Предисловие
В данной работе рассмотрен метод
комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах
элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность,
перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».
Метод комплексных чисел в
иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной
литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные
фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в
книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами
выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим
методом.
Метод комплексных чисел позволяет
решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор
этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом
состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и
координатным методами, методом геометрических преобразований,
конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности
и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.
§ 1 Параллельность,
коллинеарность, перпендикулярность.
1.1.
Коллинеарность векторов.
(1.2)
1.2. Коллинеарность трёх точек.
(1.3)
Это – критерий принадлежности
точек А, В, С одной прямой.
(1.5)
определяет прямую, содержащую хорду АВ
единичной окружности.
1.3.
Перпендикулярность отрезков (векторов).
(1.7)
Уравнение касательной
(1.8)
(1.9)
З а д а ч а 1. Доказать, что
точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к
описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.
§ 2 Углы и площади
2.1. Угол между векторами.
(2.1)
(2.2)
2.2. Площадь треугольника
(2.3)
З а д а ч а 2. Основание D высоты CD треугольника ABC делит сторону AB в отношении 3:1. Угол ACD вдвое больше угла BCD. Вычислить углы треугольника ABC.
§
3 Многоугольники
3.1. Подобные треугольники.
(3.1)
где – комплексное число, – коэффициент подобия.
(3.2)
где – комплексное число, – коэффициент подобия.
Если ,
то треугольники и равны. Тогда соотношение
(3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, а
соотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированных
треугольников.
3.2. Критерий правильного треугольника.
Треугольник ориентирован
положительно:
(3.4)
Треугольник ориентирован
отрицательно:
(3.5)
3.3 Правильные многоугольники.
где k принимает значения . Все n значений имеют
один и тот же модуль
Корням уравнения
соответствуют вершины .
З а д а ч а 3. Точки симметричны точке Р,
лежащей в плоскости треугольника ABC, относительно, соответственно, прямых AB, BC, CA. Точки – середины
отрезков Докажите, что треугольники
и подобны и противоположно
ориентированы (рис. 5).
З а д а ч а 4. На
сторонах и выпуклого четырёхугольника
вне его построены
правильные треугольники и а на сторонах и построены правильные
треугольники и лежащие с
четырёхугольником в одной полуплоскости относительно прямых и соответственно. Докажите,
что –параллелограмм (рис. 6).
З а д а ч а 5. Точка делит сторону правильного треугольника в отношении 3:2 считая от
точки . Точка делит сторону в отношении 3:14, считая
от точки . Отрезки и пересекаются в точке. Докажите, что прямые и перпендикулярны.
З а д а ч а 6. Через центр
правильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратов
расстояний от вершин треугольника до прямой не зависит от выбора прямой.
З а д а ч а 7. Пусть d – диаметр окружности, и
– стороны вписанного в неё и
описанного около
неё правильных n-угольников. Докажите, что
(рис. 9).
§
4 Прямая и окружность
4.1.
Уравнение прямой.
(4.1)
Пусть коэффициенты a и b не обращаются в нуль одновременно. Приходим к
уравнению: которое а) имеет единственное
решение при б) имеет бесконечное
множество решений при
Отсюда и на основании предыдущих
исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при
б) прямую при в) пустое множество при
4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных
координатах. Окружность с центром S(s) и радиусом R имеет уравнение
(4.2)
где z – координата переменной точки окружности.
(4.4)
Сравнивая уравнение (4.3) с
уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают
окружность тогда и только тогда, когда и
ab - c – действительное число. Отсюда , а значит, с должно
быть действительным числом. Итак, уравнение
(4.5)
есть уравнение окружности с центром и радиусом
4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам. Пусть окружность проходит через точки A, B, C. Тогда однородная линейная система
относительно имеет ненулевое решение
(так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её
определитель равен нулю:
(4.6)
Это уравнение представляет собой
уравнение окружности по трём данным точкам.
