Задача 1
Провести полное исследование функций и построить их графики
Решение:
1) Область определения 
,функция общего вида, т.к.
y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);
2) 
=>x=-4
точка разрыва 2-го рода
3) Нули функции 
4) Интервалы монотонности
возможные точки экстремума
не существует при 
 |
 |
-12 |  |
4 |  |
0 |  |
 |
 |
0 |  |
- | |
0 | |
 |
 |
-27 |  |
- | |
0 | |
Функция возрастает при
.
Функция убывает при 
.
– точка максимума.
5. Выпуклость и вогнутость кривой.
при 
не существует при
при 
кривая выпукла
при 
кривая вогнута
тч. перегиба
6) Асимптоты.
а) вертикальные: х=-4.
б) наклонные:
, 
=>
– наклонная асимптота
7) График функции
Задача 2
Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны СП , руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в СХ . руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.
Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами
| № | S | СП | СХ |
| 12 | 62000 | 1650 | 68 |
Указания к задаче 2:
1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов ИП (q), издержек хранения ИХ (q) и суммарных издержек И(q) → min;
2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;
3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год Nо , период между поставками То , издержки пополнения ИП о , издержки хранения ИХ о , суммарные издержки Ио );
4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;
5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.
Решение:
Годовые издержки пополнения запасов ИП можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки СП .
ИП = N * СП
Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:
N = 
Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:
ИП
(q) = СП
*
Функцию годовых издержек хранения ИХ можно определить как произведение стоимости хранения единицы СХ на среднее число кинескопов на складе.
Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.
Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:
ИХ
(q) = CX
* 
= CX
* 
Запишем функцию суммарных издержек:
И(q) = ИП
(q) + ИХ
(q) = СП
* + CX
*
Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.
И’(q) = (СП
* + CX
* )’= – 
+ 
Составим и решим уравнение:
– + = 0 ; = ; q2
= 
; q = 
.
Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.
В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.
Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.
Найдем оптимальный размер партии:
q = = 
» 1735 шт.
Найдем число поставок в год:
Nо = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз
Найдем период между поставками:
То = 360 / 36 = 10 дней
Найдем издержки пополнения:
ИП о = СП * N = 1650 * 36 = 59400 руб.
Найдем издержки хранения:
ИХ
о
= CX
* = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.
Найдем суммарные издержки
Ио = ИП о + ИХ о = 59400 + 58990 = 118390 руб.
Построим график запасов:
Рис. 1
Рассмотрим функции издержек.
Годовые издержки пополнения запасов ИП
(q) = СП
* являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.
Годовые издержки хранения ИХ
(q) = CX
* являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.
Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.
Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:
Рис..2
Задача 3
Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Yi ) за 6 последних месяцев (Xi =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, Xj =7, 8).
Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы
| № | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 | Y5 | Y6 |
| 12 | 14 | 13 | 11 | 14 | 13 | 16 |
Указания к задаче 3:
1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a0 x + a1 ;
2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;
3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;
4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.
Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.
| i | Xi | Yi | Xi 2 | Xi Yi |
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 3 | ||||
| 4 | ||||
| 5 | ||||
| 6 | ||||
| Сумма |
5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках Xi = 1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;
6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.
Решение:
Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией
у = a0 x + a1
Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a1
и a0
, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F(a0
, a1
) = 
или F(a0
, a1
) = 
Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:
= 
= 
Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a1 и a0 :
Решим данную систему методом Крамера:
Тогда можно вывести формулы расчета параметров:
Построим расчетную таблицу
Таблица 3 – Расчетная таблица
| i | Xi | Yi | Xi 2 | Xi Yi |
| 1 | 1 | 14 | 1 | 14 |
| 2 | 2 | 13 | 4 | 26 |
| 3 | 3 | 11 | 9 | 33 |
| 4 | 4 | 14 | 16 | 56 |
| 5 | 5 | 13 | 25 | 65 |
| 6 | 6 | 16 | 36 | 96 |
| Сумма | 21 | 81 | 91 | 290 |
Найдем значения параметров:
Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна
= 0,3714·Xi
+ 12,2
Найдем значения аппроксимирующей функции:
Таблица 4 – Расчет значений аппроксимирующей функции
| i | Xi | |
| 1 | 1 | 12,5714 |
| 2 | 2 | 12,9428 |
| 3 | 3 | 13,3142 |
| 4 | 4 | 13,6856 |
| 5 | 5 | 14,057 |
| 6 | 6 | 14,4284 |
| 7 | 7 | 14,7998 |
| 8 | 8 | 15,1712 |
Построим график аппроксимирующей функции
Рис.1
Задача 4
Найти приращение и дифференциал функции y=a0 x3 +a1 x2 +a2 x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Δy.
