Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС
I. Преобразование иррациональных выражений.
Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.
1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.
а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .
б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или ). В этом случае применяются формулы
,
.
Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Решение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)
.
Отметим еще одно свойство:
которое часто применяется в преобразованиях.
Пример 2. Упростить выражение:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а) , т.к. .
б) , т.к. .
в)
.
Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0.
1) Если n<-1, то
2) Если -1£n<0, то
3) Если 0<n<1, то
4) Если n³1, то
Ответ:
II. Иррациональные уравнения.
Рассмотрим уравнение вида .
Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.
Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду .
Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.
Пример 3. Решить уравнения:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение:
а) Û;
Проверка.
Þ х=-4 – посторонний корень,
– верно Þ х=2 – корень.
Ответ: х=2.
б)
Проверка.
– это выражение не существует, т.е.
– посторонний корень,
– верно Þ – корень.
Ответ: .
в)
Введем вспомогательную переменную Þ x2=t2–13
t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,
t1=7; t2=-5.
Сделаем обратную замену:
Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6,
– не имеет решений.
Ответ: х=±6.
г)
Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид:
ÛÛ
ÞÛÛÛ.
Проверка показывает, что – корень.
Ответ: .
III. Решение иррациональных неравенств.
При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.
Поэтому неравенство эквивалентно системам
или
Неравенство равносильно системе
Пример 4. Решить неравенства:
а) б)
в) г)
Решение.
а) ÛÛ
Решим третье неравенство системы методом интервалов:
x2-5x-14>0
x2-5x-14=0
(x-7)(x+2)>0
Найдем пересечение решений трех неравенств:
Ответ: -18£x<-2.
б)
если х-1£0, то неравенство верно, то есть х£1;
если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:
ÛÛ x>1.
Объединяем два решения, получим х – любое.
Ответ: х – любое.
в)
ÛÛÛ
ÛÛ
Ответ: х³1.
г)
или
Û х³3
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).
М11.9.1. Упростить:
1) 2) 3)
4) , если , m>0, 0<n<1.
М11.9.2. Решить уравнения
;
;
;
.
М11.9.3. Решить неравенства:
;
;
;
.
Другие работы по теме:
Уравнения регрессии
Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
Применение графиков в решении уравнений
Основная часть: Применение графиков в решении уравнений. I)Графическое решение квадратного уравнения: Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Иррациональные уравнения и неравенства
МОУ СОШ «УК №20» Иррациональные уравнения и неравенства реферат по алгебре ученика 11 «В» класса Торосяна Левона Руководитель: Олейникова Р. М. Сочи 2002г.
Шпаргалка по математике
Формулы сокр. умножения и разложения на множители : (ab)=a2ab+b (ab)=a3ab+3abb a-b=(a+b)(a-b) ab=(ab)(a∓ab+b), (a+b)=a+b+3ab(a+b) (a-b)=a-b-3ab(a-b)
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения
Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания в электрических проводах. Электрический ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
Иррациональные уравнения
Определение иррациональных уравнений. Опреднление иррациональных чисел. Методы решения иррациональных уравнений.
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Область определения функции
Федеральное агентство по образованию Среднего профессионального образования «Профессиональный лицей №15» Кафедра: Станочник (металлообработка)
Область определения функции
Применение метода интервалов для решения неравенств. Формула перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному. Формула решения тригонометрического уравнения. Нахождение множества всех первообразных функции f(x) на области определения.
ГИА алгебра 2009 кодификатор
Государственная (итоговая) аттестация выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2009 г. (в новой форме) по АЛГЕБРЕ Кодификатор элементов содержания по алгебре
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор КЭС
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения в 2012 году
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения