю.
α β α + β αβ
1 < α < 2 1 < β < 2 2 < α + β < 4 1 < αβ < 4
1,7 < α < 1,8 1,7 < β < 1,8 3,4 < α + β < 3,6 2,89 < αβ < 3,24
1,73 < α < 1,74 1,75 < β < 1,76 3,48 < α + β < 3,50 3,0275 < αβ < 3,0624
1,732 < α < 1,733 1,750 < β < 1,751 3,482 < α + β < 3,484 3,031 < αβ < 3,034483
... ... ... ...
Як бачимо, α + β = 3,48..., αβ = 3,03... . У курсі математичного аналізу доводиться, що у випадку, коли на-
ближені значення чисел α і β послідовно беруть з точністю до цілих, де- сятих, сотих і т. д., то значення суми α + β з недостачею і з надлишком прямує до одного і того самого числа, яке і приймають за значення суми
α + β (аналогічно означають і добуток αβ).
2. Модуль дійсного числа та його властивості. Нагадаємо означення мо- дуля.
Модулемдодатного числа називається саме це число, модулем від’ємного числа — число, йому протилежне; модуль нуля дорівнює нулю.
Це означення можна коротко записати декількома способами.
? ? a ïðè a > 0 , ,
a = ? 0 ïðè a = 0 або a = ? ? a ïðè a l 0 , або r = m 2 , або
? ? − a ïðè a < 0 , ? − a ïðè a < 0 , 2 n 2
? a ïðè a l 0 ,
a = ? За потреби ми будемо користуватися будь-яким із
? − a ïðè a m 0 .
цих записів означення модуля. Для того щоб знайти | a |, за означенням необхідно знати знак числа a і використати відповідну формулу. Напри- клад, | 5 | = 5, | –3 | = –(–3) = 3,
3 2 − = − ( 3 2 − ) = − 2 3 .
На координатній прямій модуль чис­ ла — це відстань від початку координат до точки, що зображує це число.
Дійсно, якщо a> 0 (рис. 11), то відстань
OA= a=| a |. Рис. 11
Якщо b< 0, то відстань OB= –b=| b |.
Модуль різниці двох чисел a і b — це відстань між точками a і b на координатній прямій.
? Для доведення можна скористатися тим, що при паралельному пе-
ренесенні вздовж осі координат на b одиниць абсциса відповідної точки змінюється на b:до абсциси заданої точки додається чис-
22  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
ло b, тобто при b > 0 точка переноситься вправо, а при b < 0 — улі- во. Позначимо на координатній прямій числа a, b, a – b відповід-
но точками A, B, C. На рисунку 12 ці точки зображено для випадку a > 0 і b < 0, хоча наведене далі обґрунту- вання не залежить від знаків a і b. При паралельному перенесенні вздовж
Рис. 12
осі Ox на b одиниць точка Oперейде в точку B, а точка C (з коорди- натою a– b) у точку з координатою a– b + b= a, тобто в точку A. Тоді СО= АВ. Але відстань CO— це відстань від точки a– bдо по- чатку координат, отже, CO= | a– b |, а значить, і AB=| a– b |.
?
Використовуючи означення модуля та його геометричний зміст,
можна обґрунтувати властивості модуля, наведені в таблиці 2.
Наприклад, ураховуючи, що | a |— це відстань від точки a до точ-
ки O, а відстаньможе виражатися тільки невід’ємним числом, одержуємо
| a |l 0 ,
тобто модуль будь-якого числа є невід’ємне число.
Ураховуючи, що точки a і –a розташовані на однаковій відстані від
точки O, одержуємо
| – a |= | a | ,
це означає, що модулі протилежних чисел рівні.
Якщо a l 0, то | a | = a, а якщо a < 0, то a < | а |. Отже, завжди
am | a | ,
тобто величина числа не перевищує величини йогомодуля.
