Алгебра

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ
6 Ìíîãî÷ëåíû 3
6.1 Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2 Òåîðåìà î äåëåíèè ñ îñòàòêîì. Òåîðåìà Áåçó. Ñõåìà Ãîðíåðà 6 6.3 Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. ÍÎÄ è ÍÎÊ . . . . . . . . . . . .
9
6.4 Íåïðèâîäèìîñòü. Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå. Êðàòíîñòü . . 20 6.5 Ïðîèçâîäíàÿ è êðàòíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.6 Àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûå ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.7 Ìíîãî÷ëåíû íàä ÷èñëîâûìè ïîëÿìè . . . . . . . . . . . . . 32
7 Îñíîâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû 36
8 Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà 37
8.1 Ïîíÿòèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.2 Áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.3 Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . . . . . . . . 43 8.4 Ïåðåõîä îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó. Ìàòðèöà ïåðåõîäà . . 47 8.5 Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå 58
9.1 Ïðîñòðàíñòâî è àëãåáðà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . 58 9.2 Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì
ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.3 Ðàíã è äåôåêò ëèíåéíîãî îïåðàòîðà . . . . . . . . . . . . . 68 9.4 Îáðàòèìîñòü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà . . . . . . . . . . . . . . 71
1
9.5 Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû è ëèíåéíîãî îïå-
ðàòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.6 Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíîãî
îïåðàòîðà è ìàòðèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ãëàâà 6
Ìíîãî÷ëåíû
6.1 Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ
Ïóñòü k íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ïîëå.
Îïðåäåëåíèå 6.1.1. Ìíîãî÷ëåíîì îò íåèçâåñòíîãî x íàä êîëüöîì k íà- çûâàåòñÿ ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå âèäà
∞
α i x i ,
i=0
ãäå x ñèìâîë íåèçâåñòíîãî, α ýëåìåíòû ïîëÿ k, ïî÷òè âñå ðàâíûå
i
0, òî åñòü (∃ n ∈ N) (∀ i > n) α i = 0 .
 äàëüíåéøåì ìíîãî÷ëåíû áóäåì îáîçíà÷àòü f(x), g(x), h(x), f 1 (x) ,
f 2 (x) ,. . . èëè êîðî÷å f, g, h, f 1 , f 2 ,. . .
∞
f (x) = α i x i . (6.1)
i=0
Åñëè â ìíîãî÷ëåíå (6.1) ∀ 0 i < ∞ α i = 0 , òî ìíîãî÷ëåí áóäåì
íàçûâàòü íóëåâûì è îáîçíà÷àòü 0.
Îïðåäåëåíèå 6.1.2. Ñëàãàåìûå α i x i áóäåì íàçûâàòü ÷ëåíàìè ìíîãî-
÷ëåíà (6.1), à ýëåìåíòû α áóäåì íàçûâàòü êîýôôèöèåíòàìè ìíîãî÷ëåíà
i
(6.1).
3
4 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
Åñëè â ìíîãî÷ëåíå (6.1) ∀ i > n α i = 0 , òî áóäåì ïèñàòü:
n
f (x) = α i x i èëè f(x) = α 0 + α 1 x + · · · + α n x n . (6.2)
i=0
Çäåñü ïðè ïåðåõîäå îò çàïèñè (6.1) ê çàïèñè (6.2) ìû ïèøåì α âìåñòî
0
α 0 x 0 . Ïðè ýòîì α 0 íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì ÷ëåíîì ìíîãî÷ëåíà f(x).
Îïðåäåëåíèå 6.1.3. Ñòåïåíüþ íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà f(x) íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèé íîìåð îòëè÷íîãî îò íóëÿ êîýôôèöèåíòà ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç deg f(x) ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà f(x). Åñëè â çàïèñè (6.2) α
n = 0 , òî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà f(x) ðàâíà n,
òî åñòü deg f(x) = n.  ýòîì ñëó÷àå, α n x n íàçûâàåòñÿ ñòàðøèì ÷ëåíîì
ìíîãî÷ëåíà, α íàçûâàåòñÿ ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì ìíîãî÷ëåíà.
n
Ìíîæåñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ îò íåèçâåñòíîãî x íàä ïîëåì k îáîçíà-
÷àåòñÿ k[x] è íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì k.
Ïóñòü
∞ ∞
f (x) = α i x i , g(x) = β i x i , f, g ∈ k[x].
i=0 i=0
Îïðåäåëåíèå 6.1.4. Äâà ìíîãî÷ëåíà f(x), g(x) ∈ k[x] íàçûâàþòñÿ ðàâ- íûìè, åñëè ðàâíû âñå èõ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x, òî åñòü (∀ 0
i < ∞) α i = β i .
 ìíîæåñòâå k[x] ââåäåì äâå îïåðàöèè: ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìíî-
ãî÷ëåíîâ.
Îïðåäåëåíèå 6.1.5. Ñóììîé äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ f è g íàçûâàåòñÿ ìíî- ãî÷ëåí
∞
f + g = (α i + β i )x i .
i=0
Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ f è g íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí
∞
f · g = γ i x i , ãäå γ i = α ν β µ .
i=0 ν+µ=i
ν,µ 0
6.1. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ 5
Çàìå÷àíèå 6.1.1. Ôîðìóëà äëÿ óìíîæåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåìíîæèòü äâà ìíîãî÷ëåíà, äîñòàòî÷íî êàæäûé ÷ëåí ïåðâîãî ìíîãî- ÷ëåíà óìíîæèòü íà êàæäûé ÷ëåí âòîðîãî ìíîãî÷ëåíà è ïðèâåñòè ïîäîá- íûå ÷ëåíû.
Îïðåäåëåíèå 6.1.5 êîððåêòíî â òîì ñìûñëå, ÷òî f + g è f · g äåéñòâè-
òåëüíî áóäóò ìíîãî÷ëåíàìè. Òàê êàê f è g ìíîãî÷ëåíû, òî (∃ n ∈ ∈ N) (∀ i > n) α
i = 0, β i = 0 . Òîãäà (∀ i > n) α i + β i = 0 ⇒ f + g
ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì.
Äëÿ f · g ïîäñ÷èòàåì γ i , ∀ i > 2n . Òàê êàê i = ν + µ, òî èç óñëîâèÿ
i > 2n ⇒ ν > n èëè µ > n ⇒ α ν = 0 èëè β µ = 0 ⇒ γ i = α ν β µ = 0 äëÿ
i > 2n . À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî f · g ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ñòåïåíè ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëå-
íîâ.
Ïóñòü f = 0 è g = 0 ìíîãî÷ëåíû èç k[x],
∞ ∞
f (x) = α i x i , g(x) = β i x i .
i=0 i=0
Ïóñòü deg f = n, òî åñòü α n = 0, deg g = m , òî åñòü β m = 0 . Îáîçíà÷èì
÷åðåç N = max(n, m).
Ðàññìîòðèì
∞
f + g = (α i + β i )x i .
i=0
ßñíî, ÷òî (∀ i > N) α i = 0 è β i = 0 ⇒ γ i = α i + β i = 0 . Ñëåäî-
âàòåëüíî, deg(f + g) N . Çíà÷èò, deg(f + g) max(deg f, deg g) . Çíàê
ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè n = m.
Ðàññìîòðèì
∞
f · g = γ i x i ãäå γ i = α ν β µ .
i=0 ν+µ=i
ν,µ 0
Åñëè i > n + m, òî ν > n èëè µ > m ⇒ α ν = 0 èëè β µ = 0 ⇒ γ i = 0 .
Ïîëó÷àåì deg f · g n + m . Çíà÷èò, deg f · g deg f + deg g .
6 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
Ñîñ÷èòàåì
γ n+m = α ν β µ = α n β m .
ν+µ=n+m
Òàê êàê α n = 0 è β m = 0 , òî α n β m = 0.  ýòîì ñëó÷àå γ n+m = 0 è
deg f · g = deg f + deg g .
6.2 Òåîðåìà î äåëåíèè ñ îñòàòêîì. Òåîðåìà Áåçó.
Ñõåìà Ãîðíåðà
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2.1 (î äåëåíèè ñ îñòàòêîì). Ïóñòü k ïîëå, f è g ∈ k[x]
, ïðè÷åì g = 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïàðà ìíîãî-
÷ëåíîâ q, r ∈ k[x] òàêàÿ, ÷òî
1) f = gq + r;
2) r = 0 (èëè r = 0, deg r < deg g).
Äîêàçàòåëüñòâî. I) Ñóùåñòâîâàíèå ìíîãî÷ëåíîâ q è r. à) Ïóñòü f = 0 (èëè f = 0, deg f < deg g).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü f = 0 · g + f, (q = 0, r = f )
. Óñëîâèÿ 1) è 2) âûïîëíåíû.
á) f = 0 è deg f deg g . Ïóñòü
f = α n x n + . . . + α 0 , α n = 0,
g = β m x m + . . . + β 0 , β m = 0.
deg f = n, deg g = m, n m . Ïîñòðîèì ìíîãî÷ëåí
f 1 = f − α n β m −1 x n−m g. (1)
Ìíîãî÷ëåí f ïîñòðîåí òàê, ÷òîáû óíè÷òîæèòü ñòàðøèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà
1
f . Èìååì f 1 = 0 èëè f 1 = 0 è deg f 1 = n 1 < n .
Åñëè n 1 < m , òî ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ çàêàí÷èâàåì. Åñ-
ëè n 1 m , òî, îáîçíà÷àÿ ÷åðåç α (1) n 1 ñòàðøèé êîýôôèöèåíò f 1 , ñòðîèì
ìíîãî÷ëåí
Îïÿòü ìíîãî÷ëåí f ñòðîèòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óíè÷òîæèòü ñòàð-
2
øèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà f 1 . Èìååì f 2 = 0 èëè f 2 = 0 è deg f 2 = n 2 < n 1 .
Åñëè n 2 < m , òî ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ çàêàí÷èâàåì. Åñëè
n 2 m , òî ïðîäîëæàåì è ò. ä.
Çàìåòèì, ÷òî ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ f, f , f , f ,. . . îáðàçóþò ñòðîãî
1 2 3
óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, òîãäà â êîíöå êîí- öîâ ïîëó÷èì n > n
1 > n 2 > . . . > n s , ãäå n s < m .
f s = f s−1 − α (s−1) n s−1 β m −1 x n s−1 −m g, (s)
ãäå f s = 0 èëè f s = 0 è deg f s = n s < m .
Ñëîæèì ïî÷ëåííî âñå ðàâåíñòâà (1), (2), . . . , (s), ïîëó÷èì
f s = f − α n β m −1 x n−m + α (1) n 1 β m −1 x n 1 −m + . . . + α (s−1) n s−1 β m −1 x n s−1 −m g.
Îáîçíà÷èì f ÷åðåç r,à ñîäåðæèìîå ñêîáêè ÷åðåç q. Ïîëó÷èì r = f −
s s
− qg ⇒ f = qg + r , òî åñòü ïîëó÷èëè ðàâåíñòâî 1), ãäå r = 0 ∨ (r =
= 0 ∧ deg r < deg g) óñëîâèå 2).
II) Åäèíñòâåííîñòü q è r.
Äîïóñòèì, ÷òî íàðÿäó ñ ïàðîé ìíîãî÷ëåíîâ q è r, óñòàíîâëåííûõ â
÷àñòè I), ñóùåñòâóåò äðóãàÿ ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ q è r, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì 1) è 2), òî åñòü f = qg + r è r = 0 ∨ (r = 0 ∧ deg r < deg g). Èìååì
qg + r = qg + r ⇒ (q − q)g = r − r. (∗)
Ïîêàæåì, ÷òî q − q = 0. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü q − q = 0. Ïóñòü α = 0
ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, òîãäà ñòàðøèé êîýô-
ôèöèåíò ìíîãî÷ëåíà (q − q)g áóäåò αβ m = 0 . Åñëè áû αβ m = 0 , òî α = 0.
Çíà÷èò deg(q − q)g = deg(q − q) + deg g deg g .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû r − r = 0 èëè r − r = 0, deg(r − r) < deg g. Ìû
ïîëó÷èëè, ÷òî â ðàâåíñòâå (∗) ñëåâà ñòîèò ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî íå ìåíüøå deg g, à ñïðàâà ñòîèò íóëåâîé ìíîãî÷ëåí èëè ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî ìåíüøå deg g. Ýòî è åñòü ïðîòèâîðå÷èå.
Îïðåäåëåíèå 6.2.1.  îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåìû 6.2.1 ìíîãî÷ëåíû q è r íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íåïîëíûì ÷àñòíûì è îñòàòêîì îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f íà ìíîãî÷ëåí g.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2.2 (Áåçó). Îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f(x) íà x − γ
ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà f(x) ïðè x = γ, òî åñòü f(γ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f(x) = q(x)(x − γ) + r(x), r(x) = 0 ∨ (r(x) = = 0 ∧ deg r(x) < 1)
. Ïîëó÷àåì r(x) = 0 ∨ deg r(x) = 0, â ëþáîì ñëó÷àå
r(x) = r ∈ k .
Ïóñòü q(x) = β 0 + β 1 x + . . . + β s x s , òîãäà f(x) = q(x) · x − q(x)γ + r =
= β 0 x + β 1 x 2 + . . . + β s x s+1 − β 0 γ − β 1 xγ − . . . − β s x s γ + r .
Ñîñ÷èòàåì f(γ) = β 0 γ+β 1 γ 2 +. . .+β s γ s+1 −β 0 γ−β 1 γ 2 −. . .+β s γ s+1 +r =
= r . Òàêèì îáðàçîì, r = f(γ).
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà f(x) íà (x − γ) ïî òàê íà-
çûâàåìîé ñõåìå Ãîðíåðà.
Ïóñòü f(x) = α 0 x n + α 1 x n−1 + . . . + α n , α 0 = 0 . Ðàçäåëèì f(x) íà
(x − γ) ñ îñòàòêîì, ïîëó÷èì f(x) = q(x)(x − γ) + r. Ìíîãî÷ëåí q(x)
áóäåì èñêàòü â âèäå q(x) = β 0 x n−1 + β 1 x n−2 + . . . + β n−1 . Íàøà çàäà÷à
íàéòè êîýôôèöèåíòû β 0 , β 1 , . . . , β n−1 è îñòàòîê r.
Ïîäñòàâèì â ýòî ñîîòíîøåíèå âìåñòî q(x) è f(x) èõ çíà÷åíèÿ. Èìååì,
α 0 x n + α 1 x n−1 + . . . + α n = β 0 x n−1 + β 1 x n−2 + . . . + β n−1 (x − γ) + r . Äâà
ìíîãî÷ëåíà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ. Ñðàâíèì êîýôôèöèåíòû.
x n : α 0 = β 0 ⇒ β 0 = α 0 ;
x n−1 : α 1 = β 1 − β 0 γ ⇒ β 1 = β 0 γ + α 1 ;
x n−2 : α 2 = β 2 − β 1 γ ⇒ β 2 = β 1 γ + α 2 ;
. . .
x 1 : α n−1 = β n−1 − β n−2 γ ⇒ β n−1 = β n−2 γ + α n−1 ;
x 0 : α n = r − β n−1 γ ⇒ r = β n−1 γ + α n .
6.3. Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. ÍÎÄ è ÍÎÊ 9
Òàêèì îáðàçîì âèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû íåïîëíîãî ÷àñòíîãî è îñòà-
òîê íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ îäíîòèïíûõ âû÷èñëåíèé, à èìåííî, ÷òîáû íàé- òè β
k = β k−1 γ+α k . Ýòè âû÷èñëåíèÿ óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå ñëåäóþùåé
ñõåìû Ãîðíåðà.
α 0 α 1 α 2 . . . α n−1 α n
γ α 0 β 0 γ + α 1 β 1 γ + α 2 . . . β n−2 γ + α n−1 β n−1 γ + α n
|| || || || ||
β 0 β 1 β 2 . . . β n−1 r = f (γ)
Ïðèìåð: f(x) = x 5 − 2x 4 + 3x 3 − 4x 2 + x − 1 . Íàéäåì f(4).
1 −2 3 −4 1 −1
4 1 2 11 40 161 643
f (4) = 643 , f(x) = (x 4 + 2x 3 + 11x 2 + 40x + 161)(x − 4) + 643 .
6.3 Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. Íàèáîëüøèé îáùèé äå-
ëèòåëü è íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå
Îïðåäåëåíèå 6.3.1. Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí f(x) äåëèòñÿ íà ìíîãî- ÷ëåí g(x) = 0 èëè, ÷òî ìíîãî÷ëåí g(x) äåëèò ìíîãî÷ëåí f(x) èëè, ÷òî ìíîãî÷ëåí g(x) ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ìíîãî÷ëåíà f(x) èëè, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (x)
êðàòåí ìíîãî÷ëåíó g(x), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí q(x), ÷òî
f (x) = q(x) · g(x) .
Îïðåäåëåíèå 6.3.2. Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí f(x) äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí g(x) = 0
, åñëè îñòàòîê îò äåëåíèÿ f(x) íà g(x) ðàâåí íóëþ.
Òî, ÷òî ìíîãî÷ëåí g(x) äåëèò f(x) îáîçíà÷àåòñÿ êàê g|f.
Îïðåäåëåíèå 6.3.3. Äâà íåíóëåâûõ ìíîãî÷ëåíà f(x) è g(x) íàçûâàþòñÿ àññîöèèðîâàííûìè f ∼ g, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ìíîæèòå- ëåì ðàâíûì íåíóëåâîé êîíñòàíòå, òî åñòü f = αg, α ∈ k
∗ = k{0} .
Ñâîéñòâà äåëèìîñòè
10 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
1. (∀ f = 0) f|f.
2. (∀ g = 0) g|0.
3. Äâà íåíóëåâûõ ìíîãî÷ëåíà àññîöèèðîâàíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îíè äåëÿò äðóã äðóãà, òî åñòü f ∼ g ⇔ f|g è g|f.
4. Åñëè h|g, g|f, òî h|f (òðàíçèòèâíîñòü).
5. Åñëè h|g, h|f, òî (∀ u, v ∈ k[x]) h|(ug + vf).
6. Äåëèòåëÿìè íåíóëåâûõ êîíñòàíò ìîãóò áûòü òîëüêî íåíóëåâûå êîí-
ñòàíòû, òî åñòü åñëè g|f è deg f = 0, òî deg g = 0.
7. Íåíóëåâàÿ êîíñòàíòà äåëèò íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí, òî åñòü åñëè
deg g = 0 , òî (∀ f) g|f.
8. Åñëè g|f è f = 0, òî deg g deg f , ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãà-
åòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g ∼ f.
9. Îòíîøåíèå äåëèìîñòè, åñòü îòíîøåíèå ìåæäó êëàññàìè àññîöèèðî-
âàííûõ ìíîãî÷ëåíîâ, òî åñòü åñëè g|f, g ∼ g , f ∼ f , òî g |f .
1 1 1 1
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) f(x) = 1 · f(x), òî åñòü f|f è q(x) = 1.
2) 0 = 0 · g(x), òî åñòü g|0 è q(x) = 0. 3) à) Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f ∼ g, òîãäà f = αg, ãäå α ∈ k
∗ , òî åñòü g|f è q = α. Òàê êàê
α = 0 , òî g = α −1 f , òî åñòü f|g è q = α −1 .
b) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü g|f è f|g. Èìååì, f = qg, g = q
1 f , ñëåäîâàòåëüíî f = q(q 1 f ) , òî
åñòü (1 − qq 1 )f = 0 . Òàê êàê f = 0, òî 1 − qq 1 = 0 , òî åñòü qq 1 = 1 . Çíà÷èò
deg qq 1 = 0 ⇒ deg q + deg q 1 = 0 ⇒ deg q = deg q 1 = 0 , ñëåäîâàòåëüíî q è
q 1 êîíñòàíòû. Èìååì f = qg, ãäå q ∈ k ∗ ⇒ f ∼ g .
4) Èìååì g = qh, f = q 1 g . Òîãäà f = q 1 (qh) = (q 1 q)h ⇒ h|f .
6.3. Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. ÍÎÄ è ÍÎÊ 11
5) Èìååì g = qh, f = q 1 h . Òîãäà ug = uqh, vf = vq 1 h . Ðàññìîòðèì
ug + vf = (uq + vq 1 )h ⇒ h|(ug + vf ) .
6) Èìååì deg f = 0 è f = qg ⇒ deg f = deg q + deg g = 0 ⇒ deg q =
= deg g = 0 , òî åñòü q è g êîíñòàíòû.
7) Òàê êàê deg g = 0, òî g ∈ k ∗ , ïîýòîìó ñóùåñòâóåò g −1 ∈ k ∗ . Òîãäà
f = (f g −1 )g ⇒ g|f .
8) Èìååì f = qg ⇒ deg f = deg g + deg q ⇒ deg f deg g . Âèäíî, ÷òî
çíàê ðàâåíñòâà áóäåò âûïîëíÿòüñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà deg q = = 0 ⇒ q ∈ k
∗ ⇔ f ∼ g .
9) Èìååì f = qg, g = αq 1 , f = βf 1 , ãäå α, β ∈ k ∗ . Òîãäà βf 1 = qαg 1 ⇒
⇒ f 1 = (β −1 qα)g 1 ⇒ g 1 |f 1 .
 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü êîíå÷íóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ
{f 1 , f 2 , . . . , f s } , ñðåäè êîòîðûõ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ìíîãî÷ëåí îòëè÷åí
îò íóëÿ.
