ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Исследование колебаний механической системы
с одной степенью свободы»
по разделу «Динамика»
Кафедра теоретической механики
Рецензия
На курсовую работу
Студента __Кисова Ивана____________
(фамилия, имя, отчество)
Группы _121142__________________
Вариант № ___ количество страниц
Курсовая работа по содержанию соотве-
тствует / не соответствует выданному
заданию и выполнена в полном / не в
полном объеме.
КР может быть допущена к защите с
добавлениембаллов рецензента
после успешной защиты.
Рецензент_______ /_____________
(Ф.И.О.)
«____»_____________200 г.
ТУЛА 200
Оглавление
Аннотация
Содержание задания
1. Применение основных теорем динамики механической системы
Постановка второй основной задачи динамики
Определение закона движения системы
Определение реакций внешних и внутренних связей
Построение алгоритма вычислений
Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода
Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Анализ результатов
Список использованной литературы
Аннотация
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F(t) = F0 * sin(pt).
Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тnp,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей
Содержание задания
Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).
Исходные данные:
M1, М2,М3 - массы тел механической системы.
с - жесткость упругого элемента.
г2 - радиус блока 2.
R3, Гз -радиусы ступеней катка 3.
i2 - радиус инерции блока 3.
µ - коэффициент сопротивления.
Fo — амплитуда возмущающей силы
m1= 3mm2= mm3= m m4= 2m
r2=r R2=3rr3=rr4=2r
i2=2r Xo=6 см Xo= 0 см/c
m= 1кг r= 0.1 м p = 3.14 F 0 = 50 Н F(t)= F 0 sin(pt) c= 4000 Н/м μ=100Н*с/м
R= - μV
Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Постановка второй основной задачи динамики
Рис. 1 Расчётная схема
На рис. 1 обозначено:
P
1,P2,P3 - силы тяжести, N1, N2 - нормальная реакция опорной плоскости,
Fупр - упругая реакция пружины,
Fсц - сила сцепления с опорой,
Y2,X2, - реакции подшипника блока 2,
R = - µ*V сила вязкого сопротивления,
F(t)- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:
dT
d
t= ∑Nek + ∑Nik (1-1)
г
де Т- кинетическая энергия системы,
∑Nek - сумма мощностей внешних сил,
∑Nik -сумма мощностей внутренних сил.
Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:
T= T1+T2+T3.(1.2)
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
T1= 1/2 m1*υ21(1.3)
где Vl - скорость груза 1.
Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия
T2=1/2*m2* υ22+1/2*Jc2 ω 22(1.4)
где
Jn2 = m2*i22: - момент инерции относительно центральной оси блока;
ω2- угловая скорость блока.
Блок 3 совершает вращательное движение,
T3=1/2*Jc3 ω 23 где jc3=1/2 m3*r23 (1.5)
Каток 4 совершает плоскопараллельное движение
T =1/2*m4 *vc42 +1/2*Jc4 * ω 42 где Jc4 = Ѕ*m4 *r4 2
Кинетическая энергия всего механизма будет равна:
T=1/2m1υ12+ 1/2m2 *vc22 +1/2*Jc2 ω 22 + 1/2*Jc3 ω 23 + 1/2*m4 *vc42 + 1/2*Jc4 *ω 42 (1.6)
Выразим υn3.,ω2,ω3 через скорость груза 1
vc2 = υ1=υ=S; => ω 3= (R2 + r2)*v/R 3*V3 vc4 =ω 4* r 4 = (R2 + r2)*v/2R2 (1.7)
ω 2 =v/r 2
Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося 1/2 и V2 за скобки, получаем:T= 1/2(m +m + Jc2 т пр /R2 2 + Jc3 * (R2 - r 2 ) 2 / R2 * r 2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + Jc4(R2 - r 2 ) 2 /4r22 R2 2 )* υ2
T=1/2m трv3 2(1-8)
т пр =m +m2 +m3 1/ R2 2 + 1/2m3 (R2 - r 2 ) 2 / R2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22
т пр=8, 21кг(1-9)
Найдем производную от кинетической энергии по времени:
dT/dt= т пр – S*S(1.10)
вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:
N = FV = Fvcos(F, v);(1-11)
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
∑N’=0(1.12)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N4, ,Y3,X3,P3,Fвд. Сумма мощностей внешних сил:
N=F*V+pV-RV+p2V2-Fупр*V4
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
(1-13) N= F(t)*V1 +p1 V1 -RV1 + p2V1 -Fупр V1 * R2 +r2 /2R2 ,
N =( F(t) +p1 – R +p2 - Fупр R2 +r2 /2R2)V1 , или
N= Fпр * V
Где Fnp приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. которое равно сумме статического ѓст и динамического S4 удлинений
Fупр=с(ѓст + S4 ) (1-15)
Сила вязкого сопротивления R =μ V = μ S тогда
Fпр = F(t)+p1 – μ*S+ p 2 – c(ѓст + R2 +r2 /2R2 * S) R2 +r2 /2R2 , (1-16)
В состоянии покоя приведенная сила равна нулю.