Решение:
y=4x3 –2x2 –3x
Приращение функции
y(x+Δx)–y(x)= 4(x+Δx)3 –2(x+Δx)2 –3(x+Δx) – (4x3 –2x2 –3x)=
=4(x3 +3x2 Δx + 3xΔx2 + Δx3 )–2(x2 +2 xΔx +Δx2 )–3x–3Δx –4x3 +2x2 +3x=
=4x3 +12x2 Δx + 12xΔx2 + 4Δx3 –2x2 –4 xΔx –2Δx2 –3Δx –4x3 +2x2 =
=12x2 Δx + 12xΔx2 + 4Δx3 –4 xΔx –2Δx2 –3Δx =
=(12x2 –4 x–3)Δx+((12x–2)Δx2 + 4Δx3 )
Линейная по Δx часть приращения есть дифференциал, то есть
dy=(12x2 –4 x–3)Δxили заменяя Δx на dx получим dy=(12x2 –4 x–3)dx
Абсолютное отклонение:
Δy– dy = (12x2 –4 x–3)Δx+((12x–2)Δx2 + 4Δx3 )– (12x2 –4 x–3)Δx=(12x–2)Δx2 + 4Δx3
Относительное отклонение:
Задача 5
Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции 
, оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.
n=3, x=63
Решение:
Возьмем
=64
=>
Тогда 
Относительная погрешность
Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.
Решение:
1) 
2) 
Задача 7
Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.
Решение:
1) 
2)
Задача 8
Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.
Решение:
1) 
2) 
Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.
Решение:
Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:
=> 
Тогда площадь треугольника равна:
Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А1 (а1 ,0), А2 (а2 ,0), В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.
Решение:
Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:
А1
В: 
=> 
А2
В: 
=> 
Тогда площадь треугольника равна:
Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x2 +y2 =R2 )
Решение:
|
|
|
Из уравнения окружности:
Тогда четверти круга равна:
Тогда площадь круга равна:
Задача 12
Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.
Решение:
Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>
, тогда искомая площадь:
Задача 13
Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x2 . Нарисуйте чертеж.
Решение:
Найдем точки пересечения y= x2
=3–2x=> x2
+2x–3=0 =>
, тогда искомая площадь:
Задача 14
Вычислить площадь между кривой y=1/x2 и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.
Решение:
Искомая площадь:
Вычислить приближенное значение интеграла 
по формуле трапеции, принимая n = 5.
Формула трапеций имеет вид
Длина интервала
Для удобства вычислений составим таблицу:
| N |  |
 |
| 0 | 1 | 1,0000 |
| 1 | 2 | 0,2500 |
| 2 | 3 | 0,1111 |
| 3 | 4 | 0,0625 |
| 4 | 5 | 0,0400 |
| 5 | 6 | 0,0278 |
Тогда по формуле трапеций имеем:
Точное значение
Относительная погрешность
Повторим вычисления для 10 отрезков.
Длина интервала
Для удобства вычислений составим таблицу:
| N | |
|
| 0 | 1 | 1,0000 |
| 1 | 1,5 | 0,4444 |
| 2 | 2 | 0,2500 |
| 3 | 2,5 | 0,1600 |
| 4 | 3 | 0,1111 |
| 5 | 3,5 | 0,0816 |
| 6 | 4 | 0,0625 |
| 7 | 4,5 | 0,0494 |
| 8 | 5 | 0,0400 |
| 9 | 5,5 | 0,0331 |
| 10 | 6 | 0,0278 |
Тогда по формуле трапеций имеем:
Относительная погрешность
Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.
Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Решение:
1) 
Разделим переменные
2) 
Разделим переменные
Задача 16
Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида 
. Выполнить замену y/x и решить.
Решение:
1) 
Разделим обе части на xy
2) 
Разделим обе части на x
или 
Задача 17
Привести линейное дифференциальное уравнение к виду 
и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).
Решение:
1) 
Преобразуем
=> 
Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,
=> 
=> 
, 
,
2) 
Преобразуем
=> 
Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,
=> 
=> 
, 
,
2)
Разделим обе части на x
или
Задача 18
Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Решение:
1) 
Запишем характеристическое уравнение:
λ2 –λ–6=0 => λ1,2 =3;-2 =>
Тогда общее решение дифференциального уравнения:
y = C1 e3 x + C2 e–2 x
2)
Найдем решение однородного дифференциального уравнения:
запишем характеристическое уравнение
: λ2 –6λ+9=0 => λ1,2 = 3 =>
y0 = (C1 + C2 x)e3 x
Запишем частное решение по виду правой части:
ŷ = C3 x2 + C4 x+ C5
Найдем
ŷ ′ = 2C3 x–C4
ŷ ′′ = 2C3
Подставим в исходное уравнение, получим:
2C3 – 6(2C3 x–C4 )+9(C3 x2 + C4 x+ C5 ) =9C3 x2 +(9C4 –12C3 )x+(2C3 + 6C4 +9C5 )= x2
=> C3 = 1/9, => C4 = 4/27, => C5 = –10/81
y = y0
+ ŷ = (C1
+ C2
x)e3
x
+ 