Îïðåäåëåíèå 6.3.4. Ìíîãî÷ëåí d íàçûâàåòñÿ îáùèì äåëèòåëåì ñèñòå- ìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s } , åñëè îí äåëèò âñå ìíîãî÷ëåíû äàííîé
ñèñòåìû, òî åñòü (∀ 1 i s) d|f i .
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.1 (î ðàâíîñèëüíûõ óñëîâèÿõ, îïðåäåëÿþùèõ ÍÎÄ). Ïóñòü {f
1 , f 2 , . . . , f s } ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ, ñðåäè êîòîðûõ
ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ìíîãî÷ëåí îòëè÷åí îò íóëÿ, è d íåêîòîðûé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí (d = 0). Ðàâíîñèëüíû ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäå- íèÿ:
1) ñîâîêóïíîñòü äåëèòåëåé ìíîãî÷ëåíà d ñîâïàäàåò ñ ñîâîêóïíîñòüþ
îáùèõ äåëèòåëåé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f 1 , f 2 , . . . , f s } ;
2) ìíîãî÷ëåí d ÿâëÿåòñÿ îáùèì äåëèòåëåì ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ
{f 1 , f 2 , . . . , f s } , êîòîðûé äåëèòñÿ íà ëþáîé äðóãîé îáùèé äåëèòåëü
ýòîé ñèñòåìû.
12 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2)
Òàê êàê ñðåäè äåëèòåëåé ìíîãî÷ëåíà d íàõîäèòñÿ ñàì ìíîãî÷ëåí d, òî
ïî óñëîâèþ 1), d ÿâëÿåòñÿ îáùèì äåëèòåëåì {f 1 , f 2 , . . . , f s } .
Ïóñòü òåïåðü d ëþáîé îáùèé äåëèòåëü {f 1 , f 2 , . . . , f s } , òîãäà ïî
óñëîâèþ 1) d ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç äåëèòåëåé ìíîãî÷ëåíà d, òî åñòü d äåëèòñÿ íà d . 2) ⇒ 1)
Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 1) óñòàíîâèì â äâà øàãà.
à) Ïóñòü d ëþáîé äåëèòåëü ìíîãî÷ëåíà d. Èìååì d |d, à ïî óñëîâèþ 2) (∀ 1
i s) d|f i ⇒ (∀ 1 i s) d |f i , òî åñòü d ÿâëÿåòñÿ îáùèì
äåëèòåëåì ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f 1 , f 2 , . . . , f s } .
á) Îáðàòíî. Ïóñòü d ëþáîé îáùèé äåëèòåëü ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s } . Òîãäà ïî óñëîâèþ 2) ìíîãî÷ëåí d äåëèòñÿ íà d , òî åñòü
d ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ìíîãî÷ëåíà d.
Îïðåäåëåíèå 6.3.5. Íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì (ÍÎÄ) ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s } , íàçûâàåòñÿ ëþáîé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí d,
óäîâëåòâîðÿþùèé ëþáîìó èç ðàâíîñèëüíûõ óñëîâèé òåîðåìû 6.3.1.
Îïðåäåëåíèå 6.3.6. ÍÎÄ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ íàçûâàåòñÿ òàêîé îá- ùèé äåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû, êîòîðûé äåëèòñÿ íà ëþáîé äðóãîé îáùèé äåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ.
Ñëåäñòâèå 6.3.1.1. Åñëè ÍÎÄ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ ñóùåñòâóåò, òî îí îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü d 1 , d 2 äâà ÍÎÄ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ
f 1 , f 2 , . . . , f s , áóäåì ðàññìàòðèâàòü d 1 êàê ÍÎÄ ñèñòåìû, à d 2 êàê ÎÄ
ñèñòåìû f 1 , f 2 , . . . , f s . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ 6.3.6 d 2 |d 1 . Ïîìåíÿåì ðîëÿ-
ìè d è d , òî åñòü d áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ÎÄ, à d êàê ÍÎÄ
1 2 1 2
ñèñòåìû f 1 , f 2 , . . . , f s . Ïî îïðåäåëåíèþ 6.3.6 d 1 |d 2 , òîãäà ïî 3 ñâîéñòâó
äåëèìîñòè d ∼ d .
6.3. Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. ÍÎÄ è ÍÎÊ 13
Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ñóùåñòâóåò ëè ÍÎÄ ñèñòåìû ìíîãî-
÷ëåíîâ {f 1 , f 2 , . . . , f s } ? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ïîëîæèòåëüíûé. Óáåäèìñÿ
â ýòîì ñíà÷àëà äëÿ ñèñòåìû èç 2-õ ìíîãî÷ëåíîâ. Ìû äîêàæåì ñóùå- ñòâîâàíèå ÍÎÄ 2-õ ìíîãî÷ëåíîâ è óêàæåì àëãîðèòì åãî íàõîæäåíèÿ. Ýòîò àëãîðèòì íàçûâàåòñÿ àëãîðèòìîì Åâêëèäà è îí îñíîâàí íà ìåòîäå ïîñëåäîâàòåëüíîãî äåëåíèÿ. Ïóñòü f è g äâà íåíóëåâûõ ìíîãî÷ëåíà, deg f
deg g . Ðàçäåëèì f íà g ñ îñòàòêîì, ïîëó÷èì
f = q 1 g + r 1 , ãäå r 1 = 0 èëè (r 1 = 0 è deg r 1 < deg g) .
Åñëè r 1 = 0 , òî ïðîöåññ äåëåíèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ. Åñëè r 1 = 0 , òî äåëèì g
íà r ñ îñòàòêîì, ïîëó÷èì
1
g = q 2 r 1 + r 2 , ãäå r 2 = 0 èëè (r 2 = 0 è deg r 2 < deg r 1 ) .
Åñëè r 2 = 0 , òî ïðîöåññ äåëåíèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ. Åñëè r 2 = 0 , òî äåëèì r 1
íà r ñ îñòàòêîì, ïîëó÷èì
2
r 1 = q 3 r 2 + r 3 , ãäå r 3 = 0 èëè (r 3 = 0 è deg r 3 < deg r 2 ) .
È òàê äàëåå. Âîçíèêàåò âîïðîñ: íàø ïðîöåññ êîíå÷åí èëè áåñêîíå÷åí? Çàìåòèì, ÷òî ñòåïåíè îñòàòêîâ îáðàçóþò ñòðîãî óáûâàþùóþ ïîñëåäî- âàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, à èìåííî deg g > deg r
1 > deg r 2 >
deg r 3 > . . . , êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîé.  êîíöå êîíöîâ ïîëó-
÷èì ðàâåíñòâà
r k−2 = q k r k−1 + r k ;
r k−1 = q k+1 r k ,
ãäå r ïîñëåäíèé íå ðàâíûé íóëþ îñòàòîê â àëãîðèòìå Åâêëèäà.
k
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì ðàâåíñòâà, îïðåäåëÿþùèå àëãîðèòì Åâêëèäà ê ìíîãî÷ëåíàì f è g
f = q 1 g + r 1 ⇒ r 1 = f − q 1 g; (1)
g = q 2 r 1 + r 2 ⇒ r 2 = g − q 2 r 1 ; (2)
r 1 = q 3 r 2 + r 3 ⇒ r 3 = r 1 − q 3 r 2 ; (3)
. . .
r k−2 = q k r k−1 + r k ⇒ r k = r k−2 − q k r k−1 ; (k)
r k−1 = q k+1 r k . (k + 1)
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âèäíî, ÷òî r |r .
k k−1
Èç ðàâåíñòâà (k) âèäíî, ÷òî r |r .
k k−2
Èç ðàâåíñòâà (k − 1) âèäíî, ÷òî r |r .
k k−3
. . . r
k |r 2 , r k |r 1
Èç ðàâåíñòâà (2) âèäíî, ÷òî r |g .
k
Èç ðàâåíñòâà (1) âèäíî, ÷òî r |f .
k
Ñëåäîâàòåëüíî r ÿâëÿåòñÿ îáùèì äåëèòåëåì ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ
k
{f, g} . Ïóñòü d ëþáîé îáùèé äåëèòåëü {f, g}, òîãäà
èç ðàâåíñòâà (1) âèäíî, ÷òî d|r ,
1
èç ðàâåíñòâà (2) âèäíî, ÷òî d|r ,
2
. . . èç ðàâåíñòâà (k) âèäíî, ÷òî d|r
,
k
òî åñòü r îáùèé äåëèòåëü {f, g}, êîòîðûé äåëèòñÿ íà ëþáîé äðóãîé
k
îáùèé äåëèòåëü {f, g}. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ 6.3.6 r ÍÎÄ {f, g}.
k
Ñóùåñòâîâàíèå ÍÎÄ ëþáîé êîíå÷íîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ óñòàíàâ-
ëèâàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé, êîòîðàÿ òàê æå äàåò ìåòîä åãî íàõîæäå- íèÿ.
6.3. Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. ÍÎÄ è ÍÎÊ 15
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.3 (ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà). ÍÎÄ êîíå÷íîé ñèñòå- ìû ìíîãî÷ëåíîâ ñóùåñòâóåò è ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
HOD {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 , f s } = HOD {HOD {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 } , f s } .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî s. Åñ- ëè s = 2, òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðåìà âåðíà äëÿ (s − 1) ìíîãî÷ëåíîâ, òåì ñàìûì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü d ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s−1 } . Îáîçíà÷èì ÷åðåç ¯ d = HOD {d, f s } . Èìååì, ¯ d|d, ¯ d|f s ,
êðîìå òîãî (∀ 1 i s − 1) d|f i , òîãäà ïî òðàíçèòèâíîñòè äåëè-
ìîñòè (∀ 1 i s − 1) d|f ¯ i , ¯ d|f s , ñëåäîâàòåëüíî ¯ d ÿâëÿåòñÿ îá-
ùèì äåëèòåëåì {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 , f s } . Ïóñòü d ëþáîé îáùèé äåëèòåëü
{f 1 , f 2 , . . . , f s−1 , f s } , òîãäà (∀ 1 i s − 1) d |f i è d |f s ñëåäîâà-
òåëüíî d ÿâëÿåòñÿ îáùèì äåëèòåëåì {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 } . Òîãäà ïî îïðå-
äåëåíèþ 6.3.6 d |d. Òàêèì îáðàçîì d |d, d |f ñëåäîâàòåëüíî d ÿâëÿåò-
s
ñÿ îáùèì äåëèòåëåì {d, f s } . Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ 6.3.6 ñëåäóåò d | ¯ d .
Èòàê ¯ d ÿâëÿåòñÿ îáùèì äåëèòåëåì {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 , f s } è ¯ d äåëèòñÿ íà
ëþáîé îáùèé äåëèòåëü {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 , f s } . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ 6.3.6
d = HOD {f ¯ 1 , f 2 , . . . , f s−1 , f s } .
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.4 (êðèòåðèé ÍÎÄ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ). Äëÿ òîãî ÷òîáû ìíîãî÷ëåí d ÿâëÿëñÿ ÍÎÄ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s } íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýòîò ìíîãî÷ëåí d áûë
ÎÄ ýòîé ñèñòåìû è ÷òîáû îí ëèíåéíî âûðàæàëñÿ ÷åðåç ýòè ìíîãî÷ëå- íû, òî åñòü (∃ u
1 , u 2 , . . . , u s , ∈ k[x]) d = u 1 f 1 + u 2 f 2 + . . . + u s f s .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Äîñòàòî÷íîñòü.
Ïóñòü d ÿâëÿåòñÿ ÎÄ {f 1 , f 2 , . . . , f s } è ∃ u 1 , u 2 , . . . , u s ∈ k[x] d =
= u 1 f 1 +u 2 f 2 +. . .+u s f s . Ïóñòü d ëþáîé îáùèé äåëèòåëü {f 1 , f 2 , . . . , f s } .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (∀ 1 i s) d |f i . Òîãäà ïî 5 ñâîéñòâó äåëè-
ìîñòè d |(u 1 f 1 + u 2 f 2 + . . . + u s f s ) , òî åñòü d |d. Ïî îïðåäåëåíèþ 6.3.6
16 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
d = HOD {f 1 , f 2 , . . . , f s } .
2)Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü d ÿâëÿåòñÿ ÍÎÄ {f
1 , f 2 , . . . , f s } . Òîãäà d ÿâëÿåòñÿ ÎÄ
{f 1 , f 2 , . . . , f s } . Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî d ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
f 1 , f 2 , . . . , f s . Óñòàíîâèì ýòîò ôàêò ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Ïóñòü s = 2. Îáîçíà÷èì f 1 = f, f 2 = g . Çàïèøåì ðàâåíñòâî, îïðåäåëÿþ-
ùåå àëãîðèòì Åâêëèäà.
f = q 1 g + r 1 ; (1)
g = q 2 r 1 + r 2 ; (2)
. . .
r k−3 = q k−1 r k−2 + r k−1 ; (k − 1)
r k−2 = q k r k−1 + r k ; (k)
r k−1 = q k+1 r k . (k + 1)
Èçâåñòíî, ÷òî ÍÎÄ d ìíîãî÷ëåíîâ {f, g} ðàâåí r . Èç ðàâåíñòâà (k) âèä-
k
íî, ÷òî
d = r k−2 − q k r k−1 = r k−2 − q k (r k−3 − q k−1 r k−2 ) =
= (1 + q k q k−1 )r k−2 − q k r k−3 = . . . = ug + vf.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñïðàâåäëèâî äëÿ ñèñòåìû, ñî- ñòîÿùåé èç (s − 1) ìíîãî÷ëåíîâ. Äîêàæåì åå ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ ñè- ñòåì, ñîñòîÿùèõ èç s ìíîãî÷ëåíîâ. Ïî òåîðåìå 6.3.3 íàèáîëüøèé îá- ùèé äåëèòåëü d ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s } ñîâïàäàåò ñ ÍÎÄ
2-õ ìíîãî÷ëåíîâ {d 1 , f s } , ãäå d 1 ÍÎÄ {f 1 , . . . f s−1 } . Ïî ïðåäïîëîæå-
íèþ èíäóêöèè ñóùåñòâóþò ìíîãî÷ëåíû v 1 , . . . , v s−1 ∈ k[x] òàêèå, ÷òî
d 1 = v 1 f 1 + v 2 f 2 + . . . + v s−1 f s−1 . Òàê êàê d ÿâëÿåòñÿ ÍÎÄ {d 1 , f s } , òî
ñóùåñòâóþò ìíîãî÷ëåíû w 1 , w 2 ∈ k[x] òàêèå, ÷òî d = w 1 d 1 + w 2 f s . Èìååì
6.3. Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. ÍÎÄ è ÍÎÊ 17
Îïðåäåëåíèå 6.3.7. Ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ðàâåí 1.
ßñíî, ÷òî â êàæäîì êëàññå àññîöèèðîâàííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñóùåñòâóåò
íîðìèðîâàííûé ìíîãî÷ëåí.  ÷àñòíîñòè ñðåäè ÍÎÄ ñèñòåìû ìíîãî÷ëå- íîâ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè, ñóùå- ñòâóåò åäèíñòâåííûé íîðìèðîâàííûé ÍÎÄ. Ýòîò íîðìèðîâàííûé ÍÎÄ áóäåì îáîçíà÷àòü (f
1 , f 2 , . . . , f s ) .
Îïðåäåëåíèå 6.3.8. Ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ {f 1 , f 2 , . . . , f s } íàçûâà-
åòñÿ âçàèìíîïðîñòîé â ñîâîêóïíîñòè, åñëè íîðìèðîâàííûé ÍÎÄ (f
1 , f 2 , . . . , f s ) = 1 .  ñëó÷àå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ãîâîðÿò, ÷òî îíè âçà-
èìíîïðîñòûå.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.5 (ñâîéñòâà âçàèìíîïðîñòûõ ìíîãî÷ëåíîâ). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. Ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ {f 1 , f 2 , . . . , f s } âçàèìíîïðîñòà â ñîâîêóïíî-
ñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåêîòîðàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíà- öèÿ ðàâíà åäèíèöå, òî åñòü (∃ u
1 , . . . , u s ∈ k[x]) u 1 f 1 +. . .+u s f s = 1 ;
2. Åñëè HOD{f 1 , . . . f s } = d , òî f d 1 , f d 2 , . . . , f d s = 1 ;
3. Åñëè (f, h) = 1 è (g, h) = 1, òî (fg, h) = 1;
4. Åñëè h|fg è (h, g) = 1 ,òî h|f;
5. Åñëè h|f è g|f è (h, g) = 1, òî hg|f.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïîëîæèì â òåîðåìå 6.3.4 d = 1. ßñíî, ÷òî d ÿâ- ëÿåòñÿ ÎÄ ñèñòåìû {f
1 , f 2 . . . , f s } , òîãäà ïî òåîðåìå 6.3.4 d = 1 áóäåò
ÍÎÄ {f 1 , f 2 . . . , f s } òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò ìíîãî÷ëåíû
u 1 , u 2 , . . . , u s ∈ k[x] òàêèå, ÷òî u 1 f 1 + . . . + u s f s = 1 .
2) Òàê êàê HOD{f 1 , f 2 . . . , f s } = d , òî ïî òåîðåìå 6.3.4 ñóùåñòâóþò
ìíîãî÷ëåíû u 1 , u 2 , . . . , u s ∈ k[x] òàêèå, ÷òî d = u 1 f 1 +. . .+u s f s . Ðàçäåëèì
îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà d. 1 = u 1 f d 1 + . . . + u s f d s , èç ñâîéñòâà 1 ñëåäóåò, ÷òî
( f 1 , f 2 , . . . , f s ) = 1 .
d d d
3) Òàê êàê (f, g) = 1, òî ïî òåîðåìå 6.3.4 ∃ u, v ∈ k[x] 1 = uf +
+ vh . Òàê êàê (g, h) = 1, òî (∃ u 1 , v 1 ∈ k[x]) 1 = u 1 g + v 1 h . Ïî÷ëåííî
ïåðåìíîæèì ýòè ñîîòíîøåíèÿ. 1 = (uu 1 )f g + (vu 1 g + uv 1 f + vv 1 h)h . Ïî
ñâîéñòâó 1 âèäíî ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ìíîãî÷ëåíîâ fg è h ðàâíà åäèíèöå, ñëåäîâàòåëüíî (fg, h) = 1.
4) Òàê êàê (h, g) = 1, òî ∃ u, v ∈ k[x] uh + vg = 1. Óìíîæèì îáå
÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà f, ïîëó÷èì uhf + vgf = f. Òàê êàê h|fg, òî f g = qh
, òîãäà uhf + vqh = f ⇒ (uf + vq)h = f ⇒ h|f.
5) Òàê êàê h|f, òî f = qh. Èìååì g|qh è (g, h) = 1, ïî ñâîéñòâó 4
ïîëó÷àåì, ÷òî g|q, ñëåäîâàòåëüíî q = q 1 g . Òàêèì îáðàçîì f = q 1 gh ⇒
⇒ gh|f .
Áóäåì òåïåðü ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ {f 1 , f 2 , . . . , f s } ,
êàæäûé èç êîòîðûõ íå ðàâåí íóëþ. Äëÿ òàêèõ ñèñòåì ìíîãî÷ëåíîâ èçëî- æèì òåîðèþ íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî (ÍÎÊ) ïî ñõåìå, àíàëîãè÷íîé èçó÷åíèþ ÍÎÄ.
Îïðåäåëåíèå 6.3.9. Ìíîãî÷ëåí m íàçûâàåòñÿ îáùèì êðàòíûì ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s } , êàæäûé èç êîòîðûõ îòëè÷åí îò íóëÿ, åñëè
îí äåëèòñÿ íà âñå ìíîãî÷ëåíû ýòîé ñèñòåìû, òî åñòü (∀ 1 i s) f i |m .
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.6. Ïóñòü {f 1 , f 2 , . . . , f s } ñèñòåìà íåíóëåâûõ ìíîãî-
÷ëåíîâ è m = 0 (íåêîòîðûé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí). Ðàâíîñèëüíû ñëåäó- þùèå óòâåðæäåíèÿ:
1) ñîâîêóïíîñòü êðàòíûõ ìíîãî÷ëåíà m ñîâïàäàåò ñ ñîâîêóïíîñòüþ
ÎÊ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f 1 , f 2 , . . . , f s } ;
2) ìíîãî÷ëåí m ÿâëÿåòñÿ ÎÊ {f 1 , f 2 , . . . , f s } , êîòîðîå äåëèò ëþáîå
äðóãîå ÎÊ ýòîé ñèñòåìû.
6.3. Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ. ÍÎÄ è ÍÎÊ 19
Îïðåäåëåíèå 6.3.10. Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì (ÍÎÊ) ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ {f
1 , f 2 , . . . , f s } íàçûâàåòñÿ ëþáîé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí m,
óäîâëåòâîðÿþùèé ëþáîìó èç ðàâíîñèëüíûõ óñëîâèé òåîðåìû 6.3.6.
Îïðåäåëåíèå 6.3.11. ÍÎÊ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ íàçûâàåòñÿ òàêîå îá- ùåå êðàòíîå ýòîé ñèñòåìû, êîòîðîå äåëèò ëþáîå äðóãîå îáùåå êðàòíîå ýòîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ.
Ñëåäñòâèå 6.3.6.1. Åñëè ÍÎÊ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ ñóùåñòâóåò, òî îíî îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.7. Åñëè ñóùåñòâóåò ÍÎÊ 2-õ ëþáûõ íåíóëåâûõ ìíî- ãî÷ëåíîâ, òî ñóùåñòâóåò ÍÎÊ è ëþáîé êîíå÷íîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëå- íîâ, ïðè ýòîì èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ èíäóêöèîííàÿ ôîðìóëà:
HOK {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 , f s } = HOK {HOK {f 1 , f 2 , . . . , f s−1 } , f s } .