Пологая в (1-16) , что S=’S=0 и F(t)= 0 получаем условие равновесия
Fпр = p + p2 = c *ѓст= R2 +r2 /2R2 =0, (1-17)
Отсюда статистическое удлинение пружины равно:
- c *ѓст R2 +r2 /2R2 = -p1- p ;
ѓст R2 +r2 /2R2 =(p 1 + p 2 )/c => ѓст =(p 1 + p 2 )/c* 2R2 / R2 +r2
ѓст =1/c (p 1 + p2) * 2R 2/R2 +r2 ; (1-18)
Подставляем выражение (1-18) в, (1-16) получаем окончательное выражение для приведенной силы .
ѓпр = F(t) + p1 +p2 - μS – c* R2 +r2 /2R 2 *1/c (p 1 + p2)* *2R 2/R2 +r2- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S
ѓпр = F(t) - μS- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S; (1-19)
Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1-19) в (1-1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы ;
mпр =S=- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S- μS+ F0 sin(pt) (1-20)
S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt) ; (1-21)
Где k циклическая частота свободных колебаний ;
n = μ/2* mпр =100/2*8.21= 6.1с -1 ;
n – показатель степени затухания колебаний ;
k= R2 +r2 /2R2 c/mпр =
1.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.26). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
F = F0-Sm{pt),(2.1)
Где Fo - амплитуда возмущающей силы,
р - циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.26) складывается из общего решения однородного уравнения S и частного решения неоднородного: S=Sод+S . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.26) имеет вид:
S + 2*n*S + kz*S = 0;.(2.2)
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
L2+2*n*L + k2! =0,
L 1.2 = -n +- n 2 -k 2 ;
т.к n <k ,=> решение однородного уравнение имеет вид :
S ос =a * e *sin (k 1 *t +β ), где k 1 = k 2 -n 2 ; частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:
k 1 =18,31с -1 ;
Sт= A* sin (pt) + B*cos(pt); далее получаем:
(A(k2 - p2 )- 2npB)*sin(pt) + (2 npA +B(k2 - p2 ) )cos(pt)= F0 /mпр *sin(pt);
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева , получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
A(k2 - p2 )- 2npB = F0 /mпр решая эту систему получаем следующие выражения
2npА + В(k2 - p2 )= 0
A= k2 - p2 / (k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; А= 0.011м;
B= - 2np/(k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; B= -0.002м;
Общее решение дифференциального уравнения :
S= αe –nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe –nt (-nsin(k 1 t+β) +k 1 cos(k 1 t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
Постоянные интегрирования α и β определяем из начальных условий
S 0 = α sin(β) + B ;
t =0 имеем
S 0 = α(- nsin (β) + k 1 cos (β)) + Ap
решая эту систему получаем :
α= (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1/k 2 1 α= 0.045;
β= arctg k 1 (S 0 –B) 2 / S 0 +n(S 0 - B)- Ap β=1.2;
1
.3. Определение реакций внешних и внутренних связей
Рис.2
Рис. 2
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 2).
Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетической момента и теорема об изменения количества движения.
Тело№1 αm1 V1 /dt= p1 + T12 S +F+R; на ось s : m1S 1=p1+F-R-T12 ;
Тело№2 αm2 V2 /dt= p2+ T21 +T20+ T23; на ось s : m2S =p2+ T21 -T20 -T23
т.к V2 = V1=V=S=>dV1/dt= dV2/dt;dl2z =∑M2 z
dJc2ω/dt= T20 R- T23 r 2 ;
Тело№3 dl 3z /dt=∑M 3z => dJc3ω 3/dt= T32 r 3 – T34r 3 ;
Αm3 V3/dt=x 3 +y3+p3+T34+T12
на ось 0x3 :0=x3 +T34 ; на ось 0y3 : 0=y3 - p3 - T32 ;
Тело№4 αm4V4 /dt=T 43 +P 4 +N 4 +F cy +F упр ;
на ось 0x4 : m 4 S 4 =T 43 -F упр +F sy
с учетом кинематических соотношений (1-7) полученную систему уравнений преобразуем к виду:
m 1 S= p 1 +F – R-T 12 ; 0 = N 4 - p 4 ; x 3 = T 34 R
m 2 S= p 2 +T 21 - T 20 -T 23 ; y 3 =p 3 +T 34 ‘
J c2 1/R 2 S = T 20 R 2 - T 23 r 2 ; J c4 m 4 R 2 +r 2 /2R 2 r 4 * S=T 43 *
J c3 R 2 +r 2 /R 2 r 3 S= T 32 r 3 - T 34 r 3 ; *r 4 - F cy r 4 R
m 4 R 2 +r 2 /2R 2 * S= T 43 - F упр +F cy ;
Решая эту систему получаем выражение для определения реакций связей:
T 12 = m g + F 0 sin (pt) – μS – mS x2 = T43
T 20 = R 2 r 2 ( p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S/ R 2 (R 2 +r 2 ); y3= p2 + T 32
T 23 = R2 2 (p2 + T21 - m2 S) + Jc2 S / R 2 (R 2 +r 2 );
T 43 = T 32 - V c3 /V 3 * (R 2 + r 2 )/ R2 r2 * S
F c = T 32 - (R 2 -r 2 )/ R2 r4 * ( JC3 r 4 / r 2 r 3 + Jc4 /2r 4);
Часть 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ
2,1 Исходные данные m1 , m2, m3 , m4 , r 2 , R 2, r 3 , r 4 , i2 ,μ , F0 , p , S0 , S0 , g ,c.
2,2 Вычисление констант
n = μ/2* mпр; k 1 = k 2 - n 2 ;
ѓст =1/c (p 1 + p2) * 2R 2/R2 +r2 ;
A= k2 - p2 / (k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ;
B= - 2np/(k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ;
α= (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1/k 2 1 ;
β= arctg k 1 (S 0 –B) 2 / S 0 +n(S 0 - B)- Ap ;
2,3 Задание начального времени t=0
2,4 Вычисление значений функций в момент времени t
S= αe –nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe –nt (-nsin(k 1 t+β) +k 1 cos(k 1 t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt) ;
Fупр=с(ѓст + S4 );
2,5 Вычисление реакций связей
T 12 = m g + F 0 sin (pt) – μS – mS x2 = T43
T 20 = R 2 r 2 ( p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S/ R 2 (R 2 +r 2 ); y3= p2 + T 32
T 23 = R2 2 (p2 + T21 - m2 S) + Jc2 S / R 2 (R 2 +r 2 );
T 43 = T 32 - V c3 /V 3 * (R 2 + r 2 )/ R2 r2 * S
F c = T 32 - (R 2 -r 2 )/ R2 r4 * ( JC3 r 4 / r 2 r 3 + Jc4 /2r 4);
2,6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t
2,7 определение значения времени на следующем шаге t = t + ∆t
2.8 Проверка условия окончания цикла t ≤ tкон
2,9 Возврат к пункту 2,4
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера - Лагранжа:
(1)∑σAk + ∑ σA 0k =0;
где
∑ σAk = ∑F k σ rk- сумма элементарных работ всех активных сил навозможном перемещении системы;
- сумма элементарных работ всех сил инерции на
(=1*■=!