Якщо в останню нерівність замість a підставити –a і врахувати, що
| –a | = | a |, то одержуємо нерівність –a m | a |. Звідси a l –| a |, що разом із нерівністю a m | a | свідчить, що для будь-якого дійсного числа aви- конується подвійна нерівність
– | a |m am | a | . (1)
При b > 0 нерівність | a |m b означає, що число aна координатній
прямій розміщене від точки Oна відстані, яка не перевищує b (рис. 13), тобто в проміжку [–b; b]. Навпаки, якщо число aналежить цьому про- міжку, тобто –b m a m b, то | a |m b. Отже,
при b > 0 | a |m b⇔ –bm am b . (2)
Зауважимо, що останнє твердження
справедливе і при b = 0 (тоді обом нерів- ностям задовольняє тільки одне значення a= 0).
Аналогічно при b > 0 нерівність | a |l b
означає, що число aна координатній пря- мій знаходиться від точки Oна відстані, яка більша або дорівнює b (рис. 13), тобто
Рис. 13
§ 1. Множини   23
в цьому випадку a m –b або a l b. Навпаки, якщо число aзадовольняє одній із цих нерівностей, то | a | l b. Отже, при b > 0 нерівність | a |l
l bрівносильна сукупності нерівностей a m –b або a l b, що можна за- писати так:
при b > 0 | a |l b⇔ am –b або al b .
Властивості модуля добутку і модуля дробу фіксують відомі правила
дій над числами з однаковими і різними знаками:
модуль добутку дорівнює добутку модулів множників, тобто
| a•b |= | a |•| b | ;
модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль
знаменника(якщо знаменник не дорівнює нулю), тобто
a = a ( b ≠ 0 ) .
b b
Формулу для знаходження модуля добутку можна узагальнити для
випадку декількох множників:
| a • a •...• a |= | a |•| a |•...•| a | . (3)
1 2 n 1 2 n
Якщо у формулі (3) взяти a = a = ... = a = a, одержуємо формулу
| a 1 n | = | a | 2 n . n
Застосовуючи останню формулу справа наліво при n= 2k і врахо-
вуючи, що a 2k l 0 при всіх значеннях a, одержуємо | a| 2k = | a 2k | = a 2k .
Отже,
| a| 2k = a 2k .
Для обґрунтування нерівності
| a+ b | m | a | + | b | (4)
запишемо нерівність (1) для чисел aі b:
–| a | m a m | a |; –| b | m b m | b |.
Додаючи почленно ці нерівності, одержуємо
–(| a | + | b |) m a + b m | a | + | b |.
Ураховуючи нерівність (2), маємо
| a+ b |m | a | + | b | ,
тобто модуль суми не перевищує суми модулів доданків.
Якщо в нерівності (4) замінити bна –b і врахувати, що | –b | = | b |,
то одержимо нерівність
| a– b | m | a | + | b |. (5)
Якщо записати число a так: a= b+ (a – b) і використати нерівність
(4), то одержимо нерівність | a | m | b | + | a– b |. Звідси
| a | – | b |m | a– b | . (6)
Якщо в нерівності (6) замінити bна –b і врахувати, що | –b | = | b |,
то одержимо нерівність
| a | – | b |m | a+ b | , (7)
тобто модуль суми двох чисел не менше різниці їх модулів.
24  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Міняючи місцями букви aі b у нерівностях (6) і (7) та враховуючи,
що | a– b |= | b– a |, маємо також нерівності
| b | – | a |m | a± b | . (8)
Одержані нерівності (4)–(8) можна коротко записати так:
| | a | – | b | |m | a± b |m | a | + | b | .
Приклади розв’язання завдань
Приклад 1. Доведіть, що сума, різниця, добуток, натуральний степінь
і частка (якщо дільник не дорівнює нулю) двох раціональ­ них чисел завжди є раціональним числом.