Òåîðåìà 6.3.7 ñâîäèò íàõîæäåíèå ÍÎÊ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ ê íàõîæ-
äåíèþ ÍÎÊ 2-õ ìíîãî÷ëåíîâ.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3.8. Åñëè f è g äâà íåíóëåâûõ ìíîãî÷ëåíà, òî èõ ÍÎÊ ñóùåñòâóåò è ðàâíî
f g .
(f,g)
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ìíîãî÷ëåí f g = m . Âèäíî, ÷òî
(f,g)
g
m = f ⇒ f |m
(f, g)
è
f
m = g ⇒ g|m,
(f, g)
òî åñòü m ÿâëÿåòñÿ ÎÊ ìíîãî÷ëåíîâ {f, g}. Ïóñòü M ëþáîå ÎÊ {f, g}. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî M = uf, M = vg ⇒ uf = vg. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà (f, g). Ïîëó÷èì
f g g f
u = v ⇒ u .
20 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
Ïî ñâîéñòâó 2 òåîðåìû 6.3.5 èìååì f , g = 1 . Ïî 4 ñâîéñòâó òåî-
(f,g) (f,g)
ðåìû 6.3.5 èìååì g u . Òîãäà u = g q. M = uf = f g q = mq . Âèäíî,
(f,g) (f,g) (f,g)
÷òî m|M. Ïî îïðåäåëåíèþ 6.3.11 m ÿâëÿåòñÿ ÍÎÊ {f, g}.
6.4 Íåïðèâîäèìîñòü. Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå.
Êðàòíîñòü
Ïóñòü f ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè, α ∈ k ∗ = k{0} . Èçâåñòíî,
÷òî α|f è αf|f.
Îïðåäåëåíèå 6.4.1. Òðèâèàëüíûìè äåëèòåëÿìè ìíîãî÷ëåíà f ïîëîæè- òåëüíîé ñòåïåíè íàçûâàþòñÿ íåíóëåâûå êîíñòàíòû è ìíîãî÷ëåíû, àññî- öèèðîâàííûå ñ ìíîãî÷ëåíîì f.
Ñëåäñòâèå. Äåëèòåëü d ìíîãî÷ëåíà f ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 0 < deg d < deg f.
Ñëåäñòâèå. Ìíîãî÷ëåí f ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè èìååò íåòðèâèàëüíûå äåëèòåëè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðî- èçâåäåíèÿ 2-õ ìíîãî÷ëåíîâ, ñòåïåíè êîòîðûõ ìåíüøå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà f
, òî åñòü (∃ u, v ∈ k[x]) f = uv, ãäå deg u, deg v < deg f.
Îïðåäåëåíèå 6.4.2. Ìíîãî÷ëåí P ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàçûâàåò- ñÿ íåïðèâîäèìûì íàä ïîëåì k, åñëè îí èìååò íàä ýòèì ïîëåì òîëüêî òðèâèàëüíûå äåëèòåëè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ìíîãî÷ëåí P íàçûâàåòñÿ ïðèâîäèìûì.
Îïðåäåëåíèå 6.4.3. Ìíîãî÷ëåí P ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì íàä ïîëåì k, åñëè åãî íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü íàä ýòèì ïîëåì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ 2-õ ìíîãî÷ëåíîâ, ñòåïåíè êîòîðûõ ìåíüøå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà P .
Çàìå÷àíèå 6.4.1. Ïîíÿòèå íåïðèâîäèìîñòè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò îñ- íîâíîãî ïîëÿ k. Òàê, íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí f = x
√ √
2 − 2 = (x + 2)(x − 2)
íåïðèâîäèì íàä ïîëåì Q. Íî îí ïðèâîäèì íàä ïîëåì R.
Çàìå÷àíèå 6.4.2. Ìíîãî÷ëåíû 1-é ñòåïåíè ÿâëÿþòñÿ íåïðèâîäèìûìè íàä ëþáûì ïîëåì.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìíîãî÷ëåíû 1-é ñòåïåíè èìåþò òîëüêî òðè-
âèàëüíûå äåëèòåëè.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.4.1 (ñâîéñòâà íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ). Ñïðà- âåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1. Åñëè ìíîãî÷ëåí P ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì, òî è ëþáîé àññîöèè-
ðîâàííûé ñ íèì ìíîãî÷ëåí òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì.
2. Åñëè P íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí, f ëþáîé ìíîãî÷ëåí, òî ëèáî
(P, f ) = 1 , ëèáî P |f.
3. Åñëè P íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí è P |fg, òî P |f èëè P |g.
4. Åñëè P è Q äâà íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíà, òî ëèáî (P, Q) = 1,
ëèáî P è Q àññîöèèðîâàíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü P íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí. Ðàññìîòðèì αP
, ãäå α ∈ k ∗ . Íàäî äîêàçàòü, ÷òî αP ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì. Äî-
ïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ó αP åñòü íåòðèâèàëüíûé äåëèòåëü, òî åñòü (∃ d ∈ k[x])
d|αP , ãäå 0 < deg d < deg αP = deg P . Èìååì, d|αP è
αP |P ⇒ d|P è 0 < deg d < deg P . Ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåïðèâîäèìîñòè
ìíîãî÷ëåíà P .
2) Îáîçíà÷èì (P, f) = d. Èìååì d|P . Òàê êàê P íåïðèâîäèì, òî d
äîëæåí áûòü òðèâèàëüíûì äåëèòåëåì, òî åñòü ëèáî d = α ∈ k ∗ , ëèáî
d ∼ P .  ïåðâîì ñëó÷àå èìååì (P, f) = 1. Âî âòîðîì ñëó÷àå, èìååì P |d
22 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
3) Ïóñòü P |fg. Åñëè P |f, òî âñå äîêàçàíî. Åñëè P f, òî ïî ñâîéñòâó 2
(P, f ) = 1 . Èòàê, P |fg è (P, f) = 1, òîãäà ïî ñâîéñòâó 4 òåîðåìû 6.3.5
P |g .
4) Ïóñòü P è Q äâà íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíà. Åñëè (P, Q) = 1, òî
âñå äîêàçàíî. Ïóñòü (P, Q) = 1, òîãäà ïî ñâîéñòâó 2 P |Q. Ìåíÿÿ ðîëÿìè P
è Q, ïîëó÷àåì Q|P ⇒ P ∼ Q.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.4.2 (î ðàçëîæåíèè íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè). Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïîëåì k ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå f = αP
· P · . . . · P , ãäå α ∈ k ∗ , P íîðìèðîâàí-
1 2 s i
íûå íåïðèâîäèìûå íàä k ìíîãî÷ëåíû. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñëåäîâàíèÿ ñîìíîæèòåëåé è ïðè ýòîì íåîá- õîäèìî, ÷òîáû α ÿâëÿëàñü ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì ìíîãî÷ëåíà f.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ñóùåñòâîâàíèå.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M âñåõ íîðìèðîâàííûõ äåëèòåëåé ïîëîæè-
òåëüíîé ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà f.  ýòîì ìíîæåñòâå M âûáåðåì ìíîãî÷ëåí P
íàèìåíüøåé ñòåïåíè. Ïîêàæåì, ÷òî ìíîãî÷ëåí P ÿâëÿåòñÿ íåïðè-
1 1
âîäèìûì. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ìíîãî÷ëåí P ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäè-
1
ìûì. Ñëåäîâàòåëüíî P 1 = du , ãäå 0 < deg d < deg P 1 , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò
âûáîðó ìíîãî÷ëåíà P . Èìååì
1
f = P 1 f 1 , ãäå 0 deg f 1 < deg f. (1)
Åñëè deg f 1 = 0 , òî ïðîöåññ âûäåëåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ìíîæèòåëåé çà-
êàí÷èâàåòñÿ. Åñëè deg f 1 > 0 , òî ñ ìíîãî÷ëåíîì f 1 ïðîâîäèì òå æå ðàñ-
ñóæäåíèÿ, ÷òî è ñ ìíîãî÷ëåíîì f. Ïîëó÷èì, ÷òî ó ìíîãî÷ëåíà f åñòü
1
íîðìèðîâàííûé íåïðèâîäèìûé ìíîæèòåëü P . Áóäåì èìåòü
2
f 1 = P 2 f 2 , ãäå 0 deg f 2 < deg f 1 . (2)
Åñëè deg f 2 = 0 , òî ïðîöåññ âûäåëåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ìíîæèòåëåé çà-
êàí÷èâàåì. Åñëè deg f 2 > 0 , òî ïðîöåññ ïðîäîëæàåì. È òàê äàëåå. Âîçíè-
ìíîãî÷ëåíîâ f 1 , f 2 , . . . îáðàçóþò ñòðîãî óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë deg f > deg f 1 > deg f 2 > . . . , êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü
áåñêîíå÷íîé.  êîíöå êîíöîâ ïîëó÷èì
f s−1 = P s f s , ãäå deg f s = 0. (s)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî f s = α ∈ k ∗ . Ïåðåìíîæèì ïî÷ëåííî âñå ðàâåíñòâà
(1), (2), . . . , (s) , ïîëó÷èì f = αP 1 · P 2 · . . . · P s . Òàê êàêP i ÿâëÿåòñÿ íîðìè-
ðîâàííûìè ìíîãî÷ëåíàìè, òî ñðàâíèâàÿ â ýòîì ðàâåíñòâå êîýôôèöèåíòû ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè x, ïîëó÷èì, ÷òî α ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì êîýôôèöèåí- òîì ìíîãî÷ëåíà f. 2) Åäèíñòâåííîñòü.
Ïóñòü íàðÿäó ñ ïðåäñòàâëåíèåì f = αP · P · . . . · P èìååò ìåñòî
1 2 s
äðóãîå ïðåäñòàâëåíèå f = βQ · Q · . . . · Q , ãäå β ∈ k ∗ , Q íîðìèðî-
1 2 t j
âàííûå íåïðèâîäèìûå íàä k ìíîãî÷ëåíû. Òîãäà, ïî äîêàçàííîìó âûøå, β
ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì ìíîãî÷ëåíà f, òî åñòü β = α.
f = αP 1 · P 2 · . . . · P s = βQ 1 · Q 2 · . . . · Q t . (∗)
Ðàâåíñòâî (∗) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî P 1 |(Q 1 · Q 2 · . . . · Q t ) . Ïî ñâîéñòâó 3
òåîðåìû 6.4.1 (∃ 1 j t) P 1 |Q j . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî P 1 |Q 1 . Òîãäà ïî
ñâîéñòâó 4 òåîðåìû 6.4.1 P ∼ Q . Òàê êàê îáà ìíîãî÷ëåíà íîðìèðîâàíû,
1 1
òî P 1 = Q 1 . Òîãäà ðàâåíñòâî (∗) ñîêðàùàåì íà P 1 . Ïîëó÷èì
P 2 · . . . · P s = Q 2 · . . . · Q t . (∗∗)
Ñ ìíîãî÷ëåíîì P ðàññóæäàåì òàêæå, êàê ñ ìíîãî÷ëåíîì P . Ðàâåíñòâî
2 1
(∗∗) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî P 2 |(Q 2 · . . . · Q t ) ⇒ (∃ 2 j t) P 2 |Q j . Áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî P 2 |Q 2 . Òîãäà P 2 ∼ Q 2 ⇒ P 2 = Q 2 . È òàê äàëåå. Åñëè s = t,
òî â êîíöå êîíöîâ ïîëó÷èì P s = Q s .
Ìîæåò ëè s = t? Ïðåäïîëîæèì, ÷òî s < t, òîãäà ñîêðàùàÿ ðàâåíñòâî
24 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
ìîæåò òàê êàê ñëåâà ñòîèò ìíîãî÷ëåí íóëåâîé ñòåïåíè, à ñïðàâà ìíîãî- ÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè. Àíàëîãè÷íî íå ìîæåò áûòü è s > t òàêèì îáðàçîì Q
òå æå ñàìûå P , òîëüêî íàïèñàííûå âîçìîæíî â äðóãîì
j i
ïîðÿäêå.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.4.3 (î êàíîíè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè). Ëþáîé ìíîãî- ÷ëåí f ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïîëåì k ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå f = αP
1 k 1 · P 2 k 2 · . . . · P t k t , ãäå α ∈ k ∗ , P i ðàçëè÷íûå íîðìèðî-
âàííûå, íåïðèâîäèìûå íàä k ìíîãî÷ëåíû, k ∈ N. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå
i
åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñëåäîâàíèÿ ñîìíîæèòåëåé è ïðè ýòîì α íåîáõîäèìî ÿâëÿòüñÿ ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì ìíîãî÷ëåíà f.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 6.4.2 èìååì f = αP ·P ·. . .·P . Îáúåäèíÿÿ
1 2 s
â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè ïðîèçâåäåíèå îäèíàêîâûõ ìíîæèòåëåé â ñòåïåíè, ïîëó÷èì
f = αP 1 · P 2 · . . . · P s = αP 1 k 1 · P 2 k 2 · . . . · P t k t , (t s).
Îïðåäåëåíèå 6.4.4. Ïðåäñòàâëåíèå ìíîãî÷ëåíà f â âèäå f = αP k 1 ·
1
· P k 2 · . . . · P k t íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ìíîãî÷ëåíà
2 t
f . Ìíîãî÷ëåíû P k 1 , P k 2 , . . . , P k t íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè äåëèòåëÿìè
1 2 t
ìíîãî÷ëåíà f. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà k 1 , k 2 , . . . , k t íàçûâàþòñÿ êðàòíîñòÿìè
íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ P 1 , P 2 , . . . , P t â ìíîãî÷ëåíå f.
Ïóñòü γ ∈ k. Ìû óæå çàìåòèëè, ÷òî ìíîãî÷ëåíû 1-é ñòåïåíè íåïðèâî-
äèìû íàä ëþáûì ïîëåì k.  ÷àñòíîñòè x − γ ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì íåïðèâîäèìûì íàä k ìíîãî÷ëåíîì, ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î êðàòíîñòè ìíîãî÷ëåíà x − γ â ìíîãî÷ëåíå f.
Îïðåäåëåíèå 6.4.6. Ýëåìåíò γ ∈ k íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x)
, åñëè f(γ) = 0.
Ïðåäëîæåíèå 6.4.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýëåìåíò γ ∈ k áûë êîðíåì ìíî- ãî÷ëåíà f(x) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìíîãî÷ëåí f äåëèëñÿ íà x − γ
, òî åñòü, ÷òîáû ýëåìåíò γ èìåë ïîëîæèòåëüíóþ êðàòíîñòü â
ìíîãî÷ëåíå f.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, ïî òåîðåìå Áåçó f(x) = Q(x)(x − γ) + + f (γ)
, òîãäà (x − γ)|f(x) ⇔ f(γ) = 0, òî åñòü ïî îïðåäåëåíèþ 6.4.6 γ
ÿâëÿåòñÿ êîðíåì f(x).
Ñëåäñòâèå. Ýëåìåíò γ ∈ k íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f(x) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýëåìåíò γ èìååò íóëåâóþ êðàòíîñòü â ìíîãî÷ëåíå f (x)
.
Îïðåäåëåíèå 6.4.7. Êîðåíü γ â ìíîãî÷ëåíå f(x) íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè îí èìååò ïåðâóþ êðàòíîñòü.
Ïóñòü êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìíîãî÷ëåíà f èìååò âèä
f = α(x − γ 1 ) k 1 . . . (x − γ s ) k s P 1 l 1 . . . P t l t , ãäå deg P i 2.
Âèäíî, ÷òî
deg (x − γ 1 ) k 1 . . . (x − γ s ) k s deg f,
òî åñòü
k 1 + k 2 + . . . + k s deg f.
ßñíî, ÷òî (∀ 1 i s) f (γ i ) = 0 , òî åñòü γ 1 , γ 2 , . . . , γ s ÿâëÿþòñÿ êîð-
íÿìè ìíîãî÷ëåíà f. Åñëè êàæäûé êîðåíü γ ñ÷èòàòü k ðàç, òî ÷èñëî
i i
k 1 + k 2 + . . . + k s ÷èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòåé.
26 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
6.5 Ïðîèçâîäíàÿ è êðàòíîñòü
Ïóñòü k íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëîâîå ïîëå.
∞
Îïðåäåëåíèå 6.5.1. Ïðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà f = α i x i íàçûâàåòñÿ
ìíîãî÷ëåí âèäà i=0
∞
f = iα i x i−1 .
i=0
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.5.1 (îñíîâíûå ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ). Èìåþò ìåñòà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
1. α = 0, ãäå α ∈ k;
2. (αf) = αf , ãäå α ∈ k;
3. (f ± g) = f ± g ;
4. (fg) = f g + fg ;
5. (f n ) = nf n−1 f , n ∈ N.
Îïðåäåëåíèå 6.5.2. Ïîëàãàþò f (0) = f, f (l+1) = (f (l) ) , ãäå l 0, l ∈ Z.
ßñíî, ÷òî åñëè deg f = n, òî (∀ l > n) f (l) = 0 .
Ëåììà 6.5.1. Åñëè f ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè n, òî f = 0 è deg f = n − 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì f = α n x n + . . . + α 1 x + α 0 , ãäå α n = 0, n 1 . Ïî
îïðåäåëåíèþ 6.5.1 f = nα n x n−1 + . . . + α 1 . Ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ó ìíî-
ãî÷ëåíà f ðàâåí nα n , ãäå n ∈ N, α n = 0 . Òîãäà nα n = 0 , ñëåäîâàòåëüíî
f = 0 è deg f = n − 1.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.5.2. Ïóñòü f ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè è íåïðèâîäèìûé ìíîæèòåëü P èìååò ïîëîæèòåëüíóþ êðàòíîñòü k â ìíîãî÷ëåíå f. Òîãäà ýòîò íåïðèâîäèìûé ìíîæèòåëü P èìååò êðàò- íîñòü k − 1 â ïðîèçâîäíîé f .
6.5. Ïðîèçâîäíàÿ è êðàòíîñòü 27
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì f = P l g , ãäå P g. Ñîñòàâèì f = lP l−1 P g +
+ P l g = P l−1 (lP g + P g ) . Âèäíî, ÷òî P l−1 |f , òî åñòü êðàòíîñòü P â f
íå ìåíüøå, ÷åì l − 1. Ïîêàæåì, ÷òî P l f . Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü
P l |f . Òîãäà P |(lP g + P g ). Âèäíî, ÷òî P |P g , ñëåäîâàòåëüíî P |(lP g).
ßñíî, ÷òî (P, l) = 1. Ïî ëåììå P = 0 è deg P < deg P ⇒ (P, P ) = 1. Ïî ñâîéñòâó 3 òåîðåìû 6.4.1 èìååì, ÷òî P |g, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî äàíî. Ñëåäîâàòåëüíî P
l f è êðàòíîñòü P â ñîñòàâå f òî÷íî l − 1.
Ñëåäñòâèå 6.5.2.1. Ýëåìåíò γ èìååò êðàòíîñòü k â ìíîãî÷ëåíå f òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f(γ) = f (γ) = . . . = f
(k−1) (γ) = 0 , íî f (k) (γ) = 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Íåîáõîäèìîñòü.
Ïóñòü γ èìååò êðàòíîñòü k â ìíîãî÷ëåíå f. Ïî îïðåäåëåíèþ ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî (x − γ) èìååò êðàòíîñòü k â ìíîãî÷ëåíå f. Ïî òåîðåìå 6.5.2 x − γ
èìååò êðàòíîñòü k − 1 â f , x − γ èìååò êðàòíîñòü k − 2 â f , . . . ,
x−γ èìååò êðàòíîñòü 1 â f (k−1) , x−γ èìååò êðàòíîñòü 0 â f (k) . Ïðèìåíÿÿ
ïðåäëîæåíèå 6.4.1 f(γ) = f (γ) = . . . = f (k−1) (γ) = 0 , íî f (k) (γ) = 0 .
2) Äîñòàòî÷íîñòü.
Ïóñòü f(γ) = f (γ) = . . . = f (k−1) (γ) = 0 , íî f (k) (γ) = 0 . Ïóñòü êðàò-
íîñòü γ â ìíîãî÷ëåíå f ðàâíà l .Íàäî äîêàçàòü, ÷òî l = k. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü, íàïðèìåð, l < k. Òîãäà ïî ïåðâîé ÷àñòè äîêàçàòåëü- ñòâà áóäåì èìåòü f(γ) = f (γ) = . . . = f
(l−1) (γ) = 0 , íî f (l) (γ) = 0 . Ýòîãî
áûòü íå ìîæåò, ïîòîìó ÷òî ïî óñëîâèþ f (l) (γ) = 0 òàê êàê l k − 1 . Àíà-
ëîãè÷íî ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ è ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî l > k.
Ñëåäñòâèå 6.5.2.2. Êðàòíîñòü ýëåìåíòà γ â ìíîãî÷ëåíå f ðàâíà íàèìåíü- øåìó ïîðÿäêó ïðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà f, íå èìåþùåãî γ ñâîèì êîðíåì.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.5.3 (îá îòäåëåíèè êðàòíûõ ìíîæèòåëåé). Ïóñòü f
ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïîëåì k. Òîãäà ìíîãî÷ëåí
f
F = èìååò òå æå ñàìûå íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè, ÷òî è
(f, f )
ìíîãî÷ëåí f, íî òîëüêî ïåðâîé êðàòíîñòè.
28 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f = αP k 1 P k 2 . . . P k t êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå
1 2 t
ìíîãî÷ëåíà f. Òîãäà ïî òåîðåìå 6.5.2
f = P 1 k 1 −1 P 2 k 2 −1 . . . P t k t −1 g, ãäå (∀ 1 i t) P i g.