4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности
называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке
перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей
точке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности (A,R) и (B,r), заданные соответственно уравнениями: где и где Для того, чтобы эти окружности были ортогональны,
необходимо и достаточно, чтобы или
(4.7)
или
(4.8)
З а д а ч а 7. В плоскости даны
два отрезка AB и CD. Найдите множество точек М,
для каждой из которых площади треугольников MAB и MDC равны (рис. 10).
З а д а ч а 9. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC дана произвольная точка P. Докажите, что окружности, описанные около
треугольников APC и
BPC, ортогональны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем
вершину С данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А,
В, P соответствуют комплексные числа 1,
b, p, а центрам окружностей РАС и РВС числа (рис. 11). По условию или . Переходя к комплексным
числам, получаем: откуда .
Руководствуясь (4.6), составим
уравнение окружности РВС:
или
После раскрытия определителя
получаем:
или
откуда
Из уравнения находим:
Аналогично, для окружности РAС имеем:
и
отсюда
Согласно критерию (4.8) для того,
чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и
достаточно, чтобы Учитывая
предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия:
Таким образом, окружности РАС
и РВС являются ортогональными.
Другие работы по теме:
Изображение токов и напряжений комплексными числами
Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи. Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами. Применение при расчёте трёхфазных цепей.
Теорема тейлора
Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд). Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:
Исследование оперативной памяти
Методика применяется для изучения оперативной памяти в тех случаях, когда она несет основную функциональную нагрузку. Порядок проведения Испытуемому вручается бланк, после чего экспериментатор дает следующую инструкцию.
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Комплексные числа
Понятие о комплексных числах. Действия с комплексными числами. Решение уравнений с комплексным переменным.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: Аx +Вy= Сz/1/ не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
История развития комплексных чисел
Р Е Ф Е Р А Т История развития комплексных чисел 1. История развития комплексных чисел Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.
Комплексные числа и действия над ними
Лекция 10 Комплексные числа и действия над ними Рассмотрим уравнение Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число
Проверка больших чисел на простоту
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра ИИТ Лабораторная работа №4
Китайская система счисления
1. Структура системы счисления Китая. Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять. (Смотреть таблицу обозначений чисел.)
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.
Краткое доказательство гипотезы Билля
Формулировка гипотезы Билля и методика ее краткого доказательства. Анализ составляющих гипотезу алгебраических выражений. Использование метода замены переменных при доказательстве гипотезы Билля, не имеющей решения при целых положительных числах.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Закономерность распределения простых чисел (дополнение)
Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.
Дуальные числа
Определение дуальных чисел. Свойства дуальных чисел. Функция и дифференциал функции. Аналог уравнений Коши-Римана. Оператор дифференцирования в области дуальных чисел.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Н.М. Козий, 2008, [UA] Свидетельство Украины № 25256 о регистрации авторского права ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, при условии, что больше 2.
Комплексные числа
Автор работы раскрывает содержание основ элементарной математики, довольно полно и исчерпывающе излагает материал на темы сложения и вычитания, деления и умножения (геометрический аспект).
Метод комплексных чисел в планиметрии
Предисловие В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».
Проверка больших чисел на простоту
Изучение основных подгрупп алгоритмов проверки простоты больших чисел: детерминированные и вероятностные проверки. Исследование методов генерации и проверки на простоту больших чисел с помощью метода Ферма (малая теорема Ферма), составление программы.
Пифагор
Великий древнегреческий ученый родился на острове Самос в VI веке до н.э. В молодости побывал в Египте, где учился у жрецов. Говорят, что он был допущен в сокровенные святилища Египта, посетил халдейских мудрецов и персидских магов. Около 530 г. до н.э. Пифагор переехал в Кротон – греческую колонию в Южной Италии, где основал так называемый пифагорейский союз (или кротонское братство).
Решение головоломки Ж. Арсака
Работа посвящена решению головоломки, условие которой находится в книге Ж.Арсака «Программирование игр и головоломок».
Стибиц (Stibitz) Джордж
Стибиц (Stibitz) Джордж, американский математик, создатель одного из первых электромеханических вычислительных устройств - двоичного сумматора.
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.