С.П. Вовк
Представим процесс обучения в виде последовательности моментов управления tj , j=1,N. Моделирование взаимодействия "педагог-студент" в момент контроля знаний по j порции учебного материала в условиях несовпадающих многокритериальных оценок предлагается провести с использованием аппарата четких и нечетких игр. При представления ситуации обучения в виде игровой ситуации предлагается следующий алгоритм поиска оптимальных ( или эффективных) тактик.
1. Представить схему взаимодействия "педагог-студент" в виде дерева позиционной игры.
2. Выявить множества тактик педагога A1 и студента A2 .
3. Произвести оценку исходов партий на универсальной шкале результатов обучения iUN. Исходы оцениваются по степени достижения локальной цели обучения. Для представителей одного класса локальная цель представляется в виде некоторого диапазона рейтинг-чисел
4. Перейти к п.5 при возможности однозначной оценки исходов всех партий. Перейти к п.7. в случае неоднозначности оценки некоторых исходов, т.е. исходов, оцененных преподавателем в виде нечеткого интервала [1,2].
5.Определяются ожидаемые выигрыши игроков /1/
,
где Gi (a1,a2) - ожидаемый выигрыш при стратегии преподавателя a1 A1, стратеги студента a2 A2 и случайном ходе h. p(h) определяются в ходе педагогического эксперимента.
6. Представить схему взаимодействия в виде матричной формы игры /1/
Г=( A1,A2,G1,G2).
Поиск оптимальных решений осуществить с использованием традиционных методов решения матричных игр: при наличии "седловой точки" в матрице G существует решение в чистых стратегиях, при ее отсутствии - решение в смешанных стратегиях. Перейти к п.45.
7. Представить различную результативность достижения цели при использовании в позиционном дереве уровней сложности заданий ( “малая”, ”средняя”, ”высокая”) в виде соответствующих исходов 0,6 , 0,8 , 1 на шкале оценок уровня сложности заданий, т.е. в виде нечетких чисел .
8. Произвести перевод исходов, представленных педагогом-экспертом в виде нечетких интервалов [1,2], и нечетких чисел на единую шкалу оценки результата UN. Аппроксимировать нечеткие интервалы [1, 2]UN и нечеткие числа UN с помощью S-образных функций принадлежности на единой шкале оценки результата UN .
9. Представить на единой шкале результата итервалы [1,2]сjUN, соответствующие промежуточным целям для представителей классов.
10. Произвести аппроксимацию с помощью S-образных функций принадлежности cj.
11. Определить степени уверенности преподавателя в том, что истинным состоянием студента является cj, j=1,m, определив возможность его классификации каждым из существующих классов C={c1,...,cm} с помощью степени разделения нечетких множеств и cj. Описание свойства, что результат есть [1,2]сjUN описать уравнением назначения возможности Пm = [1,2]сjUN . Определить по реальному результату студента ,описываемому функцией принадлежности , меру возможности Пm с помощью соотношения /5/
Пcj()=POSS(m есть m есть cj)=sup( cj). UN
12. Упорядочить состояния, в которых может находиться студент, по убыванию их вероятностей p(c1) ... p(cm). Оценить степень истинности утверждения =“состояния C упорядочены по убыванию вероятности” /3/ как Т()=1.
13. Определить полезности u( =0,6), u( =0,8), u( =1) на шкале результата , соответствующей уровню сложности задания , путем экспертного опроса преподавателя.
14. Выбрать дерево позиционной игры, описывающее взаимодействие “педагог-студент” для обучаемого класса c1 .
15. Определить полезности uf для af A1. Тактика af представляет последовательность заданий различных уровней сложности во время каждой из k попыток общения со студентом af =1,...,3 , где k - k -ый ход преподавателя.
16. Построить функцию полезности результата U() на универсальной шкале UN как нижнюю границу на множестве полезностей тактик
{uf} 
17. Построить зависимость функции полезности результата для каждого из возможных состояний студента cjC, j=1,m. Для этого m раз выполнить п.15-16 для позиционных деревьев, описывающих взаимодействие педагог со студентом соответствующего класса.
18. Определить на на парах "действие-состояние” позиционного дерева, с помощью которого производится моделирование взаимодействия между педагогом и студеном при контроле знаний по j порции учебного материала, , предпочтения педагога /3/ ufj =u(af,cj) относительно тактик af A при условии, что истинным состоянием обучаемого является принадлежность к классу cj , используя ранее определенную зависимость функции полезности.
19. Произвести анализ тактик преподавателя с помощью отношения четкого доминирования по полезности. Если все тактики можно упорядочить с помощью четкого доминирования по полезности перейти к п.44. Если среди тактик существует хотя бы одна af четко доминирующая над остальными, то принять Д (ag,af)=0 agA1 и перейти к п.29. Если отношение четкого доминирования по полезности не позволяет упорядочить тактики, перейти к п.20.
20. Задать нечеткие оценки полезности ufj и ugj в виде нечетких чисел с соответствующими функциями полезности 
для пары сравниваемых тактик (af,ag) af,agA1 .