Ñîñòàâèì (f, f ) = P k 1 −1 P k 2 −1 . . . P k t −1 .
1 2 t
f
F = (f, f ) = αP 1 P 2 . . . P t .
6.6 Àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûå ïîëÿ
Ïóñòü k îñíîâíîå ïîëå.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.6.1 (î ðàâíîñèëüíûõ óñëîâèÿõ, îïðåäåëÿþùèõ àë- ãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå). Îòíîñèòåëüíî ôèêñèðîâàííîãî îñ- íîâíîãî ïîëÿ k ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâíîñèëüíûå óòâåðæäåíèÿ.
1) ëþáîé ìíîãî÷ëåí f ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîýôôèöèåíòàìè èç
ïîëÿ k, èìååò â ïîëå k, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí êîðåíü;
2) íåïðèâîäèìûìè íàä ïîëåì k ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû òîëüêî ïåðâîé
ñòåïåíè;
3) ìíîãî÷ëåí ïîëÿ k ðàñïàäàåòñÿ íàä ïîëåì k íà ëèíåéíûå ìíîæè-
òåëè;
4) ëþáîé ìíîãî÷ëåí f ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ñ êîýôôèöèåíòàìè èç
ïîëÿ k èìååò â ïîëå k ñòîëüêî êîðíåé ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòåé, êàêîâà ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà f.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2)
Ïóñòü f ëþáîé ìíîãî÷ëåí, deg f 2 . Òîãäà ïî óñëîâèþ 1) ýòîò
ìíîãî÷ëåí èìååò â ïîëå k ïî êðàéíå ìåðå îäèí êîðåíü γ. Òîãäà ïî ïðåä- ëîæåíèþ 6.4.1 f = (x − γ)g. Ñëåäîâàòåëüíî f ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìûì íàä k
6.6. Àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûå ïîëÿ 29
2) ⇒ 3)
Ïóñòü f ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè. Òîãäà ïî òåîðåìå 6.4.2
åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f = αP · P · . . . · P , ãäå α ∈ k ∗ , P
1 2 s i
íîðìèðîâàííûå íåïðèâîäèìûå íàä k ìíîãî÷ëåíû. Èç óñëîâèÿ 2) ñëåäóåò, ÷òî P
i = x − γ i ⇒ f = α(x − γ 1 )(x − γ 2 ) . . . (x − γ n ) . Òàêèì îáðàçîì
ìíîãî÷ëåí ðàñïàäàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. 3) ⇒ 4)
Èìååì f = α(x − γ 1 )(x − γ 2 ) . . . (x − γ s ) . Îáúåäèíèì ïðîèçâåäåíèå
îäèíàêîâûõ ìíîæèòåëåé â ñòåïåíè.
f = (x − γ 1 ) k 1 (x − γ 2 ) k 2 . . . (x − γ t ) k t , k i ∈ N.
Âèäíî, ÷òî γ 1 , . . . , γ t êîðíè ìíîãî÷ëåíà f ñ êðàòíîñòÿìè k 1 , . . . , k t è
deg f = k 1 + . . . + k t . Òàêèì îáðàçîì ÷èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f ñ ó÷åòîì
èõ êðàòíîñòåé ðàâíî ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà f. 4) ⇒ 1)
Ïóñòü ìíîãî÷ëåí f èìååò deg > 0. Òîãäà ïî óñëîâèþ 4) k 1 + k 2 + . . . +
+ k t = deg f 1 ⇒ (∃ 1 i t) k i 1 . Çíà÷èò, ìíîãî÷ëåí f èìååò ïî
êðàéíåé ìåðå êîðåíü γ .
i
Îïðåäåëåíèå 6.6.1. Ïîëå k íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò ëþáîìó èç ðàâíîñèëüíûõ óñëîâèé òåîðåìû 6.6.1.
Çàìå÷àíèå 6.6.1. Ïîëÿ Q è R íå ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûìè, òàê êàê íå âûïîëíÿåòñÿ 1) óñëîâèå òåîðåìû 6.6.1. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëó- æèòü ìíîãî÷ëåí f = x
2 + 1 . Îí íå èìååò íè îäíîãî êîðíÿ íè â ïîëå Q,
íè â ïîëå R.
Îïðåäåëåíèå 6.6.2. Àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì ïîëÿ k íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ k.
Îïðåäåëåíèå 6.6.3. Ïîëå k íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì ïîëÿ k, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå 3 óñëîâèÿ:
1. k ⊂ k;
2. k ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì;
3. åñëè k ⊂ k ⊂ k è k àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå, òî k = k.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.6.2 (îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì.
Ñëåäñòâèå 6.6.2.1. Àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì ïîëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R ÿâëÿåòñÿ ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, òî åñòü R = C.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü R àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå ïîëÿ R. Òîãäà R ⊂ R. Äàëåå, ìíîãî÷ëåí x
2 + 1 èìååò êîðåíü â R, òî åñòü
i ∈ R. Ýòî âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (∀ x, y ∈ R) x +
+ yi ∈ R, òî åñòü C ⊂ R. Èìååì R ⊂ C ⊂ R. Ïî òåîðåìå 6.6.2 C ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì, òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ 6.6.3 èìååì C = R.
Ïóñòü γ 1 , γ 2 , . . . , γ n ýëåìåíòû ïîëÿ k.
Îïðåäåëåíèå 6.6.4. Ýëåìåíòàðíûìè ñèììåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè îò ýëåìåíòîâ γ
1 , . . . , γ n íàçûâàþòñÿ ñóììû âèäà:
σ 1 = γ 1 + γ 2 + . . . + γ n ;
σ 2 = γ 1 γ 2 + γ 1 γ 3 + . . . + γ 1 γ n + γ 2 γ 3 + . . . + γ 2 γ n + . . . + γ n−1 γ n ;
. . .
σ k = γ i 1 . . . γ i k ;
1 i 1 <...<i . . . k n
σ n = γ 1 . . . γ n .
Ïðåäëîæåíèå 6.6.1. Åñëè γ 1 , γ 2 , . . . , γ n ∈ k , òî
f (x) = (x + γ 1 )(x + γ 2 ) . . . (x + γ n ) = x n + σ 1 x n−1 + . . . + σ k x n−k + . . . + σ n ,
ãäå σ 1 , σ 2 , . . . , σ n ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò
γ 1 , γ 2 , . . . , γ n .
6.6. Àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûå ïîëÿ 31
Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû óñòàíîâèòü ýòîò ôàêò, äîñòàòî÷íî ïåðåìíî- æèòü ñêîáêè ñòîÿùèå ñëåâà è ïðèâåñòè ïîäîáíûå ñëàãàåìûå.
Ñëåäñòâèå. Åñëè γ 1 , γ 2 , . . . , γ n ∈ k , òî f(x) = (x − γ 1 )(x − γ 2 ) . . . (x −
− γ n ) = x n − σ 1 x n−1 + σ 2 x n−2 − . . . + (−1) k σ k x n−k + . . . + (−1) n σ n ,
ãäå σ 1 , σ 2 , . . . , σ n ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò
γ 1 , γ 2 , . . . , γ n .
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî â ïðåäëîæåíèè 6.6.1 âìåñòî γ
i ïîäñòàâèòü −γ i . Òîãäà σ k çàìåíèòñÿ íà (−1) k σ k è òåì ñàìûì ñëåäñòâèå
áóäåò óñòàíîâëåíî.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.6.3 (òåîðåìà Âèåòà). Ïóñòü f(x) = x n + α 1 x n−1 +
+ α 2 x n−2 + . . . + α n è ýòîò ìíîãî÷ëåí èìååò â àëãåáðàè÷åñêîì çàìû-
êàíèè k êîðíè γ 1 , γ 2 , . . . , γ n . Òîãäà σ k = (−1) k α k , ãäå σ 1 , σ 2 , . . . , σ n
ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò êîðíåé γ 1 , γ 1 , . . . , γ n .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íàä ïîëåì k ìíîãî÷ëåí
f (x) = (x − γ 1 )(x − γ 2 ) . . . (x − γ n ),
ãäå γ 1 , γ 2 , . . . , γ n êîðíè f(x) â k. Ïî ñëåäñòâèþ èç ïðåäëîæåíèÿ 6.6.1
èìååì:
f (x) = x n − σ 1 x n−1 + σ 2 x n−2 − . . . + (−1) k σ k x n−k + . . . + (−1) n σ n .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ f(x) = x n + α 1 x n−1 + . . . + α n . Òàêèì îáðà-
çîì èìååì äâà âûðàæåíèÿ îäíîãî è òîãî æå ìíîãî÷ëåíà ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì x. Òîãäà, êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x äîëæíû ñîâïàäàòü. Èìååì −σ
1 = α 1 , σ 2 = α 2 , . . . , (−1) k σ k = α k , . . . , (−1) n σ n =
= α n . Èìååì (∀ 1 k n) (−1) k σ k = α k . Óìíîæèì íà (−1) k , ïîëó÷èì
32 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
×àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû 6.6.3: n=2, f(x) = x
2 + px + q . Ïóñòü x 1 , x 2 êîðíè f(x), òîãäà
σ 1 = x 1 + x 2 = −p;
σ 2 = x 1 · x 2 = q.
n=3, f(x) = x 3 + px 2 + qx + r . Ïóñòü x 1 , x 2 x 3 êîðíè f(x), òîãäà
? ?
? ? σ 1 = x 1 + x 2 + x 3 = −p;
σ 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q; .
? ? ? σ 3 = x 1 x 2 x 3 = −r
6.7 Ìíîãî÷ëåíû íàä ÷èñëîâûìè ïîëÿìè
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà k = C. Ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû, ïîëå
C ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì, ïîýòîìó ìíîãî÷ëåíû íàä ïîëåì
C îáëàäàþò ëþáûì èç ðàâíîñèëüíûõ óñëîâèé òåîðåìû 6.6.1.  ÷àñòíî- ñòè, íåïðèâîäèìûìè íàä ïîëåì C ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû òîëüêî ïåðâîé ñòåïåíè. Äàëåå, ëþáîé ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïîëåì C èìååò, ïî êðàéíå ìåðå, îäèí êîðåíü. Íàêîíåö, êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïîëåì C èìååò âèä:
f (x) = α(x − γ 1 ) k 1 (x − γ 2 ) k 2 . . . (x − γ t ) k t ,
ãäå γ 1 , γ 2 , . . . , γ t ∈ C.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà k = R. Ïóñòü γ = α + β , ãäå α, β ∈ R, β =
i
= 0 .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî γ ñóùåñòâåííî êîìïëåêñíîå ÷èñëî.
Ïðåäëîæåíèå 6.7.1. Åñëè γ ñóùåñòâåííî êîìïëåêñíîå ÷èñëî, òî ìíîãî÷ëåí (x − γ)(x − γ) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì ñ äåéñòâè- òåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè è îòðèöàòåëüíûì äèñêðèìèíàíòîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, (x − γ)(x − ¯γ) = x 2 − (γ + ¯ γ)x + γ ¯ γ =
= x 2 − 2αx + α 2 + β 2 ∈ R[x], òîãäà D = (−2α) 2 − 4(α 2 + β 2 ) = −4β 2 < 0 ,
6.7. Ìíîãî÷ëåíû íàä ÷èñëîâûìè ïîëÿìè 33
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.7.1. Åñëè ñóùåñòâåííî êîìïëåêñíîå ÷èñëî γ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, òî êîì- ïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ÷èñëî ¯γ òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ýòîãî ìíîãî- ÷ëåíà è ïðè òîì òîé æå êðàòíîñòè, ÷òî è êîðåíü γ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f(x) = α n x n + . . . + α 1 x + α 0 , ãäå α i ∈ R è γ
ñóùåñòâåííî êîìïëåêñíûé êîðåíü f(x), òî åñòü f(γ) = 0.
α n γ n + . . . + α 1 γ + α 0 = 0.
Ïåðåéäåì ê êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì ÷èñëàì, ïîëó÷èì
α n γ n + . . . + α 1 γ + α 0 = 0.
Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâàìè êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë, à èìåííî
α ¯ n · ¯ γ n + . . . + ¯ α 1 · ¯ γ + ¯ α 0 = ¯ 0.
Òàê êàê α i è 0 ∈ R, òî ¯α i = α i , ¯ 0 = 0 . Ïîëó÷àåì
α n (¯ γ) n + . . . + α 1 γ + α ¯ 0 = 0.
Ýòî ðàâåíñòâî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî f(¯γ) = 0 òî åñòü ¯γ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f(x). Ïîêàæåì, ÷òî êðàòíîñòü êîðíÿ ¯γ ñîâïàäàåò ñ êðàòíî- ñòüþ êîðíÿ γ. Ïóñòü êðàòíîñòü γ ðàâíà k, à êðàòíîñòü ¯γ ðàâíà l. Íåîá- õîäèìî äîêàçàòü, ÷òî k = l. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü k = l. Ïóñòü, íàïðèìåð, k > l, òîãäà f = (x − γ)
k (x − ¯ γ) l g(x) , ãäå g(γ) = 0, g(¯γ) = 0.
Òîãäà f(x) = [(x − γ)(x − ¯γ)] l (x − γ) k−l g(x) = [(x − γ)(x − ¯ γ)] l g 1 (x) , òî
åñòü g 1 = [(x−γ)(x−¯ f (x) γ)] l . Ïî ïðåäëîæåíèþ (x − γ)(x − ¯γ) ∈ R[x], ïîýòîìó
f (x)
g 1 = [(x − γ)(x − ¯ γ)] l ∈ R[x].
Âèäíî, ÷òî g 1 (x) = (x − γ) k−l g(x) èìååò γ ñâîèì êîðíåì ïîëîæèòåëüíîé
êðàòíîñòè, k − l > 0, íî íå èìååò ñâîèì êîðíåì ¯γ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïåðâîìó óòâåðæäåíèþ äîêàçûâàåìîé òåîðåìîé. Àíàëîãè÷íî ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî l > k.
34 Ãëàâà 6. Ìíîãî÷ëåíû
Ñëåäñòâèå 6.7.1.1. Ñóùåñòâåííî êîìïëåêñíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà ñ äåé- ñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïîïàðíî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.7.2 (î íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíàõ íàä R). Íàä ïî- ëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R íåïðèâîäèìûìè ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû ïåðâîé ñòåïåíè è òå è òîëüêî òå êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû, äèñêðèìè- íàíò êîòîðûõ îòðèöàòåëüíûé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f(x) ∈ R[x] è deg f(x) 3 . Ýòîò ìíîãî÷ëåí
èìååò â àëãåáðàè÷åñêîì çàìûêàíèè R = C èìååò ïî êðàéíå ìåðå îäèí êîðåíü α. Åñëè α ∈ R , òî f(x) = (x − α)g(x), ãäå g(x) ∈ R[x] òî åñòü ìíîãî÷ëåí f ïðèâîäèì íàä R. Åñëè α ñóùåñòâåííî êîìïëåêñíîå ÷èñëî, òî ¯α òàêæå áóäåò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f. Ïîëó÷èì
f (x) = (x − α)(x − ¯ α)g(x) = (x 2 − 2Reα · x + |α| 2 )g(x).
 ýòîì ñëó÷àå
f (x)
g(x) = ∈ R[x].
(x − α)(x − ¯ α)
Âèäíî, ÷òî f(x) ñíîâà ïðèâîäèì íàä R. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé ìíîãî÷ëåí f
, ñòåïåíü êîòîðîãî deg f 3 , ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìûì íàä R.
Ïóñòü f = ax 2 +bx+c, a = 0 . Èçâåñòíî, ÷òî ýòîò êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí
ðàñïàäàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè f = a(x−x 1 )(x − x 2 ) íàä R òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî äèñêðèìèíàíò D 0 .  ýòîì ñëó÷àå, ìíîãî÷ëåí
f ïðèâîäèì íàä R. Ñëåäîâàòåëüíî, îí áóäåò íåïðèâîäèì íàä R òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà D = b 2 − 4ac < 0 . À ìíîãî÷ëåíû ïåðâîé ñòåïåíè
ÿâëÿþòñÿ íåïðèâîäèìûìè íàä ëþáûì ïîëåì.
Ñëåäñòâèå 6.7.2.1. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìååò êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âèäà:
f = α(x − γ 1 ) k 1 . . . (x − γ t ) k t (x 2 + β 1 x + δ 1 ) l 1 . . . (x 2 + β r x + δ r ) l r ,
6.7. Ìíîãî÷ëåíû íàä ÷èñëîâûìè ïîëÿìè 35
Ñëåäñòâèå 6.7.2.2. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòà- ìè íå÷åòíîé ñòåïåíè èìååò, ïî êðàéíå ìåðå, îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, ïî ñëåäñòâèþ 6.7.2.1 deg f = k 1 + . . . +
+k t +2l 1 +. . .+2l r . Ïî óñëîâèþ ñòåïåíü f ÷èñëî íå÷åòíîå, ñëåäîâàòåëüíî
k 1 + . . . + k t íå÷åòíîå ÷èñëî, çíà÷èò (∃ 1 i t) k i 1 , òî åñòü γ i
ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f.
Ãëàâà 7
Îñíîâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû
36
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
8.1 Ïîíÿòèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà
Îïðåäåëåíèå 8.1.1. Ïóñòü k è V äâà ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâà. Ãîâî- ðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå V îïðåäåëåíà âíåøíÿÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ ñî ìíîæåñòâîì ìóëüòèïëèêàòîðîâ k, åñëè çàäàíî îòîáðàæåíèå äåêàðòî- âîãî ïðîèçâåäåíèÿ k × V → V . Ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè, îáðàç óïîðÿäî- ÷åííûé ïàðû (α, a), ãäå α ∈ k, a ∈ V íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì α íà a è îáîçíà÷àåòñÿ αa.
Çàìå÷àíèå 8.1.1. Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, èçó÷àåìûå ðàíåå íà ìíîæå- ñòâå V , íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè.  êà÷å- ñòâå ìíîæåñòâà k ÷àùå âñåãî áóäåò âûñòóïàòü ïîëå, êîòîðîå áóäåì íàçû- âàòü îñíîâíûì. Ýëåìåíòû ïîëÿ k áóäåì îáîçíà÷àòü α, β, γ, α
1 , α 2 , . . .
Îïðåäåëåíèå 8.1.2. Ëèíåéíûì (âåêòîðíûì) ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì k
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî V , ðàññìîòðåííîå âìåñòå ñ îïðåäåëåííîé íà íåì
âíóòðåííåé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ è âíåøíåé àëãåáðàè÷å- ñêîé îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû ïîëÿ k, óäîâëåòâîðÿåìûìè ñëå- äóþùèì ñåìè àêñèîìàì.
1. a + b = b + a;
2. a + (b + c) = (a + b) + c;
37
38 Ãëàâà 8. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
3. (∀ a, b ∈ V ) (∃ x ∈ V ) b + x = a;
4. α(a + b) = αa + αb;
5. (α + β)a = αa + βa;
6. (αβ)a = α(βa) = β(αa);
7. 1 · a = a,
ãäå a, b, c, x ∈ V ; α, β, 1 ∈ k.
Çàìå÷àíèå 8.1.2. Ìíîæåñòâî V ÷àñòî íàçûâàþò áàçèñíûì ìíîæåñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Åãî ýëåìåíòû áóäåì îáîçíà÷àòü a, b, c, a
1 , a 2 , . . .
è íàçûâàòü âåêòîðàìè.
Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ
1. (∀ a ∈ V ) (∃ 0 ∈ V ) a + 0 = a;
2. (∀ a ∈ V ) (∃ (−a) ∈ V ) a + (−a) = 0;
3. (∀ a, b ∈ V ) (∃ (a − b) ∈ V ) a − b = a + (−b);
4. αa = 0 ⇔ α = 0 èëè a = 0;
5. α(−a) = (−α)a = −αa;
6. α(a − b) = αa − αb;
7. (α − β)a = αa − βa.
Äîêàçàòåëüñòâî. Àêñèîìû 1 3 ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà óêàçûâàþò íà òî, ÷òî (V, +) îáðàçóåò àääèòèâíóþ ãðóïïó, ïîýòîìó ñïðàâåäëèâû ñâîé- ñòâà 1) 3).
4) Íåîáõîäèìîñòü.
Èìååì αa = (α + 0)a = αa + 0a ⇒ 0a = αa − αa = 0. Ïîëó÷àåì, ÷òî 0a = 0
8.2. Áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà 39
Èìååì αa = α(a + 0) = αa + α0 ⇒ α0 = αa − αa = 0. Ïîëó÷àåì, ÷òî α0 = 0
.
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü αa = 0. Åñëè α = 0, òî âñå äîêàçàíî. Åñëè α = 0 òî áóäåò ñóùå- ñòâîâàòü α
−1 ∈ k . Òîãäà a = 1 · a = (α −1 α)a = α −1 (αa) = α −1 · 0 = 0 .
5) Ðàñìîòðèì αa + α(−a) = α(a + (−a)) = α · 0 = 0 ⇒ α(−a) = −αa.
Äàëåå, αa + (−α)a = (α + (−α))a = 0 · a = 0 ⇒ (−α)a = −αa.
6) Èìååì, α(a − b) = α(a + (−b)) = αa + α(−b) = αa − αb. 7) Ïîäñ÷èòàåì (α − β)a = (α + (−β))a = αa + (−β)a = αa − βa.
Ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ:
1. V = {0} íóëåâîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî (òðèâèàëüíîå).
2. V = k n = {(α 1 , . . . , α n )|α i ∈ k} êîîðäèíàòíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàí-
ñòâî íàä ïîëåì k.
3. V = M(m × n, k) ìàòðèöû ðàçìåðíîñòè m × n ñ ýëåìåíòàìè èç k.
4. V = L ìíîæåñòâî ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâ-
íåíèé.
5. V = k[x] ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîãî íåèçâåñòíîãî ñ êîýô-
ôèöèåíòàìè èç k.
6. V = {f(x) ∈ k[x] |deg f n} .
8.2 Êîíå÷íîìåðíûå è áåñêîíå÷íîìåðíûå ëèíåéíûå
ïðîñòðàíñòâà. Áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà
òîëüêî ñâîéñòâà îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè, íî íå èñïîëüçîâàëè ïðèðîäó ñàìèõ âåêòîðîâ. À êàê âèäíî èç îïðåäåëåíèÿ 8.1.2, îïåðàöèè â àáñòðàêò- íîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå îáëàäàþò òåìè æå ñàìûìè ñâîéñòâàìè, ÷òî è îïåðàöèè â êîîðäèíàòíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîýòîìó, â àáñòðàêò- íûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ìîæíî ãîâîðèòü î ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ, î ëèíåéíî çàâèñèìûõ è ëèíåéíî íå çàâèñèìûõ ñèñòåìàõ âåêòî- ðîâ, î êðèòåðèè è ñâîéñòâàõ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè, îá îñíîâíîé òåîðåìå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè, î ëèíåéíîì âûðàæåíèè îäíîé ñèñòåìû âåêòî- ðîâ ÷åðåç äðóãóþ, îá ýêâèâàëåíòíûõ ñèñòåìàõ âåêòîðîâ, î áàçèñå è ðàíãå ñèñòåìû âåêòîðîâ. Íî åñòü è îòëè÷èÿ. Ïðèìåð: V
= k[x] . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ:
1, x, x 2 , . . . , x n ∈ V . Ýòà ñèñòåìà âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íå çàâèñè-
ìîé. Äåéñòâèòåëüíî,
α 0 · 1 + α 1 x + α 2 x 2 + . . . + α n x n = 0 ⇔ α 0 = α 1 = α 2 = . . . = α n = 0,
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî 1, x, x 2 , . . . , x n ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íå çàâèñèìîé ñèñòå-
ìîé âåêòîðîâ. Ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî n ìîæíî áðàòü ëþáûì è êàê óãîäíî áîëüøèì. Ïîýòîìó â ïðîñòðàíñòâå V ñóùåñòâóþò ëèíåéíî íå çàâèñèìûå ñèñòåìû âåêòîðîâ ñ êàêèì óãîäíî áîëüøèì ÷èñëîì ýòèõ âåêòîðîâ.
Îïðåäåëåíèå 8.2.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîìåð- íûì, åñëè ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî N òàêîå, ÷òî ÷èñëî ëèíåéíî íå çàâèñèìûõ âåêòîðîâ â ëþáîé ñèñòåìå ïðîñòðàíñòâà V íå ïðåâîñõîäèò N.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî- ìåðíûì.
Ïðèìåð:
1. V = k n êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
2. V = k[x] áåñêîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
8.2. Áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà 41
 êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ìîæíî ãîâîðèòü î áàçèñå
êàê êîíå÷íîé, òàê è áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû âåêòîðîâ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ãîâîðèòü î áàçèñå âñåãî êîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V .
Îïðåäåëåíèå 8.2.2. Áàçèñîì íåíóëåâîãî êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà V
íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ëèíåéíî íå çàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà âåêòîðîâ
B = {e 1 , e 2 , . . . , e n } , óäîâëåòâîðÿÿ ëþáîìó èç ñëåäóþùèõ ðàâíîñèëüíûõ
óñëîâèé:
1. ëþáîé âåêòîð a ∈ V ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîäñèñòåìó B;
2. ∀ a ∈ V ïîäñèñòåìà (B, a) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé;
3. â ïðîñòðàíñòâå V íå ñóùåñòâóåò ëèíåéíî íå çàâèñèìûõ ïîäñèñòåì ñ
÷èñëîì âåêòîðîâ áîëüøèì, ÷åì â B.
Îïðåäåëåíèå 8.2.3. Ðàçìåðíîñòüþ íóëåâîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëî 0. Ðàçìåðíîñòüþ íåíóëåâîãî êîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ÷èñëî âåêòîðîâ â ëþáîì áàçèñå ýòîãî ïðî- ñòðàíñòâà èëè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ëèíåéíî íå çàâèñèìûõ âåêòîðîâ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà V .
Ðàçìåðíîñòü êîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V áóäåì îáî-
çíà÷àòü dim V èëè rang V . Ïðèìåð:
1. dim {0} = 0;
2. dim k n = n ;
3. dim M(m × n, k) = mn;
4. dim L = n − r;
5. dim {f(x) ∈ k[x]|deg f(x) n} = n + 1 .
42 Ãëàâà 8. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâà è e 1 , e 2 , . . . , e n åãî
áàçèñ. Òîãäà ëþáîé âåêòîð a ∈ V ìîæíî âûðàçèòü ÷ðåç ýòîò áàçèñ
a = α 1 e 1 + α 2 e 2 + . . . + α n e n . (8.1)
Òàê êàê áàçèñ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íå çàâèñèìîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ, òî ýòî âûðàæåíèå (8.1) äëÿ âåêòîðà a åäèíñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, êàæ- äîìó âåêòîðó a ∈ V ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå óïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà (α
1 , α 2 , . . . , α n ) îòíîñèòåëüíî áàçèñà e 1 , e 2 , . . . , e n .
Îïðåäåëåíèå 8.2.4. Êîîðäèíàòàìè (êîìïîíåíòàìè) âåêòîðà a ∈ V îò- íîñèòåëüíî çàäàííîãî áàçèñà e
1 , e 2 , . . . , e n ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V íà-
çûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ñîâîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîãî âûðà- æåíèÿ âåêòîðà a ÷åðåç ýòîò áàçèñ.
Ïèøóò, âåêòîð a = (α 1 , α 2 , . . . , α n ) .
Îïðåäåëåíèå 8.2.5. Êîîðäèíàòíûì ñòîëáöîì âåêòîðà a îòíîñèòåëüíî çàäàííîãî áàçèñà e
1 , e 2 , . . . , e n íàçûâàåòñÿ ñòîëáåö, ñîñòàâëåííûé èç êî-
îðäèíàò âåêòîðà a îòíîñèòåëüíî ýòîãî áàçèñà.
? ?
α 1
Îáîçíà÷èì ?a = ? ? ? α 2 ? ? ? .
? . . . ?
? ? ? ?
α n
Îïðåäåëåíèå 8.2.6. Ñîïîñòàâëåíèå âåêòîðó a ∈ V åãî êîîðäèíàòíî- ãî ñòîëáöà îòíîñèòåëüíî çàäàííîãî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì îòîáðàæåíèåì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ðàçìåðíîñòè n â êîîðäèíàòíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî k
n .
ßñíî, ÷òî êàæäûé áàçèñ e 1 , e 2 , . . . , e n îïðåäåëÿåò ñâîå ñòàíäàðòíîå
îòîáðàæåíèå V → k n .
8.3. Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ 43
Ïðåäëîæåíèå 8.2.1. Êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö ñóììû äâóõ âåêòîðîâ ðà- âåí ñóììå êîîðäèíàòíûõ ñòîëáöîâ ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ. Êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ñêàëÿð, ðàâåí êîîðäèíàòíîìó ñòîëá- öó ýòîãî âåêòîðà, óìíîæåííîìó íà ýòîò ñêàëÿð.
Ýòî ïðåäëîæåíèå 8.2.1 îçíà÷àåò, ÷òî ? a + b = ? a + ? b è ? αa = α? a .
Äàäèì äðóãóþ ôîðìó çàïèñè (8.1). ßñíî, ÷òî ?a = (α 1 , α 2 , . . . , α n )
ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè 1 × n. Ðàññìîòðèì áàçèñíûé ñòîëáåö ïðîñòðàíñòâà
? ?
e 1
V ˜ e = ? ? ? ? . . . e 2 ? ? ? ? ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè n × 1. Òîãäà ?a ˜e = α 1 e 1 + α 2 e 2 +
? ? ? ?
e n
+ . . . + α n e n = a . Òàêèì îáðàçîì, a = ?a ˜e ìàòðè÷íàÿ çàïèñü ðàâåíñòâà
(8.1).
8.3 Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ
Ïóñòü V è V äâà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà íàä îäíèì è òåì æå îñíîâ- íûì ïîëåì k.
Îïðåäåëåíèå 8.3.1. Èçîìîðôèçìîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V íà ëè- íåéíîå ïðîñòðàíñòâî V íàä îäíèì è òåì æå îñíîâíûì ïîëåì k íàçûâàåò- ñÿ âñÿêàÿ áèåêöèÿ f : V → V , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì ëèíåéíîñòè:
1. (∀ a, b ∈ V ) f(a + b) = f(a) + f(b);
2. (∀ α ∈ k, a ∈ V ) f(αa) = αf(a).
Óñëîâèå 1 îçíà÷àåò, ÷òî îòîáðàæåíèå f ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì àä-
äèòèâíîé ãðóïïû (V, +) â àääèòèâíóþ ãðóïïó (V , +).
Îïðåäåëåíèå 8.3.2. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V íàçûâàåòñÿ èçîìîðô- íûì ëèíåéíîìó ïðîñòðàíñòâó V (V ∼
= V ), åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû
îäèí èçîìîðôèçì f : V → V .
44 Ãëàâà 8. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
Ïðåäëîæåíèå 8.3.1. Îòíîøåíèå èçîìîðôèçìà ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà êëàññå ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä îäíèì è òåì æå îñíîâíûì ïîëåì k.
Ýòî ïðåäëîæåíèå 8.3.1 îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ îòíîøåíèÿ èçîìîðôíîñòè
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ
1. V ∼ = V , òî åñòü âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî ðåôëåêñèâíîñòè;
2. åñëè V ∼ = V , òî V ∼ = V (ñèììåòðè÷íîñòü);
3. åñëè V ∼ = V è V ∼ = V , òî V ∼ = V (òðàíçèòèâíîñòü).
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.3.1 (î ñâîéñòâàõ èçîìîðôíûõ ëèíåéíûõ ïðî- ñòðàíñòâ). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1. ïðè èçîìîðôèçìå ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìû âåêòîðîâ ïåðåõîäÿò
â ëèíåéíî çàâèñèìûå, à ëèíåéíî íå çàâèñèìûå ñèñòåìû âåêòîðîâ ïåðåõîäÿò â ëèíåéíî íå çàâèñèìûå;
2. èçîìîðôíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà îäíîâðåìåííî ëèáî êîíå÷íî-
ìåðíûå, ëèáî áåñêîíå÷íîìåðíûå;
3. ïðè èçîìîðôèçìå áàçèñ ñèñòåìû âåêòîðîâ ïåðåõîäèò â áàçèñ, ðàíã
ñèñòåìû âåêòîðîâ ïðè èçîìîðôèçìå íå èçìåíÿåòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü f : V → V ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Âîçü- ìåì ëèíåéíî çàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ a
1 , a 2 , . . . , a s èç V . Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ñêàëÿðû α 1 , α 2 , . . . , α s íå âñå ðàâíûå íóëþ òàêèå,
÷òî α 1 a 1 + α 2 a 2 + . . . + α s a s = 0 . Ïåðåéäåì ê îáðàçàì ýòèõ âåêòî-
ðîâ f(α 1 a 1 + α 2 a 2 + . . . + α s a s ) = f (0) . Òàê êàê f èçîìîðôèçì, òî
α 1 f (a 1 ) + α 2 f (a 2 ) + . . . + α s f (a s ) = 0 , çäåñü íå âñå α i = 0 . Ïîñëåäíåå ñî-
îòíîøåíèå óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âåêòîðû f(a 1 ), f (a 2 ), . . . , f (a s ) ÿâëÿþòñÿ
8.3. Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ 45
Ïóñòü a 1 , a 2 , . . . , a s ëèíåéíî íå çàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V . Íàäî
äîêàçàòü, ÷òî f(a 1 ), f (a 2 ), . . . , f (a s ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íå çàâèñè-
ìîé. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ñèñòåìà f(a 1 ), f (a 2 ), . . . , f (a s ) ÿâëÿ-
åòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé. Òîãäà ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f −1 : V → V ,
êîòîðîå òàêæå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè ëèíåé- íî çàâèñèìûå âåêòîðû f(a
1 ), f (a 2 ), . . . , f (a s ) ïåðåéäóò â ëèíåéíî çàâèñè-
ìûå âåêòîðû a 1 , a 2 , . . . , a s , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè
a 1 , a 2 , . . . , a s .
2) Ïóñòü f : V → V è V ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì ëèíåéíûì ïðî-
ñòðàíñòâîì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî N òàêîå, ÷òî ÷èñëî âåêòîðîâ â ëþáîé ëèíåéíî íå çàâèñèìîé ñèñòåìû èç ïðîñòðàí- ñòâà V íå ïðåâîñõîäèò ýòîãî ÷èñëà N. Òàê êàê ïðè èçîìîðôèçìå òîëüêî ëèíåéíî íå çàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ïåðåõîäèò â ëèíåéíî íå çàâè- ñèìóþ, òî â ïðîñòðàíñòâå V ÷èñëî âåêòîðîâ â ëþáîé ëèíåéíî íå çàâè- ñèìîé ñèñòåìå òàêæå áóäåò îãðàíè÷åíî ýòèì ÷èñëîì N, ñëåäîâàòåëüíî ïðîñòðàíñòâî V áóäåò êîíå÷íîìåðíûì.
Ïóñòü V ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Íàäî
äîêàçàòü, ÷òî è V â ýòîì ñëó÷àå òàêæå áóäåò áåñêîíå÷íîìåðíûì. Äî- ïóñòèì ïðîòèâíîå, òî åñòü V ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì ëèíåéíûì ïðî- ñòðàíñòâîì. Òîãäà ðàññìîòðèì èçîìîðôèçì f
−1 : V → V . Ïðè ýòîì
èçîìîðôèçìå èç êîíå÷íîìåðíîñòè V áóäåò ñëåäîâàòü êîíå÷íîìåðíîñòü V
, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
3) Ïóñòü A ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V , B áàçèñ ñèñòåìû âåêòîðîâ A è
f : V → V èçîìîðôèçì. Òîãäà, òàê êàê B ⊂ A, òî f(B) ⊂ f(A). Äàëåå,
A ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç B, òîãäà f(A) áóäåò ëèíåéíî âûðàæàòüñÿ
ëî âåêòîðîâ â B ðàâíî ÷èñëó âåêòîðîâ f(B), òî åñòü r(A) = r(f(A)).
Ñëåäñòâèå 8.3.1.1. Èçîìîðôíûå êîíå÷íîìåðíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà èìåþò îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, f : V → V èçîìîðôèçì è V è V
ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Òîãäà áàçèñ
e 1 , e 2 , . . . , e n ïðîñòðàíñòâà V ïåðåõîäèò â áàçèñ f(e 1 ), f (e 2 ), . . . , f (e n ) ïðî-
ñòðàíñòâà V , òî åñòü dim V = n = dim V .
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.3.2. Ëþáîå êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ðàçìåðíîñòè n èçîìîðôíî êîîðäèíàòíîìó ëèíåéíîìó ïðîñòðàíñòâó k
n
è ïðè ýòîì èçîìîðôèçì äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî îòîá- ðàæåíèÿ f : V → k
n îòíîñèòåëüíî ëþáîãî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V .
? ?
e 1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü dim V = n è ˜e = ? ? ? e 2 ? ? ? áàçèñ V . Ðàññìîò-
? . . . ?
? ? ? ?
e n
ðèì ñòàíäàðòíîå îòîáðàæåíèå f : V → k n . Èçâåñòíî, ÷òî åñëè a = ?a ˜e,
òî f(a) = ?a. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå f ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.
Âî-ïåðâûõ, f ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f(a) = f(b),
òî ?a = ?b ⇒ a = b.
Âî-âòîðûõ, f ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé. Â ñàìîì äåëå, âîçüìåì ëþáîé
ñòîëáåö ?a ∈ k n è ïîñòðîèì âåêòîð a = ?a ˜e. Òîãäà f(a) = ?a.
Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå f ñîõðàíÿåò îïåðàöèè. Ðàññìîò-
ðèì f(a + b) = ? a + b = ? a + ? b = f (a) + f (b) . f(αa) = ? αa = α? a = αf (a) .
Òàêèì îáðàçîì f : V → k n ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì, ñëåäîâàòåëüíî
V ∼ = k n .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ðàçìåðíîñòü dim V = n è dim V = n
. Òîãäà ïî òåîðåìå 8.3.2 V ∼ = k n è V ∼ = k n , ñëåäîâàòåëü-
íî V ∼ = V .
Ñëåäñòâèå 8.3.2.2. Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ êîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ðàâåí ðàíãó ñèñòåìû êîîðäèíàòíûõ ñòîëáöîâ âåêòîðîâ ýòîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ëþáîãî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a 1 , a 2 , . . . , a s ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V . Ðàññìîò-
ðèì f : V → k n ñòàíäàðòíûé èçîìîðôèçì, òîãäà ñèñòåìà âåêòî-
ðîâ a 1 , a 2 , . . . , a s ïåðåõîäèò â ? a 1 , ? a 2 , . . . , ? a s . Íî ïî óòâåðæäåíèþ 3 òåî-
ðåìû 8.3.1 r(a 1 , a 2 , . . . , a s ) = r( ? a 1 , ? a 2 , . . . , ? a s ) .
8.4 Ïåðåõîä îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó. Ìàòðèöà
ïåðåõîäà
Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä k, dim V = n è ïóñòü
? ? ? ?
e 1 u 1
e = ? ? ? e 2 ? ? ? è u = ? ? ? u 2 ? ? ?
? . . . ? ? . . . ?
? ? ? ? ? ? ? ?
e n u n
äâà áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V . Âûðàçèì âåêòîðû áàçèñà u ÷åðåç âåêòîðû áàçèñà e:
u 1 = α 11 e 1 + α 21 e 2 + . . . + α n1 e n ;
u 2 = α 12 e 1 + α 22 e 2 + . . . + α n2 e n ; (8.2)
. . .
u n = α 1n e 1 + α 2n e 2 + . . . + α nn e n .
Îïðåäåëåíèå 8.4.1. Ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó u íàçûâà- åòñÿ ìàòðèöà, òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê ìàòðèöå, ñîñòàâëåííîé èç êîýôôè-
öèåíòîâ ëèíåéíîãî âûðàæåíèÿ âåêòîðîâ áàçèñà u ÷åðåç âåêòîðû áàçèñà e
.
Îïðåäåëåíèå 8.4.1 îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà ïåðåõîäà
? ? ? ?
α 11 α 21 . . . α n1 α 11 α 12 . . . α 1n
Q = ? ? ? α 12 α 22 . . . α n2 ? ? ? = ? ? ? α 21 α 22 . . . α 2n ? ? ? .
? . . . . . . . . . . . . ? ? . . . . . . . . . . . . ?
? ? ? ? ? ? ? ?
α 1n α 2n . . . α nn α n1 α n2 . . . α nn
Ïåðâûì ñòîëáöîì ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö âåêòîðà u .
1
Âòîðûì êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö âåêòîðà u , è ò.ä.
2
Îïðåäåëåíèå 8.4.2. Ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó u íàçû- âàåòñÿ ìàòðèöà Q, ñòîëáöàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû âåêòîðîâ áàçèñà u îòíîñèòåëüíî áàçèñà e, òî åñòü
Q = (u 1 | e , u 2 | e , . . . , u n | e ) .
Îïðåäåëåíèå 8.4.3. Ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó u íàçûâà- åòñÿ ìàòðèöà Q, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì u = Q e ìàòðè÷íàÿ çàïèñü ñèñòåìû (8.2).
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.4.1 (î ìàòðèöå ïåðåõîäà). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ
1. Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó ÿâëÿåòñÿ íå îñî-
áåííîé. Îáðàòíî, ëþáóþ íå îñîáåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ðàññìàò- ðèâàòü êàê ìàòðèöó ïåðåõîäà îò çàäàííîãî áàçèñà ê íåêîòîðîìó äðóãîìó áàçèñó.
2. Ìàòðèöû ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó u è îò áàçèñà u ê áàçèñó e
ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü Q ëþáàÿ íå îñîáåííàÿ ìàòðèöà è e çà- äàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V . Ïîñòðîèì âåêòîðû u
îáðàçîì, ÷òîáû èõ êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû îòíîñèòåëüíî áàçèñà e ñîâïà- äàëè ñî ñòîëáöàìè ìàòðèöû Q.
Òàê êàê |Q| = 0, òî ñòîëáöû ìàòðèöû Q ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìûìè, ïîýòîìó è âåêòîðû u 1 , u 2 , . . . , u n áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.
 ñèëó ýòîãî, âåêòîðû u 1 , u 2 , . . . , u n ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå áàçèñà u
ïðîñòðàíñòâà V .
Ïî ïîñòðîåíèþ áóäåì èìåòü u = Q e, òî åñòü ìàòðèöà Q ÿâëÿåòñÿ
ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò çàäàííîãî áàçèñà e ê âíîâü ïîñòðîåííîìó áàçèñó u
.
2) Ïóñòü e è u äâà áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V . Ïóñòü Q ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e ê u, R ìàòðèöà ïåðåõîäà îò u ê e. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ 8.4.3 áóäåì èìåòü u = Q e, e = R u. Îòñþäà, e = R (Q e) = (R Q )e = (QR) e.
Ýòî ðàâåíñòâî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ìàòðèöà QR ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé
ïåðåõîäà îò e ê e. Íî ýòîé ìàòðèöåé ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà E, ñëåäîâàòåëüíî QR = E
. Ýòî ñîîòíîøåíèå óêàçûâàåò íà òî, ÷òî Q è R íå îñîáåííûå
âçàèìíî îáðàòíûå ìàòðèöû, òî åñòü Q = R −1 .
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.4.2. Êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö âåêòîðà îòíîñèòåëüíî íî- âîãî áàçèñà ðàâåí êîîðäèíàòíîìó ñòîëáöó ýòîãî âåêòîðà îòíîñèòåëüíî ñòàðîãî áàçèñà, óìíîæåííîìó ñëåâà íà ìàòðèöó ïåðåõîäà îò íîâîãî áà- çèñà ê ñòàðîìó, òî åñòü
? a| u = R · ? a| e ,
ãäå R ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà u ê áàçèñó e.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü e ñòàðûé áàçèñ, u íîâûé áàçèñ, R ìàò- ðèöà ïåðåõîäà îò u ê e, òî åñòü e = R u. Ñ îäíîé ñòîðîíû, âåêòîð a = ?
a | u · u . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âåêòîð a = ?a | e · e = ? a | e · (R u) =
(? a | e · R )u = (R · ? a| e ) u .
Òàê êàê âûðàæåíèå âåêòîðà a ÷åðåç áàçèñ u ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì,
8.5 Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà
Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì k.
Îïðåäåëåíèå 8.5.1. Ïîäìíîæåñòâî L áàçèñíîãî ìíîæåñòâà V íàçûâà- åòñÿ óñòîé÷èâûì ïîäìíîæåñòâîì, åñëè îíî óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî âíóò- ðåííåãî ñëîæåíèÿ è âíåøíåãî óìíîæåíèÿ, òî åñòü
1. (∀ a, b ∈ L) a + b ∈ L;
2. (∀ α ∈ k, a ∈ L) αa ∈ L.
Ñëåäñòâèå. Óñòîé÷èâîå ïîäìíîæåñòâî L, ðàññìîòðåííîå âìåñòå ñ èíäó- öèðîâàííûìè íà íåì îïåðàöèÿìè, îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. L ⊂ V è L óñòîé÷èâîå ïîäìíîæåñòâî, òîãäà íà L ìîæíî ðàññìîòðåòü èíäóöèðîâàííûå îïåðàöèè âíóòðåííåãî ñëîæåíèÿ è âíåøíåãî óìíîæåíèÿ. Ïîêàæåì, ÷òî (∀ a, b ∈ L) a − b ∈ L. Äåéñòâè- òåëüíî, −b = −(1 · b) = (−1)b ∈ L, òîãäà a − b = a + (−b) ∈ L. Òàêèì îáðàçîì, (L, +) îáðàçóåò àääèòèâíóþ ïîäãðóïïó ãðóïïû (V, +). Ïîýòîìó ïåðâûå òðè àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â L, îñòàëü- íûå ÷åòûðå àêñèîìû, îòíîñÿùèåñÿ ê âíåøíåìó óìíîæåíèþ, âûïîëíÿÿñü â ïðîñòðàíñòâå V , áóäóò âûïîëíÿòüñÿ è íà óñòîé÷èâîì ïîäìíîæåñòâå L. Ýòèì óñòàíîâëåíî, ÷òî L ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.
Îïðåäåëåíèå 8.5.2. Ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà V íà- çûâàåòñÿ âñÿêîå åãî óñòîé÷èâîå ïîäìíîæåñòâî L, ðàññìîòðåííîå âìåñòå ñ èíäóöèðîâàííûìè íà íåì îïåðàöèÿìè.
Ïðåäëîæåíèå 8.5.1. Ïåðåñå÷åíèå ñåìåéñòâà ëèíåéíûõ ïîäïðî- ñòðàíñòâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ñíîâà ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàí- ñòâîì ïðîñòðàíñòâà V .
8.5. Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà 51
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü {L } ñåìåéñòâî ëèíåéíûõ ïîä-
i
ïðîñòðàíñòâ ïðîñòðàíñòâà V . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
L = L i .
(i)
Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî L óñòîé÷èâîå ïîäìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå V .
Ïóñòü a, b ∈ L ⇒ (∀ i) a, b ∈ L . Òàê êàê L ëèíåéíîå ïîäïðî-
i i
ñòðàíñòâî, òî (∀ i) a + b ∈ L i ⇒ a + b ∈ L i = L . Ñëåäîâàòåëüíî, L
(i)
óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî âíóòðåííåãî ñëîæåíèÿ.
Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî (∀ α ∈ k, a ∈ L) αa ∈ L. Ñëåäîâàòåëüíî, L ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà V .
Ïóñòü òåïåðü A ïîäìíîæåñòâî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Ðàññìîò-
ðèì âñå ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà L ïðîñòðàíñòâà V , ñîäåðæàùèå ìíî- æåñòâî A. Òàêèå ïîäïðîñòðàíñòâà ñóùåñòâóþò, íàïðèìåð, âñå ìíîæåñòâî V
. Óñòðîèì ïåðåñå÷åíèå âñåõ ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ L, òî åñòü
L = L(A).
L⊃A
Ïðåäëîæåíèå 8.5.2. Ìíîæåñòâî L(A) íàèìåíüøåå ëèíåéíîå ïîä- ïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà V , ñîäåðæàùåå ìíîæåñòâî A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, òîò ôàêò, ÷òî L(A) ÿâëÿåòñÿ ïîäïðî- ñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà V ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 8.5.1. Äàëåå, ìíî- æåñòâî A ñîäåðæèòñÿ âî âñåõ L êîòîðûå ìû ïåðåñåêàåì, ñëåäîâàòåëüíî A ⊂ L(A)
.
Íàêîíåö, âîçüìåì ëþáîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L , òàêîå, ÷òî
A ⊂ L . Òîãäà îíî íàõîäèòñÿ ñðåäè ïåðåñåêàåìûõ ïîäïðîñòðàíñòâ L,
ñëåäîâàòåëüíî L(A) ⊂ L .
Îïðåäåëåíèå 8.5.3. Ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà A ïðîñòðàíñòâà V
íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L(A) ïðîñòðàíñòâà
V , ñîäåðæàùåå ìíîæåñòâî A.
52 Ãëàâà 8. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
×àñòî ãîâîðÿò, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî L(A) ïîðîæäåíî ìíîæåñòâîì A
èëè íàòÿíóòî íà ìíîæåñòâî A.
Ïðåäëîæåíèå 8.5.3 (ñòðîåíèå L(A)). Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(A) ñî- ñòîèò èç ìíîæåñòâà ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A ñ êîýôôèöèåíòàìè èç îñíîâíîãî ïîëÿ k, òî åñòü
L(A) = α a a α a ∈ k è ïî÷òè âñå α a = 0 .
a∈A
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñàìîì äåëå, ââåäåì îáîçíà÷åíèå: L = α a a .
a∈A
Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî L(A) = L .
Ñ îäíîé ñòîðîíû, òàê êàê A ⊂ L(A), òî L(A) ñîäåðæèò ëþáóþ ëè-
íåéíóþ êîìáèíàöèþ êîíå÷íîãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âåêòîðîâ A, òî åñòü L ⊂ L(A).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÿñíî, ÷òî L óñòîé÷èâîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàí-
ñòâà V , ñëåäîâàòåëüíî, L ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà V . Êðîìå òîãî, ìíîæåñòâî A ⊂ L (òàê êàê a = 1 · a + 0 · a
1 + 0 · a 2 + . . . ).
Òîãäà ïî ïðåäëîæåíèþ 8.5.2 L(A) ⊂ L .
 èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî L(A) = L .
Ñëåäñòâèå 8.5.0.1. Åñëè A = {a 1 , a 2 , . . . , a s } , ãäå âåêòîðû a 1 , a 2 , . . . , a s
ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, òî L(A) êîíå÷íîìåðíî, dim L(A) = = s
è
s
L(A) = α i a i | α i ∈ k .
i=1
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, òîò ôàêò, ÷òî L(A) èìååò óêàçàííûé âèä ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 8.5.3. Òîãäà âåêòîðû a
1 , a 2 , . . . , a s ìîæíî
âçÿòü â êà÷åñòâå áàçèñà L(A), ñëåäîâàòåëüíî, dim L(A) = s.
Ñëåäñòâèå 8.5.0.2. Åñëè ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V êîíå÷íîìåðíîå, òî ëþ- áîå åãî ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì è dim L
dim V . Åñëè dim L = dim V , òî L = V .
8.5. Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà 53
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü dim V = n è e 1 , e 2 , . . . , e n áà-
çèñ V . Òàê êàê L ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V , òî îíî äîëæíî áûòü êîíå÷íîìåðíûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, èç áåñêîíå÷íîìåðíî- ñòè ïðîñòðàíñòâà L âûòåêàëî áû áåñêîíå÷íîìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà V .
Ïóñòü a 1 , a 2 , . . . , a s áàçèñ L, òî åñòü dim L = s. Òàê êàê a 1 , a 2 , . . . , a s
ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç áàçèñ e 1 , e 2 , . . . , e n ïðîñòðàíñòâà V , òî ïî îñ-
íîâíîé òåîðåìå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè s n , òî åñòü dim L dim V .
Åñëè dim L = dim V , òî åñòü s = n, òî âåêòîðû a 1 , a 2 , . . . , a n ìîæíî
âçÿòü â êà÷åñòâå áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V .  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 8.5.3 áóäåì èìåòü
n
L = α i a i = V.
i=1
Îïðåäåëåíèå 8.5.4. Ñóììîé ñåìåéñòâà ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ {L }
i
ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà, ðàâíàÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîìó îáúåäèíåíèþ áàçèñíûõ ìíîæåñòâ ýòèõ ëè- íåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, òî åñòü
? ?
L i = L ? L i ? .
(i) (i)
Îïðåäåëåíèå 8.5.5. Ñóììîé ñåìåéñòâà ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ {L }
i
ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðî- ñòðàíñòâà V , ñîäåðæàùåå âñå ïîäïðîñòðàíñòâà äàííîãî ñåìåéñòâà.
Ïðåäëîæåíèå 8.5.4 (ñòðîåíèå ñóììû). Ñóììà L 1 + L 2 äâóõ ëè-
íåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ñîâïàäàåò ñî ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ âèäà {a
1 + a 2 | a 1 ∈ L 1 , a 2 ∈ L 2 } .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ 8.5.4 èìååì L 1 + L 2 =
= L(L 1 ∪ L 2 ) . Ââåäåì îáîçíà÷åíèå L = {a 1 + a 2 | a i ∈ L i , i = 1, 2} . Íàäî
ïîêàçàòü, ÷òî L 1 + L 2 = L .
54 Ãëàâà 8. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
Ñ îäíîé ñòîðîíû, ÿñíî, ÷òî L óñòîé÷èâîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàí-
ñòâà V , ïîýòîìó L ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà V .
Äàëåå, L 1 ⊂ L . Äåéñòâèòåëüíî, (∀ a 1 ∈ L 1 ) a 1 = a 1 + 0 , ãäå 0 ∈ L 2 .
Àíàëîãè÷íî, L 2 ⊂ L , èìååì (∀ a 2 ∈ L 2 ) a 2 = 0+a 2 , ãäå 0 ∈ L 1 . Îòñþäà,
L 1 ∪ L 2 ⊂ L , ñëåäîâàòåëüíî L(L 1 ∪ L 2 ) ⊂ L , òî åñòü L 1 + L 2 ⊂ L .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a ∈ L . Åãî ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå a = a 1 + a 2 , ãäå a 1 ∈ L 1 , a 2 ∈ L 2 . Âåêòîðû a 1 , a 2 ∈
∈ L 1 ∪ L 2 , ñëåäîâàòåëüíî a = a 1 + a 2 ∈ L(L 1 ∪ L 2 ) = L 1 + L 2 , òî åñòü
a ∈ L 1 + L 2 . Èìååì L ⊂ L 1 + L 2 .
Òàêèì îáðàçîì, èç äâóõ âêëþ÷åíèé ïîëó÷àåì, ÷òî L 1 + L 2 = L .
Çàìå÷àíèå 8.5.1. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå
? ? ? ?
L i = a i | a i ∈ L i è ïî÷òè âñå a i = 0 .
(i) ? (i) ?
Îïðåäåëåíèå 8.5.6. Ñóììà ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ L 1 + L 2 íàçûâà-
åòñÿ ïðÿìîé, åñëè L 1 ∩ L 2 = {0} .
Ïðÿìàÿ ñóììà îáîçíà÷àåòñÿ L ⊕ L .
1 2
Ëåììà 8.5.1. Ëþáóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ êîíå÷- íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñà ïðî- ñòðàíñòâà V .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a 1 , a 2 , . . . , a s ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà
âåêòîðîâ èç V è e 1 , e 2 , . . . , e n áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V , dim V = n. Ðàñ-
ñìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ
a 1 , a 2 , . . . , a s , e 1 , e 2 , . . . , e n . (8.3)
Èç ýòîé ñèñòåìû âåêòîðîâ (8.3) íà÷íåì óäàëÿòü âåêòîðû, êîòîðûå ëè- íåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå. Ïåðâûå s âåêòîðîâ îñòàþòñÿ íà ìåñòå, òàê êàê îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìûå. Ïîëó÷èì
a 1 , a 2 , . . . , a s , e i 1 , e i 2 , . . . , e i k . (8.4)
8.5. Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà 55
Ñèñòåìà âåêòîðîâ (8.4) áóäåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, òàê êàê íè îäèí âåê- òîð íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå âåêòîðû.
Äàëåå, ëþáîé âåêòîð a ∈ V , ëèíåéíî âûðàæàÿñü ÷åðåç ñèñòåìó (8.3),
áóäåò ëèíåéíî âûðàæàòüñÿ è ÷åðåç ñèñòåìó (8.4), òàê êàê óäàëåííûå âåê- òîðû èç ñèñòåìû (8.3), ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñèñòåìó (8.4). Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà âåêòîðîâ (8.4) áóäåò ñîñòàâëÿòü áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V . Ýòîò áàçèñ ïîëó÷åí èç ñèñòåìû a
1 , a 2 , . . . , a s äîáàâëåíèåì íåêîòîðûõ âåê-
òîðîâ. k = n − s.
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.5.1 (î ðàçìåðíîñòè ñóììû äâóõ ëèíåéíûõ ïîäïðî- ñòðàíñòâ). Ðàçìåðíîñòü ñóììû äâóõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ êîíå÷- íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ðàâíà ñóììå ðàçìåðíîñòåé ýòèõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ áåç ðàçìåðíîñòè èõ ïåðåñå÷åíèÿ, òî åñòü
dim (L 1 + L 2 ) = dim L 1 + dim L 2 − dim (L 1 ∩ L 2 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L è L äâà ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà ïðî-
1 2
ñòðàíñòâà V . Îáîçíà÷åíèå ÷åðåç L = L ∩ L . Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ
1 2
e 1 , e 2 , . . . , e r (8.5)
áàçèñ L. Åñëè L = {0}, òî r = 0 è áàçèñîì áóäåò ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ïî ëåììå áàçèñ L ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñà L
1
e 1 , e 2 , . . . , e r , u r+1 , . . . , u s , (8.6)
ãäå (8.6) áàçèñ L 1 , dim L 1 = s . Àíàëîãè÷íî, ïî ëåììå áàçèñ L ìîæíî
äîïîëíèòü äî áàçèñà L
2
e 1 , e 2 , . . . , e r , v r+1 , . . . , v t , (8.7)
ãäå (8.7) áàçèñ L 2 , dim L 2 = t .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ
e 1 , e 2 , . . . , e r , u r+1 , . . . , u s , v r+1 , . . . , v t . (8.8)
56 Ãëàâà 8. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
Ïîêàæåì ÷òî ñèñòåìà (8.8) ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì L 1 + L 2 . Äåéñòâèòåëüíî,
âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð x ∈ L 1 + L 2 . Òîãäà x = a + b, ãäå a ∈
L 1 , b ∈ L 2 . Ðàçëàãàÿ âåêòîð a ïî áàçèñó (8.6), âåêòîð b ïî áàçèñó (8.7) è
ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî âåêòîð x ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñèñòåìó (8.8).
Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ (8.8) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçà-
âèñèìîé. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
α 1 e 1 + . . . + α r e r + β r+1 u r+1 + . . . + β s u s + γ r+1 v r+1 + . . . + γ t v t = 0. (8.9)
Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ñêàëÿðû α i , β i , γ i = 0 . Ðàññìîòðèì âåêòîð
x = α 1 e 1 + . . . + α r e r + β r+1 u r+1 + . . . + β s u s . (8.10)
Èç ðàâåíñòâà (8.9) âèäíî, ÷òî âåêòîð
x = −γ r+1 v r+1 − . . . − γ t v t . (8.11)
Ðàâåíñòâî (8.10) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âåêòîð x ∈ L , à ðàâåíñòâî (8.11)
1
óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âåêòîð x ∈ L 2 , ñëåäîâàòåëüíî x ∈ L 1 ∩ L 2 = L .
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð x ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç áàçèñ L.
x = α 1 e 1 + . . . + α r e r . (8.12)
Ñðàâíèì (8.10) è (8.12). Âûðàæåíèå âåêòîðà x ÷åðåç áàçèñ (8.6) äîëæíî áûòü åäèíñòâåííûì, òîãäà
α 1 = α 1 , . . . , α r = α r , β r+1 = 0, . . . , β s = 0.
Òîãäà ðàâåíñòâî (8.9) ïðèíèìàåò âèä
α 1 e 1 + . . . + α r e r + γ r+1 v r+1 + . . . + γ t v t = 0. (8.13)
Òàê êàê áàçèñ (8.7) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ, òî èç ðàâåíñòâà (8.13) ñëåäóåò, ÷òî âñå ñêàëÿðû α
1 = . . . = α r = γ r+1 =
= . . . = γ t = 0 .
8.5. Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà 57
Âèäíî, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ (8.8) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé,
ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà âåêòîðîâ (8.8) ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì L 1 + L 2 . Òîãäà
dim (L 1 + L 2 ) = ÷èñëó âåêòîðîâ â áàçèñå (8.8) = r +(s − r)+ (t − r) = s +
+t−r = dim L 1 +dim L 2 −dim L = dim L 1 ++dim L 2 −dim (L 1 ∩L 2 ) .
Ñëåäñòâèå 8.5.1.1. Ðàçìåðíîñòü ïðÿìîé ñóììû ðàâíà ñóììå ðàçìåðíî- ñòåé ñëàãàåìûõ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè L 1 + L 2 ïðÿìàÿ ñóììà, òî ïî
îïðåäåëåíèþ L 1 ∩ L 2 = {0} , dim {0} = 0. Ïîëó÷àåì, ÷òî dim (L 1 ⊕ L 2 ) =
= dim L 1 + dim L 2 .
Ãëàâà 9
Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå
9.1 Ïðîñòðàíñòâî è àëãåáðà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ
Ïóñòü V è V äâà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà íàä îäíèì è òåì æå îñíîâ- íûì ïîëåì k.
Îïðåäåëåíèå 9.1.1. Ëèíåéíûì îïåðàòîðîì èç ïðîñòðàíñòâà V â ïðî- ñòðàíñòâî V íàä îäíèì è òåì æå ïîëåì k íàçûâàåòñÿ âñÿêîå îòîáðàæåíèå f : V → V
, óäîâëåòâîðÿþùåå äâóì óñëîâèÿì:
1. (∀ a, b ∈ V ) f(a + b) = f(a) + f(b);
2. (∀ α ∈ k, a ∈ V ) f(αa) = αf(a).
Âèäíî, ÷òî ïîíÿòèå ¾ëèíåéíûé îïåðàòîð¿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿ-
òèÿ ¾èçîìîðôèçì¿.  ñëó÷àå èçîìîðôèçìà, òðåáîâàëîñü ÷òîáû f áûëî áèåêöèåé. Óñëîâèå 1) îçíà÷àåò, ÷òî f ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì (V, +) íà (V , +). Óñëîâèå 1) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì àääèòèâíîñòè, à óñëîâèå 2) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì îäíîðîäíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 9.1.2. Ëèíåéíûì îïåðàòîðîì èç ïðîñòðàíñòâà V â ïðî- ñòðàíñòâî V íàä îäíèì è òåì æå îñíîâíûì ïîëåì k íàçûâàåòñÿ âñÿêîå
58
îòîáðàæåíèå f : V → V , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ëèíåéíîñòè:
(∀ α, β ∈ k, a, b ∈ V ) f (αa + βb) = αf (a) + βf (b).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç L(V, V ) ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ èç
ïðîñòðàíñòâà V â ïðîñòðàíñòâî V . Íà ýòîì ìíîæåñòâå ðàññìîòðèì äâå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè: âíóòðåííåå ñëîæåíèå è âíåøíåå óìíîæåíèå.
Îïðåäåëåíèå 9.1.3. Ïóñòü f, g ∈ L(V, V ) è α ∈ k. Ïîëàãàþò, ÷òî (f + g)(a) = f (a) + g(a)
è (αf)(a) = αf(a).
Îïðåäåëåíèå 9.1.3 êîððåêòíî â òîì ñìûñëå, ÷òî f + g è αf ÿâëÿþòñÿ
ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè.