возможном перемещении системы.
Рис.3
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N4, X3, Y3, Fcu не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.
Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
∑ σA 0k = Aσ+ σAp + σAp1 +σAp2 + σAp4 + σAFупр ;
Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем:
(2) ∑ σA 0k = - F пр σS , ∑- σA 0k = ( - c (R 2 + r 2 ) 2 / 4R22 * S – μS + F(t)) *σS;
Найдем возможную работу сил инерции:
∑ σA 0k = -φ1 σS1 – φσS2 - M2 σ φ2 – M3 σφ3 – φ4σS4 - M4 φ4σ ;
Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции
φ1= m1 a =m1 S; φ4= m4 a 4 = m4 S4; M 4 = J c4 *E 4 = J c4 * φ4;
φ2= m2 a 2 = m2 S 2; M 2 = J c2 *E 2 = J c2 * φ2 ;
φ3=0 ; M 3= J c3 *E 3 = J c3 * φ3 ;
Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать
σS2 = σ S; σ φ2 = 1/R 2 σ S ; σ φ3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * σS;
σ φ4 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * σS; σS4 = R 2 + r 2 / 2R 2* σS;
S4 = R 2 + r 2 / 2R 2* S
S2 =S ; φ2 = 1/R2 *S; φ3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * S;
φ3 = R 2 + r 2 / 2R 2 r 3 *S;
Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :
∑ σA 0k= -( m1 +m2 + J c21/R 22 + (R 2 + r 2 )2 / R 22 r 3 2 + m4 ( R2+ r 2 )2 / 4R 22
+ J c4(R 2 + r 2 )2 / 4R 22 r 3 2 ) * S σ S;
(3) ∑ σA 0k = - mпр * S σ S;
далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т.е в общее уравнение динамики получаем
Поделив это уравнение на σS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19 , 3 c -1
n = μ / 2 mпр = 6.1 c -1
Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением
3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Составим теперь уравнение Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:
d/dt * σ T/ σS - σ T/ σ S (3.3)
где Т — кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; S - обобщенная координата; S - обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:
(3.4) T=1/2m трv3 2
т пр =m +m2 +m3 1/ R2 2 + 1/2m3 (R2 - r 2 ) 2 / R2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22
Производные от кинетической энергии:
(3.5) σ T/ σS= 0; σ T/ σS = т пр S ; d/dt * σ T/ σS= т пр S;
Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение σ S (рис.3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см.(2)].
(3.6) ∑ σA 0k = - F пр σS , ∑- σA 0k = ( - c (R 2 + r 2 ) 2 / 4R22 * S – μS + F(t)) *σS;
С другой стороны для системы с одной степенью свободы:
∑ σA 0k =Q σ S ( 3.7)
Сравнивая два последних соотношения, получаем:
Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S – μ*S + F(t).
Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.8) в уравнение Лагранжа(3.3), получаем;
Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S – μ*S + F0m(pt) ,
S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19 , 3 c -1
n = μ / 2 mпр = 6.1 c -1
Анализ результатов
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тнр,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.
Использованная литература
1. Методические указания к курсовой работе по разделу "Динамика", "Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы". Разработали: профессор Нечаев Л.М., доцент Усманов М.А. Тула 1998.
2. Яблонский А.А. "Курс теоретической механики." Том 2 - М.: Высшая школа
1984-424 с.
3. Тарг СМ. "Краткий курс теоретической механики" — М.: Наука, 1988 — 482 с.22