Вариант 10
(для студентов, номера личных дел которых
оканчиваются цифрой 0)
Контрольная работа №3
1.
На первом станке обработано 20 деталей, из них семь с дефектами, на втором -
30, из них четыре с дефектами, на третьем - 50 деталей, из них 10 с дефектами.
Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалась без дефектов.
Какова
вероятность того, что она обработана на третьем станке?
Для
решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса:
Пусть
Н1, Н2, … Нn – полная группа попарно
несовместных событий гипотезы, А – случайное событие, тогда:
Введем
гипотезы: Н1 – деталь обработана на первом станке, Н2 –
деталь обработана на втором станке, Н3– деталь обработана на третьем
станке.
Введем
событие А – купленная деталь оказалась без дефектов.
Тогда,
по условию задачи:
Так
как на первом станке было изготовлено 20-7 = 13 деталей без дефектов, то
На
втором станке было изготовлено 30-4 = 26 деталей без дефектов, то
А
на третьем станке было изготовлено 50-10 = 40 деталей без дефектов, то
По
формуле полной вероятности получаем:
По
формуле Байеса:
Ответ:
2.
Сколько семян следует взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть
уверенным, что частость взошедших семян будет отличаться от вероятности р - 0,9
не более чем на 2% (по абсолютной величине)?
Решение
По
условию, р=0,9, тогда q=0,1. Необходимо найти n. Необходимо, чтобы условие
выполнялось
с вероятностью, не меньшей, чем 0,9545. Раскроем модуль и найдем границы для m:
По
теореме Муавра-Лапласа:
По
условию, ≥0,9545.
По
математико-статистическим таблицам находим приближенное значение функции
Лапласса:
Ф(Х)
= 0,9545, где Х=.
Имеем:
Ф(Х) = 2,0 , отсюда
Итак,
следует взять не менее 900 семян.
3.
Завод «Пино» (г. Новороссийск) отправил в Москву 2000 бутылок вина « Каберне».
Вероятность того, что в пути может разбиться бутылка, равна 0,002.
Какова
вероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок?
Если
проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может
наступить с одной и той же вероятностью, тогда вероятность Рn(m)
того, что событие наступило m раз в этой серии испытаний можно найти:
Р(А)
= ,
так
как число n=2000 велико, а вероятность р=0,002 мала, то найдем:
то
воспользуемся формулой Пуассона:
Искомая
вероятность приближенно равна:
P
= P2000(0)+ P2000(1)+ P2000(2)+
P2000(3)+ P2000(4)+ P2000(5)≈0,0183+0,0733+0,1465+0,1954+0,1954+0,1563
= 0,7852
Ответ: Р≈0,7852
4. Одна из случайных
величин (X) задана законом
распределения:
а
другая (У) имеет биномиальное распределение с параметрами п=2,р=0,4.
Составить
закон распределения их разности. Найти математическое ожидание и дисперсию этой
случайной величины.
Найдем
закон распределения для величины (Y):
y |
0 |
1 |
2 |
p |
p0=0,36
|
p1=0,48
|
p2=0,16
|
Z11
= X1 - Y1 = 0-0 = 0; p(Z11) = 0,2·0,36=0,072;
Z12
= X1 - Y2 = 0-1 = -1; p(Z12) = 0,2·0,48=0,096;
Z13
= X1 - Y3 = 0-2 = -2; p(Z13) = 0,2·0,16=0,032;
Z21
= X2 - Y1 = 1-0 = 1; p(Z11) = 0,3·0,36=0,108;
Z22
= X2 - Y2 = 1-1 = 0; p(Z11) = 0,3·0,48=0,144;
Z23
= X2 - Y3 = 1-2 = -1; p(Z11) = 0,3·0,16=0,048;
Z31
= X3 - Y1 = 3-0 = 3; p(Z11) = 0,5·0,36=0,018;
Z32
= X3 - Y2 = 3-1 = 2; p(Z11) = 0,5·0,48=0,024;
Z33
= X3 - Y3 = 3-2 = 1; p(Z11) = 0,5·0,16=0,08.
Итак, закон распределения разности имеет вид:
Z |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
0,032 |
0,096+0,048=0,144 |
0,072+0,144=0,216 |
0,108+0,08=0,188 |
0,24 |
0,18 |
Мат. ожидание:
М(Z)
= -2·0,032-1·0,144+0·0,216+1·0,188+2·0,24+3·0,18=
-0,02+0,48+0,54 = 1
Проверка:
М(Х)
= 0,3+1,5 = 1,8
М(Y)
= np = 0,8
M(X-Y)
= M(X) – M(Y) = 1,8-0,8 = 1.
Дисперсия:
D(Z) = M(Z2)-[M(Z)]2
M(Z2)=0,128+0,144+0+0,188+0,96+1,62
= 3,04
D(Z)
= 3,04-1 = 2,04.
5.
Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределенная случайная
величина с математическим ожиданием М{Х) = 10 и средним квадратическим
отклонением δ = 2, найти вероятность того, что длина наугад взятой детали
заключена в интервале (5; 6).