21. Определить нечеткие числа, описывающие полезности, в виде 
.
22. Оценить истинность утверждения j’=<WfjWgj> с помощью пересечения нечетких множеств /3/
23. Определить степень доминирования af над ag /3/ как
24. Оценить истинность утверждения j”=< WgjWfj> с помощью пересечения нечетких множеств /3/
25. Определить степень доминирования 
26. Оценить истинность утверждения /3/
27. Определить степень доминирования /3/ Д (af,ag)=min{T(),T()}.
28. Произвести попарный анализ тактик преподавателя, выполнив п. 20-23.
29. Построить нечеткое множество недоминируемых тактик преподавателя AНД1 с функцией принадлежности принадлежности /3/ НД (af)= 1 - max Д (ag,af), af A1 agA1
30. Построить нечеткое множество недоминируемых тактик студента AНД2 , для чего выполнить п.11-29 алгоритма на множестве тактик студента A2, рассматривая в качестве возможных состояний природы наборы заданий njN, которые им предлагает для выполнения преподаватель. Т.е. задача анализа тактик задается отображением a: N.
31. Определить нечеткость исхода /2/ на A1A2={((a1,a2),1(a1)2(a2))}, a1A1, a2 A2 , где нечеткость стратегии iAi[0,1] задается с помощью отношения строгого доминирования и описывается функцией принадлежности НД1 (af) и НД2(af).
32. Построить матрицу CL1, задающую степень важности критерия l L1. для студента класса c. Матрица строится на основе данных, полученных при опросе педагогов-экспертов.
33. Построить матрицу L1A1 , задающее степень соответствия критерия l тактике a.
34. Построить матрицу Q1, отражающую агрегированные предпочтения преподавателя относительно тактики a для студента с, элементы которой описываются с помощью функции принадлежности /4/
.
35. Определить порог разделения зон тактик преподавателя /4/, построив попарное пересечение агрегированных предпочтений для тактик ai,ajA1
h1min max min{qi(c,ai),qj(c,aj)}
ij c
36. С помощью текстового опроса выявляется множество критериев L2, которые учитывает студент класса с при выборе тактики взаимодействия с преподавателем.
37. Построить матрицу NL2, отражающую предпочтения студента класса с относительно тактики аA2 , если студенту предложено задание n, на основе результатов текстового опроса студентов разных классов cC о сложности и содержании заданий nN, которые бы они выбрали в реально складывающейся ситуации обучения.
38. Построить матрицу L2A2, отражающую степени соответствия критериев, принимаемых во внимание при ПР, с тактиками взаимодействия с конкретным преподавателем на основе результатов опроса.
39. Построить матрицу Q2, отражающую агрегированные предпочтения студента относительно выбора тактики aA2 при выдаче преподавателем задания n, элементы которой описываются с помощью функции принадлежности
.
40. Определить порог разделения зон тактик студента, построив попарное пересечение агрегированных предпочтений для тактик ai,ajA2
h2min max min{qi(n,ai),qj(n,aj)}
ij n
41. Построить на нечетком множестве исходов = A1A2={( a1,a2),1(a1)2(a2))}, a1A1, a2 A2 четкое отношения уровня Rhi={(a1,a2)A1A2R(a1,a2)hi }с характеристической функцией Rhi=1, если R(a1,a2)hi , и Rhi =0, если R(a1,a2)<hi .
42. Найти равновесное решение игры /2/ как Rh1Rh2.
43. Пары
{(a1,a2)A1A2R(a1,a2)=1 }являютя оптимальными тактиками соответственно преподавателя и студента.
44.Определить ожидаемые полезности /3/ оптимальных тактик 
45. Конец
Алгоритм предлагается использовать для определения оптимальных или эффективных тактик преподавателя в реально складывающихся ситуациях обучения, в которых у преподавателя при принятии решения о выборе наиболее подходящего педагогического воздействия возникает проблема мнгокритериального оценивания результата обучения. За счет выбора для обучения “лучшего” сценария предлагаемая технология позволяет произвести моделирование процесса взаимодействия “педагог-студент” для конкретного студента с учетом предыстории его обучения и личностных особенностей. Для моделирования взаимодействия в конкретной игровой ситуации предлагается использовать аппарат четких и нечетких игр в зависимости от ограниченности информации, требующейся преподавателю для принятия решения .
Список литературы
Дж.Нейман, О.Моргенштерн Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970. - 707с.
R.K.Ragade Fuzzy games in the analysis of options. - Journal of Cybernetics, 1976, v.6, h.213-214.
Обработка нечеткой информации в системах принятия решений/ А.Н.Борисов, А.В.Алексеев, Г.В.Меркурьева и др. - М.: Радио и связь, 1989. - 304с.
Й.Леунг Разделение на торговые зоны в нечетких условиях/Теория возможностей и ее применение -М.:Наука,1991г.
Э.Санчес, Ж.Гуверне, Р.Бартолен, Л.Вован Лингвистический подход к нечеткой логике воз-классификации диспротеинемии / Теория возможностей и ее применение. М: Наука, 1992.