Äåéñòâèòåëüíî, (∀ α, β ∈ k, a, b ∈ V ) (f +g)(αa+βb) = f(αa+βb)+
+ g(αa + βb) = αf (a) + βf (b) + αg(a) + βg(b) = α(f (a) + g(a)) + β(f (b) +
+ g(b)) = α(f + g)(a) + β(f + g)(b). Ñëåäîâàòåëüíî f + g ∈ L(V, V ).
Åùå ïðîùå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî αf ∈ L(V, V ).
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.1.1. Ìíîæåñòâî L(V, V ), ðàññìîòðåííîå âìåñòå ñ îïðå- äåëåííûìè íà íåì âíóòðåííåé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ è âíåøíåé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ, îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðî- ñòðàíñòâî íàä ïîëåì k.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f, g, h ∈ L(V, V ), α, β, 1 ∈ k. Äëÿ äîêàçàòåëü- ñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ 7 àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, à èìåííî
1. f + g = g + f;
2. f + (g + h) = (f + g) + h;
3. (∀ f, g) (∃ h) g + h = f;
4. α(f + g) = αf + αg;
5. (α + β)f = αf + βf;
6. (αβ)f = α(βf) = β(αf);
7. 1 · f = f.
Ïðîâåðèì íåêîòîðûå èç íèõ. 1) Èìååì (∀ a ∈ V ) (f+g)(a) = f(a)+g(a) = g(a)+f(a) = (g+f)(a).
Ñëåäîâàòåëüíî, f + g = g + f.
3) Èìååì f, g ∈ L(V, V ). Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå h : V → V , îïðå-
äåëåííîå ñëåäóþùèì îáðàçîì (∀ a ∈ V ) h(a) = f(a) − g(a). Ëåãêî ïî- êàçàòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ëèíåéíîñòè, ñëåäî- âàòåëüíî, h ∈ L(V, V ). Ïîäñ÷èòàåì (∀ a ∈ V ) (g+h)(a) = g(a)+h(a) = = g(a) + (f (a) − g(a)) = f (a)
. Ñëåäîâàòåëüíî, g + h = f.
Ïóñòü V, V , V òðè ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì k, ïóñòü
f ∈ L(V, V ) , ? ∈ L(V , V ). Òîãäà ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êîìïîçèöèþ
ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ? ? f : V → V , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (? ? f)(a) = ?(f(a)). Ýòó êîìïîçèöèþ ? ? f áóäåì îáîçíà÷àòü ?f
. Ïîêàæåì, ÷òî ?f åñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð èç ïðîñòðàíñòâà V â V . Äåéñòâèòåëüíî, ?f(αa + βb) = ?(f(αa + βb)) = ?(αf(a) + βf(b)) =
= α?(f (a)) + β?(f (b)) = α(?f )(a) + β(?f )(b) . Ñëåäîâàòåëüíî, ?f ∈
∈ L(V, V ) .
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.1.2. Ïóñòü f, g ∈ L(V, V ), ?, ψ ∈ L(V , V ), h ∈ L(V , V ), α ∈ k
. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
1. ?(f + g) = ?f + ?g;
2. (? + ψ)f = ?f + ψf;
3. h(?f) = (h?)f;
4. α(?f) = (α?)f = ?(αf).
Ïóñòü f, g, ?, ψ, h ∈ L(V, V ), òî åñòü ýòî ëèíåéíûå îïåðàòîðû èç ëè-
íåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V â ñåáÿ.
Îïðåäåëåíèå 9.1.4. Ëèíåéíûé îïåðàòîð èç V â V íàçûâàåòñÿ ýíäîìîð- ôèçìîì.
Íà ìíîæåñòâå L(V, V ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òðåòüþ àëãåáðàè÷åñêóþ
îïåðàöèþ âíóòðåííåå óìíîæåíèå. Åñëè f, ? ∈ L(V, V ), òî ïîëàãàþò ?f = ? ? f : V → V
, ?f ∈ L(V, V ). Äëÿ ýòîé îïåðàöèè óìíîæåíèÿ
îïåðàòîðîâ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ 1) 4) òåîðåìû 9.1.2.
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.1.3. Ìíîæåñòâî L(V, V ), ðàññìîòðåííîå âìåñòå ñ îïðå- äåëåííûìè íà íåì òðåìÿ àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè: âíóòðåííèìè ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì è âíåøíèì óìíîæåíèåì, îáðàçóåò àëãåáðó íàä ïîëåì k.
Òåîðåìà 9.1.3 îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàöèè â ìíîæåñòâå L(V, V ) óäîâëåòâî-
ðÿþò ñëåäóþùèì 10 àêñèîìàì:
1) 7) àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà; 8) f(g + h) = fg + fh, (f + g)h = fh + gh; 9) f(gh) = (fg)h; 10) α(fg) = (αf)g = f(αg). Êàê è âñÿêàÿ àëãåáðà, àëãåáðà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ åñòü ñîåäèíåíèå
äâóõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóð: ñòðóêòóðû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà (àê- ñèîìû 1) 7)) è ñòðóêòóðû êîëüöà (àêñèîìû 1) 3) è 8) 9)). Ýòè ñòðóêòóðû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñâîéñòâîì 10).
 äàëüøåéøåì, ìíîæåñòâî L(V, V ) áóäåì îáîçíà÷àòü L(V ).
Ïðèìåðû:
1) Íóëåâîé ëèíåéíûé îïåðàòîð èç L(V ). Îí îáîçíà÷àåòñÿ 0 .
V
Îïðåäåëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì (∀ a ∈ V ) 0 V (a) = 0 . ßñíî, ÷òî
(∀ f ∈ L(V )) f + 0 V = f .
2) Òîæäåñòâåííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð èç L(V ). Îáîçíà÷àåòñÿ 1 .
V
Îïðåäåëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì (∀ a ∈ V ) 1 V (a) = a . ßñíî, ÷òî
(∀ f ∈ L(V )) 1 V · f = f · 1 V = f . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â àëãåáðå L(V )
åñòü åäèíèöà.
9.2 Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êîíå÷íîìåðíîì
ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå
Çäåñü ìû ïîëó÷èì îáîçðåíèå âñåõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ àëãåáðû L(V ), ãäå dim V = n.
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.2.1. Ïóñòü e 1 , e 2 , . . . , e n áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàí-
ñòâà V . Ïóñòü V äðóãîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì k è a
, a , . . . , a ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V . Òîãäà ñóùåñòâó-
1 2 n
åò åäèíñòâåííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð f ∈ L(V, V ), ïåðåâîäÿùèé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V â çàäàííóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà V , òî åñòü
(∀ 1 i n) f (e i ) = a i .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Åäèíñòâåííîñòü.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îïåðàòîð f ∈ L(V, V ) òàêîé, ÷òî (∀ 1
i n) f (e i ) = a i . Ëþáîé âåêòîð a ∈ V ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
n
a = α i e i . Òîãäà
i=1
n n n
f (a) = f α i e i = α i f (e i ) = α i a i .
i=1 i=1 i=1
Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äðóãîé ëèíåéíûé îïåðàòîð f ∈ L(V, V ) , óäî-
1
âëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ (∀ 1 i n) f 1 (e i ) = a i . Òîãäà
n n n
f 1 (a) = f 1 α i e i = α i f 1 (e i ) = α i a i = f (a).
i=1 i=1 i=1
Ñëåäîâàòåëüíî f 1 = f .
2) Ñóùåñòâîâàíèå.
n
Ïóñòü a ∈ V . Òîãäà a = α i e i . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f : V → V
ñëåäóþùèì îáðàçîì i=1
n
f (a) = α i a i .
i=1
Ïîêàæåì, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëèíåéíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü b ∈ V , b =
n
β i e i . Òîãäà
i=1
n
f (b) = β i a i .
i=1
n n
f (a + b) = f (α i + β i )e i = (α i + β i )a i =
i=1 i=1
n n
= α i a i + β i a i = f (a) + f (b).
i=1 i=1
Åùå ïðîùå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî f(αa) = αf(a), ãäå α ∈ k. Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå f ∈ L(V, V ). Íàêîíåö, (∀ 1
i 1) f (e i ) = f (0·e 1 +. . .+
+ 1 · e i + . . . + 0 · e n ) = 0 · a i + . . . + 1 · a i + . . . + 0 · a n = a i .
Ñëåäñòâèå 9.2.1.1. Ëèíåéíûé îïåðàòîð èç V â V îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿ- åòñÿ îáðàçàìè áàçèñíûõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà V .
Ýòî âûòåêàåò èç äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû 9.2.1.
Ñëåäñòâèå 9.2.1.2. Ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ èç V â V íàõîäèò- ñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì óïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì èç n-âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà V .
Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì k, dim V = n,
e 1 , e 2 , . . . , e n áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V . Ïóñòü, äàëåå, f ∈ L(V ), ïî ñëåä-
ñòâèþ èç òåîðåìû 9.2.1, ýòîò îïåðàòîð åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿ- åòñÿ îáðàçàìè áàçèñíûõ âåêòîðîâ f(e
1 ), f (e 2 ), . . . , f (e n ) ∈ V . Ðàçëîæèì
ýòè îáðàçû ïî áàçèñó ïðîñòðàíñòâà V , ïîëó÷èì
f (e 1 ) = α 11 e 1 + α 12 e 2 + . . . + α 1n e n ;
f (e 2 ) = α 21 e 1 + α 22 e 2 + . . . + α 2n e n ; (9.1)
. . .
f (e n ) = α n1 e 1 + α n2 e 2 + . . . + α nn e n .
Îïðåäåëåíèå 9.2.1. Ìàòðèöåé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ∈ L(V ) îòíî- ñèòåëüíî áàçèñà e
1 , e 2 , . . . , e n íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê
ìàòðèöå, ñîñòàâëåííîé èç êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîãî âûðàæåíèÿ îáðàçîâ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ÷åðåç ýòîò áàçèñ.
? ? ? ?
α 11 α 12 . . . α 1n α 11 α 21 . . . α n1
A f | e = ? ? ? ? α . . . 21 α . . . . . . . . . 22 . . . α 2n ? ? ? ? = ? ? ? ? α . . . 12 α . . . . . . . . . 22 . . . α n2 ? ? ? ? .
? ? ? ? ? ? ? ?
α n1 α n2 . . . α nn α 1n α 2n . . . α nn
Îïðåäåëåíèå 9.2.2. Ìàòðèöåé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ∈ L(V ) îòíîñè- òåëüíî áàçèñà e
1 , e 2 , . . . , e n íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ñòîëáöàìè êîòîðîé ÿâëÿ-
þòñÿ êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû âåêòîðîâ f(e 1 ), f (e 2 ), . . . , f (e n ) îòíîñèòåëü-
íî áàçèñà e, òî åñòü
A f | e = ( ? f (e 1 )| e , ? f (e 2 )| e , . . . , ? f (e n )| e ).
Îïðåäåëåíèå 9.2.3. Åñëè îáîçíà÷èòü
? ? ? ?
e 1 f (e 1 )
e = ? ? ? e 2 ? ? ? è f(e) = ? ? ? f (e 2 ) ? ? ? ,
? . . . ? ? . . . ?
? ? ? ? ? ? ? ?
e n f (e n )
òî ìàòðèöåé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f îòíîñèòåëüíî áàçèñà e íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà A
, îïðåäåëÿåìàÿ èç ðàâåíñòâà
f
f (e) = A e.
f
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.2.2. Ïðè ôèêñèðîâàííîì áàçèñå e ëèíåéíîãî ïðîñòðàí- ñòâà V , dim V = n, îòîáðàæåíèå σ : L(V ) → M(n, k), ñîïîñòàâëÿþùåå ëèíåéíîìó îïåðàòîðó f åãî ìàòðèöó îòíîñèòåëüíî áàçèñà e (f → A
),
f | e
ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì àëãåáðû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ L(V ) íà àëãåáðó êâàäðàòíûõ ìàòðèö n-ãî ïîðÿäêà M(n, k).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóòü e íåêîòîðûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V . Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå σ : L(V ) → M(n, k), σ(f) = A
, ãäå A ìàòðèöà ëèíåé-
f f
íîãî îïåðàòîðà f îòíîñèòåëüíî áàçèñà e. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. 1) Èíúåêòèâíîñòü σ.
Ïóñòü σ(f) = σ(g), ãäå f, g ∈ L(V ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî A f = A g ⇒
⇒ A = A ⇒ A e = A e ⇒ f (e) = g(e) . Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî îáðàçû
f g f g
áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà V ñîâïàäàþò. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 9.2.1 ñëåäóåò, ÷òî f = g. 2) Ñþðúåêòèâíîñòü σ.
Ïóñòü A ∈ M(n, k). Ïîñòðîèì n âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà V òàê, ÷òîáû
êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû ýòèõ âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî áàçèñà e ñîâïàäàëè ñî ñòîëáöàìè ìàòðèöû A. Òîãäà ïî òåîðåìå 9.2.1 ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îïåðàòîð f ∈ L(V ), ïåðåâîäÿùèé áàçèñ e â ïîñòðîåííûå íàìè âåêòîðû. Ïî ïîñòðîåíèþ áóäåì èìåòü f(e) = A e. Îòñþäà âèäíî, åñëè ñðàâíèâàòü ñ îïðåäåëåíèåì 9.2.3, ÷òî A = A
f . Òàêèì îáðàçîì, σ(f) = A f = A .
3) Ñîõðàíåíèå îïåðàöèé.
Ïóñòü f, g ∈ L(V ) è A f , A g ìàòðèöû ýòèõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ
îòíîñèòåëüíî áàçèñà e. Òîãäà f(e) = A e, g(e) = A e .
f g
Ðàññìîòðèì äåéñòâèå ñóììû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ f + g íà áàçèñíûå
âåêòîðû. Ñ îäíîé ñòîðîíû, (f + g)(e) = A e .
f +g
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, (f +g)(e) = f(e)+g(e) = A e+A e = (A +A )e =
f g f g
= (A f + A g ) e .
Îòñþäà, A f +g = (A f + A g ) ⇒ A f +g = A f + A g . Òàêèì îáðàçîì, ìàò-
ðèöà ñóììû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ðàâíà ñóììå ìàòðèö ýòèõ îïåðàòîðîâ. Ñëåäîâàòåëüíî
σ(f + g) = A f +g = A f + A g = σ(f ) + σ(g),
òî åñòü îòîáðàæåíèå σ ñîõðàíÿåò âíóòðåííåå ñëîæåíèå.
Ðàññìîòðèì äåéñòâèå ïðîèçâåäåíèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ fg íà áà-
çèñíûå âåêòîðû. Ñ îäíîé ñòîðîíû, (fg)(e) = A e .
f g
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, (fg)(e) = f(g(e)) = f(A e) = A f (e) =
g g
= A g (A f e) = (A g A f )e = (A f A g ) e .
Îòñþäà, A f g = (A f A g ) ⇒ A f g = A f A g , òî åñòü ìàòðèöà ïðîèçâåäå-
íèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ìàòðèö ýòèõ îïåðàòîðîâ. Ñëåäîâàòåëüíî
σ(f g) = A f g = A f A g = σ(f )σ(g),
òî åñòü îòîáðàæåíèå σ ñîõðàíÿåò âíóòðåííåå óìíîæåíèå.
Íàêîíåö, ñîâñåì ïðîñòî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî A αf = αA f ⇒ σ(αf ) =
= ασ(f ) , ãäå α ∈ k.
Ïðåäëîæåíèå 9.2.1. Êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö îáðàçà âåêòîðà ïðè äåé- ñòâèè ëèíåéíûì îïåðàòîðîì ðàâåí êîîðäèíàòíîìó ñòîëáöó ýòîãî âåê- òîðà, óìíîæåííîìó ñëåâà íà ìàòðèöó ýòîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, òî åñòü
f (a) = A ? f ? a.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, âåêòîð a = ?a e. Ñ îäíîé ñòîðîíû, f (a) =
f (a) e ? . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, f(a) = f(?a e) = ?a f(e) = ?a (A e) =
f
= (? a A f )e = (A f ? a) e . Èìååì, ? f (a) = (A f a) ⇒ ? f (a) = A ? f ? a .
Îïðåäåëåíèå 9.2.4. Ìàòðèöà B íàçûâàåòñÿ ïîäîáíîé ìàòðèöå A (B ∼ A
) íàä ïîëåì k, åñëè ñóùåñòâóåò íå îñîáåííàÿ ìàòðèöà Q ñ ýëåìåíòàìè
èç ïîëÿ k òàêàÿ, ÷òî
B = Q −1 AQ.
Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöà B ïîëó÷åíà òðàíñôîðìèðîâàíèåì ìàò-
ðèöû A ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Q, èëè ìàòðèöà B ïðåîáðàçîâàíà èç ìàò- ðèöû A ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Q.
Çàìå÷àíèå 9.2.1. Åñëè ìàòðèöû B è A ïîäîáíû, òî îíè äîëæíû áûòü êâàäðàòíûìè îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè.
Ïðåäëîæåíèå 9.2.2. Îòíîøåíèå ïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýê- âèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå M(n, k).
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ðåôëåêñèâíîñòü.
Èìååì A = E −1 AE , òîãäà A ∼ A, ðîëü ìàòðèöû Q èãðàåò åäèíè÷íàÿ
ìàòðèöà. 2) Ñèììåòðè÷íîñòü.
Ïóñòü B ∼ A. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (∃ Q, |Q| = 0) B = Q −1 AQ ⇒
⇒ QBQ −1 = Q(Q −1 AQ)Q −1 ⇒ QBQ −1 = A ⇒ A = (Q −1 ) −1 BQ −1 ⇒
⇒ A ∼ B , ðîëü ìàòðèöû Q èãðàåò Q −1 .
3) Òðàíçèòèâíîñòü.
Ïóñòü C ∼ B, B ∼ A, òîãäà (∃ R, |R| = 0) C = R −1 BR , è
(∃ Q, |Q| = 0) B = Q −1 AQ . Ñëåäîâàòåëüíî C = R −1 (Q −1 AQ)R =
= (QR) −1 A(QR) ⇒ C ∼ A , ðîëü ìàòðèöû Q èãðàåò QR.
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.2.3. Ìàòðèöû îäíîãî è òîãî æå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f â ðàçëè÷íûõ áàçèñàõ ïîäîáíû. Ïðè ýòîì ìàòðèöà A
ïîëó÷àåòñÿ èç
f | u
ìàòðèöû A òðàíñôîðìèðîâàíèåì ïðè ïîìîùè ìàòðèöû ïåðåõîäà îò
f | e
áàçèñà e ê áàçèñó u, òî åñòü
A = Q −1 A Q,
f | u f | e
ãäå Q ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e ê u.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü dim V = n, e è u äâà áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V
, f ∈ L(V ), A è A ìàòðèöû îïåðàòîðà f îòíîñèòåëüíî e è u
f | e f | u
ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà
f (e) = A e, f (u) = A u.
f | e f | u
Ïóñòü, íàêîíåö, Q ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e ê u, òî åñòü u = Q e. Ñ îäíîé ñòîðîíû, f(u) = f(Q e) = Q f(e) = Q (A
e) = (Q A )e =
f | e f | e
= (A f | e Q) e . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, f(u) = A f | u u = A f | u (Q e) =
= (A f | u Q )e = (QA f | u ) e . Òàêèì îáðàçîì, (A f | e Q) = (QA f | u ) ⇒
⇒ QA f | u = A f | e Q ⇒ A f | u = Q −1 A f | e Q .
Ñëåäñòâèå 9.2.3.1. Åñëè A ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f îòíîñè-
f
òåëüíî áàçèñà e è B ∼ A , òî ìàòðèöó B ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
f
ìàòðèöó ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî äðóãîãî áàçè- ñà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê B ∼ A , òî (∃ Q, |Q| =
f
= 0) B = Q −1 A f Q . Ðàññìîòðèì íîâûé áàçèñ u = Q e. Òàê êàê Q íå
îñîáåííàÿ ìàòðèöà, òî u áóäåò íîâûì áàçèñîì. Ïî òåîðåìå 9.2.3 èìååì A
f | u = Q −1 A f Q = B .
9.3 Ðàíã è äåôåêò ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
Ïóñòü V è V äâà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì k, ïóñòü f ∈ ∈ L(V, V )
.
Îïðåäåëåíèå 9.3.1. Îáðàçîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f (Im f) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî îáðàçîâ âñåõ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà V . ßäðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f (Ker f) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òåõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà V
, êîòîðûå ïðè îòîáðàæåíèè f ïåðåâîäÿòñÿ â íîëü ïðîñòðàíñòâà V .
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî
Im f = {f (a)| a ∈ V } , Ker f = {a ∈ V | f (a) = 0} .
9.3. Ðàíã è äåôåêò ëèíåéíîãî îïåðàòîðà 69
Ïðåäëîæåíèå 9.3.1. ßäðî è îáðàç ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ∈ L(V, V ) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè ïðîñòðàíñòâ V è V ñîîò- âåòñòâåííî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, (∀ α, β ∈ k, a, b ∈ Ker f) èìååì
f (αa + βb) = αf (a) + βf (b) = α · 0 + β · 0 = 0 ⇒ αa + βb ∈ Ker f.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Ker f ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàí- ñòâà V , ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ åãî ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì.
Ïóñòü a , b ∈ Imf. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (∃ a, b ∈ V ) f(a) = a , f(b) = b .
Òîãäà (∀ α, β ∈ k, a , b ∈ Im f) èìååì
αa + βb = αf (a) + βf (b) = f (αa + βb) ∈ Im f.
Îòñþäà Im f ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâà V , ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ åãî ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì.