Р о з в’я з а н н я К о м е н т а р
? Нехай задано два раціональних Будь-яке раціональне число
числа r цілі, а n 1 = і n m n 1 1 і r — натуральні числа. 2 = m n 2 2 , де m 1 і m 2 — ціле, n— натуральне число. Щоб довести твердження задачі, достат- ньо довести, що сума, різниця, до- можна записати як дріб m n , де m—
Оскільки сума, різниця, добуток, натуральний степінь і частка двох звичайних дробів завжди є звичай- ним дробом, то одержаний резуль- тат завжди буде раціональним числом. Наприклад, 1 2
буток і частка двох дробів виду m
n
буде дробом такого самого виду.
r + = r m 1 + m 2 = m n 1 2 + n m 1 2 ,
1 2 n 1 n 2 n n 1 2
де m n + n m — ціле число, а
n n — натуральне. 1 2 1 2 ?
1 2
Приклад 2. Доведіть, що для будь­якого натурального числа n число
n або натуральне, або ірраціональне.
Коментар
Для доведення твердження задачі можна використати метод від су-
противного: припустити, що задане додатне число є раціональним нена- туральним (тобто дробом), і отримати суперечність з умовою або з якимсь відомим фактом.
Записуючи n у вигляді нескоротного дробу, слід ураховувати, що
при натуральних значеннях n це число завжди буде невід’ємним.
Розв’язання
? Припустимо, що n не є ірраціональним числом (тоді це число ра-
ціональне) і не є натуральним числом. Отже, це число може бути тільки
раціональним нескоротним дробом n = , де p і q — натуральні числа p
q
§ 1. Множини   25
(q≠1). За означенням кореня m-го степеня маємо n = p 2 , тобто n = p p q q i i .
q 2
Ураховуючи, що q≠1, одержуємо, що дріб p p q q i i , який дорівнює нату-
ральному числу n, повинен бути скоротним. Отже, у натуральних множ- ників, що стоять у чисельнику і знаменнику цього дробу, повинен бути спільний натуральний дільник, який відрізняється від 1. Але в чисель- нику стоять тільки множники p, а в знаменнику — тільки множники q. Тоді числа pі q мають натуральний дільник, який відрізняється від 1,
тобто дріб p є скоротним дробом, що суперечить умові. Таким чином,
q
наше припущення неправильне, і для будь-якого натурального числа n число n або натуральне, або ірраціональне.
?
Наприклад, оскільки числа 3 і 10 не є натуральними числами
( 1 < 3 2 3 < , < 10 4 < ) , то 3 і 10 — ірраціональні числа.
Приклад 3*. Доведіть, що сума 3 + 5 — число ірраціональне.
Р о з в’я з а н н я К о м е н т а р
? Припустимо, що число Для доведення твердження за-
3 + 5 = r — раціональне. Тоді дачі можна використати метод «від супротивного» ? припустити, що задане число є раціональним і отри- мати суперечність з якимсь відомим фактом, наприклад, з тим, що
5 = − r 3 . Піднісши обидві части-
ни останньої рівності до квадрата, маємо
5 = r 2 − 2 r 3 3 + . Звідси
2 3 r = r 2 − . Отже, 3 2 = r 2 − 2 . Але 3 — ірраціональне число.
2 r Аналізуючи одержані вирази,
права частина цієї рівності — раціо- нальне число (оскільки за припу- щенням r — раціональне число), а ліва — ірраціональне. Одержана суперечність означає, що наше при- пущення неправильне і число використовуємо результат прикладу 1: якщо число r — раціональне, то числа r
2 – 2 і 2r та їх частка теж
будуть раціональними.
Зазначимо, що знаменник отри-
маного дробу 2 r = 2 ( 3 + 5 ) ≠ 0 .
3 + 5 — ірраціональне. ?
Приклад 4. Розв’яжіть рівняння 1 | 2х+ 5 | = 7.
1 Детальніше розв’язування рівнянь і нерівностей з модулями розглянуто
у §8.