В каких границах
(симметричных относительно М(Х)) будет заключена длина наугад взятой детали с
вероятностью 0,95?
1.
2
Используя таблицу
значений нормированной функции Лапласса, имеем:
Список использованной
литературы
1.
Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е
изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
Другие работы по теме:
Оценка точности и надежности результатов измерений
Значения показателей и коэффициент вариации. Пределы возможных ошибок, исключение ошибочных результатов. Величина доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей. Средние квадратичные отклонения. Значения коэффициента доверия.
Сущность неоклассической экономической теории
Неоклассическая экономическая теория возникла в 1870-е годы. Представители: Карл Менгер, Фридрих фон Визер, Эйген фон Бём-Баверк (австрийская школа), У. С. Джевонс и Л. Вальрас (математическая школа), Дж. Б. Кларк (американская школа), А. Маршалл и А. Пигу (кембриджская школа).
Надежность и диагностика электрооборудования
Задание по нахождению вероятности безотказной работы электроустановки со всеми входящими в нее элементами. Надежность как важнейший технико-экономический показатель качества любого технического устройства. Структурная надежность электрической машины.
Способ определения живучести связи (вероятности связности)
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ. Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов их построения.
Надежность, эргономика, качество АСОИУ
Структурная схема надежности технической системы. График изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки до уровня 0,1-0,2. 2. Определение Y-процентной наработки технической системы.
Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
Теория вероятности и математическая статистика
Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
Теория вероятности и математическая статистика
Теорема Бернулли на примере моделирования электросхемы. Моделирование случайной величины, имеющей закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону. Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив закон распределения.
Теория вероятности
Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
Теория вероятности
Формулировка теоремы Бернулли, проверка ее с помощью программы. Моделирование случайной величины методом кусочной аппроксимации. График распределения Коши, построение гистограммы и нахождения числовых характеристик, составление статистического ряда.
Основы теории вероятности
Контрольная работа Основы теории вероятности Задание 1 Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы. Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”
Задача по Математике 5
Задача № 74 Случайная величина х задана функцией распределения. Требуется: 1) найти функцию плотности вероятности f(x); 2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины х;
Элементы комбинаторики 2
Алтайский Государственный Аграрный Университет Индивидуальное задание по теории вероятности. Тема: Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретная случайная величина.
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
Контрольная по теории вероятности
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Оценка точности и надежности результатов измерений
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Цель работы: по данным результатов измерений найти предварительные значения показателей вариации, оценить пределы возможных ошибок и после исключения ошибочных результатов найти точные показатели вариации, определить величину доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей.
Теория вероятности
Определение числа исходов, благоприятствующих данному событию. Теорема умножения вероятностей и сложения несовместных событий, локальная теорема Лапласа. Расчет среднеквадратического отклонения величин. Несмещенная оценка генеральной средней и дисперсии.
Поиск заданной вероятности
Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров, 3 менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из 3-х его членов. Поиск вероятности того, что в подкомитет войдут: 2 бухгалтера и менеджер; бухгалтер, менеджер и инженер; хотя бы один бухгалтер.
Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности потери в ожесточенном бою одновременно глаза, рук, ноги; выбор возможных вариантов женитьбы; выигрыша, смерти. Расчет максимальной страховой риск компании и не оказаться в убытке.
Теория вероятностей
Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
Теория вероятностей
Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения.
Умножение матрицы. Теория вероятности
Преобразование матрицы: умножение, приведение коэффициентов на главной диагонали матрицы к 1. Решение системы уравнений методом Крамера. Определители дополнительных матриц. Определение вероятности события (теория вероятности), математическая статистика.
Способ определения живучести связи вероятности связности
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ. Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов их построения.
Расчет структурной надежности системы
Структурная схема надежности технической системы. Построение графика изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0.1 - 0.2. Анализ зависимостей вероятностей безотказной работы.
Расчет структурной надежности системы
Структурная схема надежности технической системы. Вероятность безотказной работы системы, ее график. Метод разложения относительно особого элемента. Период нормальной эксплуатации и экспотенциальный закон. Процентная наработка системы и резервирование.
Математическая теория информации
Механизм передачи информации, ее количество и критерии измерения. Единицы информации в зависимости от основания логарифма. Основные свойства и характеристики количества информации, ее энтропия. Определение энтропии, избыточности информационных сообщений.
Математическая система информации
Курс: "Теория информации и кодирования" Тема: "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ" 1. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ, И ЕЕ МЕРА На вход системы передачи информации (СПИ) от источника информации подается совокупность сообщений, выбранных из ансамбля сообщений (рис.1).
Происхождение человека 9
Жизнь с каждым днем доказывает, что в этом мире нет случайностей. Теория вероятности существует, но множество событий жизни происходят так, что становится очевидно, что есть кто-то "главнее" . Известно, что Библия писалась людьми, учениками Бога. Однако я не отрицаю, что, возможно, она писалась с Божьей помощью.