Ïðåäëîæåíèå 9.3.2. Åñëè V êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî è f ∈ L(V, V ), òî ÿäðî è îáðàç ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ÿâëÿþòñÿ êî- íå÷íîìåðíûìè ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñàìîì äåëå, òàê êàê V êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðî- ñòðàíñòâî, òî è ëþáîå åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, â ÷àñòíîñòè Ker f, òàê æå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì.
Ïåðåéäåì ê îáðàçó Im f. Ïóñòü e 1 , e 2 , . . . , e n áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V .
n
Òîãäà V = α i e i α i ∈ k . Òîãäà
i=1
n
Im f = f (V ) = α i f (e i ) = L({f (e 1 ), . . . , f (e n )}).
i=1
Íî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà, ïîðîæäåííàÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì âåêòîðîâ, ÿâëÿ- åòñÿ êîíå÷íîìåðíîé è ïðè ýòîì
dim L({f (e 1 ), . . . , f (e n )}) = rang {f (e 1 ), . . . , f (e n )} .
Ñëåäîâàòåëüíî, Im f ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì ëèíåéíûì ïðîñòðàí- ñòâîì.
Îïðåäåëåíèå 9.3.2. Åñëè V êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî è f ∈ L(V, V ), òî ðàíãîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f r(f) íàçûâàåòñÿ ðàç- ìåðíîñòü åãî îáðàçà, à äåôåêòîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f d(f) íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü åãî ÿäðà.
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî r(f) = dim Im f, à d(f) =
= dim Ker f .
Ñëåäñòâèå. r(f) = r {f(e 1 ), . . . , f (e n )} .
Ñëåäñòâèå. Åñëè f ∈ L(V ), òî ðàíã ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ðàâåí ðàíãó ìàòðèöû ýòîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà îòíîñèòåëüíî ëþáîãî áàçèñà, òî åñòü r(f ) = r(A
f ) .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïî ïðåäûäóùåìó ñëåäñòâèþ èìååì r(f ) = r {f (e
1 ), . . . , f (e n )} . Ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíûé èçîìîðôèçì σ :
V → k n îòíîñèòåëüíî áàçèñà e. Òîãäà (∀ a ∈ V ) σ(a) = ?a| e . Ïðè èçî-
ìîðôèçìå ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ íå èçìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó
r {f (e 1 ), . . . , f (e n )} = r f (e ? 1 )| e , . . . , ? f (e n )| e = r A f | e .
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.3.1 (î ðàíãå è äåôåêòå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà). Åñëè V
êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, dim V = n, f ∈ L(V, V ),
òî ñóììà ðàíãà è äåôåêòà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ðàâíà ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà V , òî åñòü r(f) + d(f) = n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå d = d(f) = dim Ker f. Ïóñòü e
1 , e 2 , . . . , e d áàçèñ Ker f. Äîïîëíèì ýòîò áàçèñ äî áàçèñà ïðîñòðàí-
ñòâà V , ïîëó÷èì e 1 , e 2 , . . . , e d , e d+1 , . . . , e n áàçèñ V . Ïî ñëåäñòâèþ ê
ïðåäëîæåíèþ 9.3.2 èìååì
r(f ) = r {f (e 1 ), f (e 2 ), . . . , f (e d ), f (e d+1 ), . . . , f (e n )} = r {f (e d+1 ), . . . , f (e n )} .
9.4. Îáðàòèìîñòü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà 71
Ïîêàæåì, ÷òî âåêòîðû f(e d+1 ), . . . , f (e n ) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìû-
ìè. Ïóñòü
α d+1 f (e d+1 ) + . . . + α n f (e n ) = 0;
f (α d+1 e d+1 + . . . + α n e n ) = 0 ⇒ α d+1 e d+1 + . . . + α n e n ∈ Ker f.
Ðàçëîæèì ýòîò ýëåìåíò ïî áàçèñó Ker f. Èìååì
α d+1 e d+1 + . . . + α n e n = β 1 e 1 + . . . + β d e d ;
−β 1 e 1 − . . . − β d e d + α d+1 e d+1 + . . . + α n e n = 0.
Òàê êàê e 1 , e 2 , . . . , e n áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V , òî β 1 = . . . = β d = α d+1 =
= . . . = α n = 0 . Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû f(e d+1 ), . . . , f (e n ) ÿâëÿþòñÿ
ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè. Òîãäà r(f) = r {f(e d+1 ), . . . , f (e n )} = n − d ⇒
⇒ r(f ) + d(f ) = n − d + d = n .
9.4 Îáðàòèìîñòü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì k. Ðàññìîòðèì àëãåáðó L(V )
. Â ýòîé àëãåáðå åñòü åäèíèöà, ðîëü åäèíèöû âûïîëíÿåò òîæäå-
ñòâåííûé îïåðàòîð 1 V . Íàïîìíèì, ÷òî (∀ a ∈ V ) 1 V (a) = a .
Îïðåäåëåíèå 9.4.1. Ëèíåéíûé îïåðàòîð f ∈ L(V ) íàçûâàåòñÿ îáðà- òèìûì, åñëè îí îáðàòèì êàê ýëåìåíò ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîëóãðóïïû êîëüöà L(V ), òî åñòü (∃ f
−1 ∈ L(V )) f f −1 = f −1 f = 1 V .
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.4.1 (êðèòåðèé îáðàòèìîñòè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ëèíåéíûé îïåðàòîð f ∈ L(V ) áûë îáðàòèìûì íåîá- õîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îí êàê îòîáðàæåíèå áûë áèåêòèâíûì. Äðóãèìè ñëîâàìè, f îáðàòèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f èçî- ìîðôèçì èç V â V .
Ïóñòü f ∈ L(V ) ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì. Ïî îïðåäåëåíèþ 9.4.1 (∃ f −1 ∈
L(V )) f f −1 = f −1 f = 1 V . Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî f ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.
Ïóñòü f(a) = f(b). Ïðèìåíèì ê ýòîìó ðàâåíñòâó îòîáðàæåíèå f −1 , ïîëó-
÷èì f −1 (f (a)) = f −1 (f (b)) ⇒ (f −1 f )(a) = (f −1 f )(b) ⇒ 1 V (a) = 1 V (b) ⇒
⇒ a = b . Ïóñòü b ∈ V . Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî (∃ a ∈ V ) f(a) = b. Ïîñòðî-
èì ïî äàííîìó âåêòîðó b âåêòîð a = f −1 (b) . Òîãäà f(a) = f(f −1 (b)) =
= (f f −1 )(b) = 1 V (b) = b , òî åñòü f ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.
2) Äîñòàòî÷íîñòü.
Ïóñòü ∈ L(V ) è f ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Òîãäà (∃ f −1 : V → V ) f f −1 =
= f f −1 = 1 V . Ýòî îòîáðàæåíèå f −1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Íàäî
ïîêàçàòü, ÷òî f −1 ∈ L(V ) , òî åñòü f −1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëèíåé-
íîñòè. Ïóñòü a, b ∈ V , òîãäà (∃ a , b ∈ V ) f(a ) = a, f(b ) = b. Îòñþäà f
−1 (a) = a , f −1 (b) = b . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå α, β ∈ k, ñîñ÷èòàåì
f (αa + βb ) = αf (a ) + βf (b ) = αa + βb ⇒
⇒ f −1 (αa + βb) = αa + βb = αf −1 (a) + βf −1 (b).
Îòîáðàæåíèå f −1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëèíåéíîñòè, ñëåäîâàòåëüíî
f −1 ∈ L(V ) .
9.5 Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû è ëè-
íåéíîãî îïåðàòîðà
Ïóñòü k îñíîâíîå ïîëå è k[λ] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò íåèçâåñòíîãî λ.
Îïðåäåëåíèå 9.5.1. λ-ìàòðèöåé (ìíîãî÷ëåííîé ìàòðèöåé) íàä ïîëåì k
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû êîëüöà
k[λ] , òî åñòü ìíîãî÷ëåíû îò λ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ k.
λ -ìàòðèöû ìîæíî ñêëàäûâàòü, óìíîæàòü, óìíîæàòü íà ñêàëÿðû
ïî òåì æå ïðàâèëàì, ÷òî è ñêàëÿðíûå ìàòðèöû. Ïóñòü òåïåðü A = = (α
ij ), α ij ∈ k, i, j = 1, n . Òàêèå ìàòðèöû áóäåì íàçûâàòü ñêàëÿðíûìè.
Îïðåäåëåíèå 9.5.2. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ìàòðèöåé äëÿ êâàäðàòíîé ñêàëÿðíîé ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ λ-ìàòðèöà âèäà λE − A, òî åñòü
? ?
λ − α 11 −α 12 . . . −α 1n
λE − A = ? ? ? α 21 λ − α 22 . . . α 2n ? ? ? .
? . . . . . . . . . . . . ?
? ? ? ?
−α n1 −α n2 . . . λ − α nn
Îïðåäåëåíèå 9.5.3. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì äëÿ ñêàëÿðíîé ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëü, ïîðîæäåííûé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ìàòðèöåé äëÿ ìàòðèöû A.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
χ A (λ) = |λE − A| .
Îïðåäåëåíèå 9.5.4. Ñëåäîì êâàäðàòíîé ñêàëÿðíîé ìàòðèöû A (T r(A)) íàçûâàåòñÿ ñóììà ýëåìåíòîâ åå ãëàâíîé äèàãîíàëè. Íîðìîé ìàòðèöû A (N(A)) íàçûâàåòñÿ åå îïðåäåëèòåëü.
Ýòî îïðåäåëåíèå îçíà÷àåò, ÷òî
T r(A) = α 11 + α 22 + . . . + α nn , N (A) = |A|.
ßñíî, ÷òî T r(αA + βB) = αT r(A) + βT r(B); N(AB) = N(A) · N(B).
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.5.1 (î ñòðîåíèè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëå- íà). Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí äëÿ ñêàëÿðíîé ìàòðèöû A ÿâëÿ- åòñÿ íîðìèðîâàííûì ìíîãî÷ëåíîì îò λ ñòåïåíè n, èìåþùèì ñëåäóþ- ùèé âèä: χ
A (λ) = λ n − T r(A)λ n−1 + . . . + (−1) n N (A) .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì,
λ − α 11 −α 12 . . . −α 1n
χ A (λ) = α 21 λ − α 22 . . . α 2n =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−α n1 −α n2 . . . λ − α nn
(λ − α 11 )(λ − α 22 ) . . . (λ − α nn ) + åùå (n! − 1) ñëàãàåìûõ.
(∗)
 îñòàâøèõñÿ (n! − 1) ñëàãàåìûõ îòñóòñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå äâà
ýëåìåíòà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïîýòîìó îñòàâøèåñÿ ñëàãàåìûå ìîãóò äàòü ñòåïåíü ó λ íå âûøå, ÷åì n − 2. Ñëàãàåìûå ñ λ
n è ñ λ n−1 ïîëó÷àþòñÿ çà
ñ÷åò ïðîèçâåäåíèÿ (∗).  ïðîèçâåäåíèå (∗) λ n âõîäèò ñ êîýôôèöèåíòîì 1.
Êîýôôèöèåíò ïðè λ n−1 ðàâåí −α 11 −α 22 −. . .−α nn = −T r(A) . Ïîëó÷àåì
χ A (λ) = λ n − T r(A)λ n−1 + α n−2 λ n−2 + . . . + α 1 λ + α 0 , ãäå α 0 = χ A (0) =
= |0 · E − A| = | − A| = (−1) n |A| = (−1) n N (A) .
Îïðåäåëåíèå 9.5.5. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè êîðíÿìè (÷èñëàìè) ìàòðè- öû A íàçûâàþòñÿ âñå n êîðíåé åå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà, ëå- æàùèå, âîîáùå ãîâîðÿ, â àëãåáðàè÷åñêîì çàìûêàíèè îñíîâíîãî ïîëÿ k.
Çàìå÷àíèå 9.5.1.  ñàìîì îñíîâíîì ïîëå k ìîæåò âîîáùå íå áûòü õàðàê- òåðèñòè÷åñêèõ êîðíåé, èëè èõ ìîæåò áûòü ìåíüøå, ÷åì n.
Ïðèìåð: k = R,
1 −2
A = ;
1 −1
λ − 1 2
χ A (λ) = = λ 2 − 1 + 2 = λ 2 + 1.
−1 λ + 1
χ A (λ) = 0 ⇒ λ 2 + 1 = 0 ⇒ λ 1 = i, λ 2 = −i . Âèäíî, ÷òî λ 1 , λ 2 ∈ /
∈ R, λ / 1 , λ 2 ∈ R = C.  äàëüíåéøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êîðíè ìàòðèöû
A áóäåì îáîçíà÷àòü λ 1 , λ 2 , . . . , λ n .
Ñëåäñòâèå 9.5.1.1. Ñóììà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êîðíåé ìàòðèöû A ðàâíî åå ñëåäó, à ïðîèçâåäåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êîðíåé ðàâíî åå íîðìå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî âûòåêàåò èç òåîðåìû 9.5.1 è òåîðåìû Âèåòà. Äåé- ñòâèòåëüíî,
λ 1 + λ 2 + . . . + λ + n = −(−T r(A)) = T r(A),
λ 1 , λ 2 , . . . , λ n = (−1) n · (−1) n · N (A) = N (A).
Ñëåäñòâèå 9.5.1.2. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A íå îñîáåííàÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà îòëè÷íû îò íóëÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, |A| = 0 ⇔ N(A) = 0 ⇔ λ 1 · λ 2 · . . . · λ n =
0 ⇔ (∀ 1 i n) λ i = 0 .
Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä k è f ∈ L(V ).
Ïóñòü ˜e áàçèñ V è A ìàòðèöà f îòíîñèòåëüíî áàçèñà ˜e. Òàê êàê
f | e ˜
ýòà ìàòðèöà çàâèñèò îò áàçèñà, òî ïîíÿòèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ìàòðèöû äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íå ââîäèòñÿ.
Ïðåäëîæåíèå 9.5.1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû ïîäîáíûõ ìàò- ðèö ðàâíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B ∼ A, òî åñòü (∃ Q, |Q| = 0) B = Q −1 AQ .
Ðàññìîòðèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû B. χ B (λ) = |λE −
− B| = |λE − Q −1 AQ| = |Q −1 (λE)Q − Q −1 AQ| = |Q −1 (λE − A)Q| =
= |Q −1 ||λE − A||Q| = |λE − A| = χ A (λ) .
Ñëåäñòâèå. Ñëåäû è íîðìû ïîäîáíûõ ìàòðèö ðàâíû.
Ñëåäñòâèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðà- òîðà íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ñòðîèëàñü ìàò- ðèöà îïåðàòîðà, à çàâèñèò òîëüêî îò ñàìîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
Îïðåäåëåíèå 9.5.6. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ëèíåéíîãî îïå- ðàòîðà íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû ýòîãî ëèíåé- íîãî îïåðàòîðà îòíîñèòåëüíî ëþáîãî áàçèñà.
Îáîçíà÷èì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ÷å-
Îïðåäåëåíèå 9.5.7. Ñëåäîì T r(f) è íîðìîé N(f) ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f
íàçûâàåòñÿ ñëåä è íîðìà ìàòðèöû ýòîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà îòíîñè-
òåëüíî ëþáîãî áàçèñà.
Îïðåäåëåíèå 9.5.8. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèìèì êîðíÿìè ëèíåéíîãî îïåðà- òîðà íàçûâàþòñÿ âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ýòîãî ëè- íåéíîãî îïåðàòîðà, ëåæàùèå, â îáùåì ñëó÷àå, â àëãåáðàè÷åñêîì çàìûêà- íèè îñíîâíîãî ïîëÿ.
9.6 Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
ëèíåéíîãî îïåðàòîðà è ìàòðèöû
Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì k, f ∈ L(V ). Ïóñòü V ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà V .  îáùåì ñëó÷àå f(V ) ⊂ V , íî ìîæåò áûòü òàê, ÷òî f(V ) ⊂ V .
Îïðåäåëåíèå 9.6.1. Ïîäïðîñòðàíñòâî V ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V íà- çûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f ∈ L(V ), åñëè f(V ) ⊂ V , òî åñòü ëþáîé âåêòîð èç ïîäïðîñòðàíñòâà V ïåðåõîäèò â âåêòîð òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà.
Çàéìåìñÿ èçó÷åíèåì îäíîìåðíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.
Ïóñòü V îäíîìåðíîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Âîçüìåì ëþáîé âåêòîð a ∈ V , a = 0. Òàê êàê dim V = 1, òî âåêòîð a ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå áàçèñà V è òîãäà V = {αa|α ∈ k}. f(a) áóäåò ïðèíàäëåæàòü V
, òàê êàê V èíâàðèàíòíî. Òîãäà f(a) = αa, a = 0, α ∈ k.
Îáðàòíî, ïóñòü V îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî è a = 0, a ∈
V , f (a) = αa , ãäå α ∈ k. Òàê êàê V îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, òî a
ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå áàçèñà V . Ïîýòîìó V = {βa|β ∈ k}. Ñîñ÷èòàåì f (βa) = βf (a) = β(αa) = (βα)a ∈ V
. Òàêèì îáðàçîì f(V ) ⊂ V , òî åñòü
V èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Òàêèì îáðàçîì èçó÷åíèå îäíîìåð-
íûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ïðèâîäèò íàñ ê èçó÷åíèþ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ a ∈ V , äëÿ êîòîðûõ f(a) = αa, ãäå α ∈ k.
Îïðåäåëåíèå 9.6.2. Ñêàëÿð α íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ëè- íåéíîãî îïåðàòîðà f ∈ L(V ), åñëè ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð a ∈ V òàêîé, ÷òî f(a) = αa.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîð a íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f, ïðèíàäëåæàùèì ñêàëÿðó α.
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî α è a åñòü ïðèíàäëåæàùèå äðóã äðóãó
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è ñîáñòâåííûé âåêòîð ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f.
Îïðåäåëåíèå 9.6.3. Ãîâîðÿò, ÷òî ñêàëÿð α è íåíóëåâîé ñòîëáåö X = 0 èç k
n åñòü ïðèíàäëåæàùèå äðóã äðóãó ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è ñîáñòâåí-
íûé âåêòîð ìàòðèöû A ∈ M(n, k), åñëè AX = αX.
Ïðåäëîæåíèå 9.6.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñêàëÿð α è âåêòîð a ∈ V áûëè ïðèíàäëåæàùèìè äðóã äðóãó ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà f êîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàí- ñòâà V íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû α è êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö ?
a îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî áàçèñà áûëè ïðèíàäëåæàùèìè äðóã äðóãó
ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A ýòîãî
f
ëèíåéíîãî îïåðàòîðà îòíîñèòåëüíî òîãî æå áàçèñà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü f(a) = αa, ãäå a = 0 è α ∈ k, òîãäà f(a) = αa ⇔ ?
f (a) = ? αa ⇔ A f ? a = α? a . Ïðè÷åì ?a = 0 ⇔ a = 0.
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.6.1 (êðèòåðèé ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñêàëÿð α áûë ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A (ëèíåéíîãî îïåðàòîðà êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû α áûë õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîðíåì ìàòðèöû A (ëèíåéíîãî îïå- ðàòîðà), ëåæàùèì â îñíîâíîì ïîëå.
Ïóñòü α ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A, ýòî îçíà÷àåò,
÷òî
AX = αX, (9.2)
ãäå X = 0 è X ∈ k n . Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (9.2):
αEX − AX = 0,
(αE − A)X = 0. (9.3)
Íà ðàâåíñòâî (9.3) ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà îäíîðîäíóþ ñèñòåìó n- ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè. Ýòà ñèñòåìà çàïèñàíà â ìàò- ðè÷íîì âèäå. Âèäíî, ÷òî íåíóëåâûì ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ñòîëáåö X ∈ k
n , X = 0 . Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ èç êðèòåðèÿ íàëè÷èÿ íåíó-
ëåâîãî ðåøåíèÿ ÎÑËÓ ñëåäóåò, ÷òî îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (9.3) äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ, òî åñòü |αE − A| = 0. Òàêèì îáðàçîì χ
A (α) = 0 , ñëå-
äîâàòåëüíî α ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîðíåì ìàòðèöû A è α ∈ k. 2) Äîñòàòî÷íîñòü.
Ïóñòü α ∈ k è α ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîðíåì ìàòðèöû A.
Òîãäà χ A (α) = 0 , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |αE−A| = 0. Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ
ñèñòåìó n-ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè (9.3)
(αE − α)X = 0,
ãäå X ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ. Ïî ñëåäñòâèþ èç êðèòåðèÿ íàëè÷èÿ íåíó- ëåâîãî ðåøåíèÿ ÎÑËÓ ñëåäóåò, ÷òî ýòà ñèñòåìà (9.3) èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå X = 0. Ýòî íåíóëåâîå ðåøåíèå X ∈ k
n , òàê êàê ýëåìåíòû ìàò-
ðèöû (αE − A) ïðèíàäëåæàò ïîëþ k. Ïîäñòàâèâ ýòî íåíóëåâîå ðåøåíèå â ñèñòåìó (9.3) ïîëó÷èì òîæäåñòâî. Áóäåì èìåòü αEX − AX = 0, òî åñòü AX = αX, ãäå X = 0 è X ∈ k
n . Ïî îïðåäåëåíèþ 9.6.2 âèäíî, ÷òî α
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A.
Ñëåäñòâèå 9.6.1.1. Åñëè îñíîâíîå ïîëå k àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî, òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A ñîâïàäàþò ñ åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè êîðíÿìè.