26  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Р о з в’я з а н н я К о м е н т а р
І спосіб
? 2х+ 5 = 7 або 2х+ 5= –7, Задане рівняння має вигляд
2х= 2 або 2х= –12, | t| = 7 (у дано му випадку t= 2х+ 5). Його зручно розв’язувати, викорис- товуючи геометричний зміст моду- ля: | 2х+ 5 | — це відстань від точки 0 до точки 2х+ 5. Але відстань 7 може бути відкладена від 0 як пра- воруч (одержуємо число 7), так і лі- воруч (одержуємо число –7). Отже, рівність | 2х+ 5 | = 7 можлива тоді і тільки тоді, коли 2х+ 5 = 7 або 2х+ 5 = –7.
х = 1 або х = –6.
Відповідь: 1; –6. ?
ІІ спосіб
? 2х– (–5) | = 7, З геометричної точки зору | a–
– b| — це відстань між точками aі b на координатній прямій. Запишемо задане рівняння так: | 2х– (–5) | = 7. Тоді рівність | 2х– (–5) | = 7 озна- чає, що відстань від точки 2хдо точ- ки –5 дорівнює 7. На відстані 7 від точки –5 знаходяться точки 2 і –12. Отже, задана рівність виконується тоді і тільки тоді, коли 2х= 2 або 2х= –12, тобто задане рівняння рів- носильне цій сукупності рівнянь.
2х= 2 або 2х= –12,
х= 1 або х= –6.
Відповідь: 1; –6. ?
Приклад 5. Розв’яжіть нерівність | х 2 – 5х | m 6.
Р о з в’я з а н н я К о м е н т а р
? –6m х 2 – 5хm 6, Задана нерівність має вигляд
? ? ? ? x 2 − − 5 x m 6 , ? ? ? ? x 2 − 5 x − 6 m l 0 , , | t | m 6 (у даному випадку t = х 2 – 5х),
? x 2 5 x l − 6 , ? x 2 − 5 x + 6 0 і її можна розв’язувати, використо- вуючи геометричний зміст модуля. З геометричної точки зору, | t | — це відстань від точки 0 до точки t. На відстані 6 від 0 знаходяться числа 6 і –6.
? ( x + 1 )( x − 6 ) m 0 ,
?
? ( x − 2 )( x − 6 ) l 0 ,
§ 1. Множини   27
Тоді нерівності | t | m 6 задоволь-
няють усі ті і тільки ті точки, які знаходяться в проміжку [–6; 6], тоб- то 6 m t m 6. Для розв’язування одер- жаної подвійної нерівності її зручно замінити відповідною системою.
Розв’язуючи ц і нерівності, отримаємо
? − 1 m m x 6 ,
?
? x m 2 àáî x l 3 .
Отже, –1 m х m 2 або 3 m х m 6. Відповідь: [–1; 2]
È [3; 6] . ?
Запитання для контролю
1. Поясніть, які числа входять до множин цілих, раціональних та дій-
сних чисел. Наведіть приклади. Зобразіть відповідні точки на коор- динатній прямій.
2. Поясніть, чим відрізняються записи у вигляді нескінченного десят-
кового дробу раціонального та ірраціонального чисел.
3. Поясніть, як порівнюють дійсні числа. 4. Дайте означення модуля дійсного числа. а) Сформулюйте властивос-
ті модуля. б * ) Обґрунтуйте властивості модуля дійсного числа.
Вправи
1. Поясніть, чому задане дійсне число не може бути раціональним:
1) 1 + 2 ; 2) 3 5 − ;
3) 10; 4) 7 3 + ; 5) 2 − 5 .
2 * . Доведіть, що сума (різниця, добуток і частка) раціонального та ір-
раціонального чисел завжди є число ірраціональне (добуток і частка тільки у випадку, коли задане раціональне число не дорівнює нулю).
3 * . Доведіть, що задані дійсні числа є ірраціональними:
1) 2 + 3 ; 2) 5 + 2 ;
3) 7 − 3 ; 4) 7 − 2 .
