Введение
Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.
Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.
1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
x’ = f ( t , x )
(1)
с начальными условиями x ( t0 ) = x0 (2)
где x = ( x1, x2, ... , xn ) - n - мерный вектор; t I = [t0, + [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;
f ( t, x ) = ( f1 ( t , x ) , f2 ( t , x ) , ... , fn ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.
Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t0 ) = x0. С целью упрощения все рисунки п. 10 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.
x
0 t
Рис.1
Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1 (рис.1) Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t0 , x0 ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t0 , x0 ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t0 , x0 ) приводят к существенному изменению решения x ( t ; t0 , x0 ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t0 , x0 ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.
Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) , вызванное отклонением x0 начального значения x0 , будем записывать следующим образом:
| x ( t ; t0 , x0 + x0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t0 , x0 + x0 ) - x ( t ; t0 , x0 ) |.
Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x0 на интервале I = = [ t0, + [ , т.е. > 0 > 0 такое, что x0
| x0 | | x ( t ; t0 , x0 + x0 ) - x ( t ) | t t0.
Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t + для достаточно малых x0 , т.е. > 0 x0.
|
x0 | | x ( t ; t0 , x0 + x0 ) - x ( t ) | 0 , t + . (3)
то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t0 , x0 + x0 ) , близкие в начальный момент t0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах - трубки ) , не выходят за пределы - трубки при всех значениях t t0 .
x
0 t
Рис.2
) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x1 ( t ) , начинающееся в момент t0 в - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x2 ( t ), начинающееся при t = t0 за пределами области притяжения, но в пределах - трубки, не покидает - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t). Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.
Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы - трубки (рис.3).
Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.
Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.
x
0 t
Рис.3 Рис.4
Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему
y’ = F ( t, y ). (4)
где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) 0 t t0.
Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) 0 системы (4).
В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 t t0, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) 0 системы (1).
Определение 3. Нулевое решение x ( t ) 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если > 0 = ( ) > 0 такое, что x0
| x0 | | x ( t ; t0 , x0 ) | t t0.
Если кроме того,
> 0 x0 | x0 | | x ( t ; t0 , x0 ) | 0 , t + ,
то решение x ( t ) 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .
Определение 4. Нулевое решение x ( t ) 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.
> 0 t1 > t0 > 0 x0 0 | x0 | | x ( t ; t0 , x0 ) | > .
Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.
x
t
0
Рис.5
x
t
0
Рис.6
x
t
0
Рис.7
2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.
Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :
dx / dt = f ( x ). (5)
Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая , которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1 , ... , xn ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x1 = x1 ( t ), ... , xn = xn ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами ( t , x1 , x2 , ... , xn ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rn+1 - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.
x2 x2
0 t 0 x1
x1
а) Рис.8 б)
О
пределение 5. Точка ( a1, a2 , ... , an ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1 , f2 , ... , fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где a = ( a1 , a2 , ... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) . Е
сли ( a1 , ... , an ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.
Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.
Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями - трубки и - трубки являются окружности с радиусами и . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах - окружности, не покидают - окружность t t0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой - окружности и всех > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид
dx / dt = A x, (6)
где A - постоянная матрица размера n n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.
x2
0 x1
Рис.9
x2
0 x1
Рис.10
x2
0 x1
Рис.11
3. Простейшие типы точек покоя.
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
dx / dt = P ( x , y ),
(A)
dy / dt = Q ( x , y ).
Точка ( x0 , y0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0 , y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0.
Рассмотрим систему
dx / dt = a11 x + a12 y,
(7)
dy / dt = a21 x + a22 y.
где aij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде
x = 1 e k t , y = 2 e k t . (8)
Для определения k получаем характеристическое уравнение
a11 - k a12
= 0. (9)
a21 a22 - k
Рассмотрим возможные случаи.
I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :
1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).
4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.
5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
II. Корни характеристического уравнения комплексные : k1 = p + q i, k2 = p - q i. Подслучаи :
1) p < 0 , q 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).
2) p > 0 , q 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).
3) p = 0, q 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.
III. Корни кратные: k1 = k2 . Подслучаи :
1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dxi n
= ai j xj ( i = 1 , 2 , ... , n ) (10)
dt i=1
х
арактеристическим уравнением будет
a11 - k a12 a13 ... a1n
a21 a22 - k a23 ... a2n = 0. (11)
. . . . . . . .
an1 an2 an3 ... ann - k
1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t ) 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.
2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi ( t ) 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.
3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя xi ( t ) 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.
Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами
.
x = a11 x + a12 y,
. (12)
y = a21 x + a22 y
характеристическое уравнение (9) приводится к виду
k2 + a1 k + a2 = 0.
1) Если a1 > 0 , a2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.
2) Если а1 > 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2 > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a1 = a2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D ( ) = n + a1 n-1 + a2 n-2 + ... + an = 0. (13)
Зная его корни 1 , 2 , ... , n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D ( ) = ( - 1 ) ( - 2 ) ... ( - n ). (14)
Im Im
0 Re 0 Re
а) б)
Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней и i ;
б - для четырех корней 1 , ‘1 , 2 , ‘2
Графически каждый комплексный корень можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( - i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что = j ; тогда определяющей является точка на мнимой оси (рис.12,б). При изменении от - до + векторы j - 1 и j - ‘1 комплексных корней и ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + , а векторы j - 2 и j - ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - . Таким образом, приращение аргумента arg( j - i ) для корня характеристического уравнения i , находящегося в левой полуплоскости, составит + , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - . Приращение результирующего аргумента arg D( j ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
arg D( j ) = ( n - m ) - m = ( n - 2m ) . (15)
- < < для левой для правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j ) = ( j )n + a1 ( j )n-1 + a2 ( j )n-2 + ... + an (16)
содержит лишь четные степени , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому
arg D ( j ) = - arg D ( -j ), (17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале от 0 до . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена
arg D( j ) = ( n - 2m ) / 2 . (18)
0 <
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента
arg D( j ) = n / 2 . (19)
0 <
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).
j V’ j V’
0 U’ 0 U’
а) б)
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.