4.Користуючись геометричним змістом модуля, зобразіть на коорди-
натній прямій множину чисел, які задовольняють нерівності: 1°) | х | m 2;
2°) | х | > 5;
3) | х – 3 | m 0,5; 4) | х + 1 | < 0,3.
5. Розв’яжіть рівняння:
1) | 3х + 1 | = 4; 2) | 4х – 2 | = 6;
3 * ) | | х – 1 | – 2 | = 1; 4 * ) | | 2х + 3 | – 5 | = 3.
6. Розв’яжіть нерівність:
1) | 2х – 7 | m 1; 2) | 3х + 5 | > 7;
3 * ) || 2х – 1 | + 3 | l 5; 4 * ) || 4х + 7 | –11 | < 4.
28  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
§ 2 ФУНКЦІЇ
2.1. Поняття числової функції.
Найпростіші властивості числових функцій
Т а б л и ц я 3
1. Поняття числової функції
Числовою функцією з областю визна- чення D називається залежність, при якій кожному числу
x із множини D
(області визначення) ставиться у від­ повідність єдине число
y.
Записують цю відповідність так:
y= f(x).
Позначення і терміни
D(f) — область визначення E(f) — область значень x — аргумент (незалежна змінна) y — функція (залежна змінна) f — функція f(x
D E
) — значення функції f у точці x
0 0
2. Графік функції
Графіком функції f називається мно­ жина всіх точок координатної площи­ ни з координатами (
y
f (x) M x; f(x)), де перша
координата x«пробігає» всю область визначення функції, а друга координа- та — це відповідне значення функції f у точці x
0 x x
3. Зростаючі та спадні функції
Функція f(x)
зростаюча на множині P:
якщо x > x , то f(x ) > f(x )
2 для всіх x ∈ P 1 2 1
(при збільшенні аргументу відповідні точки графіка піднімаються)
§ 2. Функції   29
Продовження табл. 3
Функція f(x)
спадна на множині P:
якщо x > x , то f(x ) < f(x )
2 для всіх x ∈ P 1 2 1
(при збільшенні аргументу відповідні точки графіка опускаються)
4. Парні та непарні функції
Функція f(x) парна:
f(–x) = f(x)
для всіх x з області визначення.
Графік парної функції симетричний відносно осі
Oy
Функція f(x) непарна:
f(–x) = –f(x)
для всіх x із області визначення.
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат — точки
О
Пояснення й обґрунтування
1. Поняття функції. З поняттям функції ви ознайомилися в курсі ал- гебри. Нагадаємо, що залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y.
У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо користуватися таким
означенням числової функції.
Числовою функцією з областю визначення D називається залеж­ ність, при якій кожному числу
x із множини D ставиться у відповід­
ність єдине число y.
Функції позначають латинськими (інколи грецькими) буквами. Роз-
глянемо довільну функцію f. Число y, яке відповідає числу x (на рисун- ку 16 це показано стрілкою), називають значенням функції fу точці x і позначають f(x).
30  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Область визначення функції f — це множина тих значень, яких
може набувати аргумент x. Вона позначається D(f).
Область значень функції f — це множина, яка складається з усіх
чисел f(x), де x належить області визначення. Її позначають E(f).
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає
додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої форму- лою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст.
Наприклад, якщо функція задана формулою y = x +1, то її область
визначення — xl0, тобто D(y) = [0; +∞), а область значень — yl1, тобто E(y) = [1; +∞).
Іноді функція може задаватися різними формулами на різних мно-
жинах значень аргументу. Наприклад, y = x = ? ? x ïðè x l 0 ,
? − x ïðè x < 0 .
Функцію можна задати не тільки за допомогою формули, а й за допо-
могою таблиці, графіка чи словесного опису. Наприклад, на рисунку 17 графічно задана функція y = f(x)з областю визначення D(f) = [–1; 3] і множиною значень E(f) = [1; 4].
D E
Рис. 16 Рис. 17
2. Графік функції. Нагадаємо, що
графіком функції y= f(x) називається множина всіх точок коор­ динатної площини з координатами (
x; f(x)), де перша координата
x «пробігає» всю область визначення функції, а друга координа­ та — це відповідне значення функції
f у точці x.
На рисунках до пункту 4 таблиці 3 наведено графіки функцій y= x 2
та y = 1 , а на рисунку 18 — графік функції y = | x|.
x
Наведемо також графік функції y=[x], де [x] — позначення цілої
частини числа x, тобто найбільшого цілого числа, яке не перевищує x (рис. 19). Область визначення цієї функції D(y) = R — множина всіх дійсних чисел, а область значень E(y) = Z — множина всіх цілих чисел.
§ 2. Функції   31
y =[x]
y = |x|
Рис. 18 Рис. 19
На рисунку 20 наведено графік ще од-
нієї числової функції y = {x}, де {x} — по- значення дробової частиничисла x(за означенням {x} = x– [x]).
3. Зростаючі та спадні функції. Важ- ливими характеристиками функцій є їх зростання та спадання.
Рис. 20
Функція f(x) називається зростаючою на множині Р, якщо біль­
шому значенню аргументу із цієї множини відповідає більше зна­ чення функції.
Тобто для будь-яких двох значень x і x з множини Р, якщо x > x ,
то f(x ) > f(x ). 1 2 2 1
Наприклад, функція f(x) = 2x зростаюча (на всій області визначення, 2 1
тобто на множині R), оскільки, якщо x > x , то 2x > 2x , отже, f(x ) > f(x ).
Відповідні точки графіка зростаючої функції при збільшенні аргу- 2 1 2 1 2 1
менту піднімаються (рис. 21).
ó = õ 3
Рис. 21 Рис. 22
На рисунку 22 наведено графік ще однієї зростаючої функції у = х 3 .
Дійсно, при x > x маємо x 3 > , тобто f(x x 3 ) > f(x ).
2 1 2 1 2 1
32  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Функція f(x) називається спадною на множині Р, якщо більшо­
му значенню аргументу із цієї множини відповідає менше значення функції.
Тобто для будь-яких двох значень x і x з множини Р, якщо x > x ,
то f(x ) < f(x ). 1 2 2 1
Наприклад, функція f(x) = –2x спадна (на всій області визначен- 2 1
ня, тобто на множині R), оскільки, якщо x > x , то –2x < –2x , отже,
f(x ) < f(x ). Відповідні точки графіка спадної функції при збільшенні 2 1 2 1
аргументу опускаються (рис. 23). 2 1
Рис. 23 Рис. 24
Розглядаючи графік функції y= x 2 (рис. 24), бачимо, що на всій об-
ласті визначення ця функція не є ні зростаючою, ні спадною. Але мож- на виділити проміжки області визначення, де ця функція зростає і де спадає. Так, на проміжку [0; +∞) функція y= x
2 зростає, а на проміжку
(–∞; 0] — спадає.
Зазначимо, що для зростаючих і спадних функцій виконуються
властивості, обернені до тверджень, що містяться в означеннях.
Якщо функція зростає, то більшому значенню функції відпо- відає більше значення аргументу. Якщо функція спадає, то більшому значенню функції відпо- відає менше значення аргументу.
? Обґрунтуємо першу із цих властивостей методом від супротивного.
Нехай функція f(x) зростає і f(x ) > f(x ). Припустимо, що аргу-
мент x не більше аргументу x , тобто x 2 m x 1 . Із цього припущення
одержуємо: якщо x 2 1 2 1
m x і f(x) зростає, то f(x ) m f(x ), що суперечить умо-
ві f(x ) > f(x 2 1 ). Отже, наше припущення неправильне і, якщо 2 1
f(x ) > f(x 2 ), то x 1 > x , що і потрібно було довести.
Аналогічно можна обґрунтувати і другу властивість. 2 1 2 1 ?
Наприклад, якщо x 3 > 8, тобто x 3 > 2 3 , то, ураховуючи зростання
функції f(x) = x 3 , одержуємо x > 2.