Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта
Соиск. Дзарахохов А.В.
Кафедра математики.
Горский государственный аграрный университет
Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.
Рассмотрим уравнение
(1)
в области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых соответственно и характеристиками
уравнения (1) в полуплоскости y<0, λ(y) – заданная непрерывная функция.
Пусть – параболическая, - гиперболическая области Ω, - интервал прямой y=0.
ЗАДАЧА 1. Найти в областях Ω1, Ω2 решение
уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям
, (2)
, (3)
где - непрерывные, а - дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем
. (4)
Решение задачи Коши для уравнения (1), y<0, в области Ω2 имеет вид [1]:
, (5)
где .
Удовлетворяя (5) заданному условию (3), получим
. (6)
В равенстве (6) сделаем замену
.
В результате получим
.
Заменяя в последнем равенстве x через , получаем:
. (7)
Из равенства (7) находим
, (8)
где .
Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно , получаем [2]:
. (9)
Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем:
. (10)
Рассмотрим
.
Произведя замену переменных в последнем равенстве, получим
. На основании равенства [3]
будем иметь
. (11)
Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между и , привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0:
. (12)
При m = 0 оно принимает вид:
. (13)
Устремляя из Ω1, получаем функциональное соотношение между и , привносимое на линию y = 0 в виде:
. (14)
В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14) и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче
, (15)
. (16)
Решение (15), (16) представим в виде:
, (17)
где обозначено
.
Отсюда полагая x=x0, в силу условия (14) однозначно найдем . Затем подставляя это значение в (17) полностью определяем .
После определения в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и . Нетрудно убедиться, что решение этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению
, (18)
где
– функция Грина указанной выше смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Отсюда, полагая в (18) x = x0, для функции получаем интегральное уравнение
(19)
с ядром
и правой частью .
Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и оно безусловно разрешимо в пространстве .
ЗАДАЧА 2. Требуется найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме второго условия из (2) и (4), вместо которых берут условия:
, (20)
. (21)
Для решения задачи 2, поступая как выше, с учетом условия (21) функцию однозначно определим решением уравнения (15), удовлетворяющим условиям
.
Пользуясь функцией Грина второй краевой задачи для уравнения теплопроводности, убеждаемся, что решение задачи 2 в области Ω1 удовлетворяет уравнению
, (22)
где .
Отсюда полагая в (22) x = x0 и учитывая условие (20), получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно и :
(23)
,
,
,
.
В силу свойства функции Грина и ядер системы (23), нетрудно убедиться, что система уравнений (23) допускает единственное решение в пространстве [4].
Пусть теперь m > 0. Исключая из системы уравнений (12) и (15), получаем интегродифференциальное уравнение относительно :
, (24)
удовлетворяющее граничному условию
(25)
в случае задачи 1 и нелокальному условию
(26)
в случае задачи 2.
Интегрируя равенство (24) дважды от 0 до x, с учетом граничных условий (25), (26), получаем:
(27)
Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (27):
. (28)
Учитывая равенство (28) в (27), получаем:
(29)
где
. (30)
Преобразуем двойные интегралы в равенстве (30). В результате получим
,
.
Учитывая J3 и J4 в равенстве (30), окончательно будем иметь:
Откуда заключаем, что . Таким образом, относительно получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода:
, (31)
4 Труды молодых ученых № 3, 2007 |
|
где
.
Так как , то обращая (31) через резольвенту R(x, t), будем иметь
, (31)
где
Полагая в равенстве (31) х=х0 и х=1, однозначно определим
,
, если выполнены условия
.
После определения функции в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и , которая на основании свойств функции Грина эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области Ω2 решение задачи 2 задается формулой (5).
Список литературы
Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1959.
Трикоми Ф.О. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: ОГИЗ, 1947.
Мюнтц Г. Интегральные уравнения //Л.-Н.ГТТИ. 1934. Т1.
Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Украинский мат. журнал. Киев, 1995. Т.47, №12.
Другие работы по теме:
Уравнения регрессии
Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
Анализ дифференциальных уравнений
Лекция: Содержание 2.1 Равноускоренное движение 5 2.2 Геометрические задачи 5 3.1 Уравнения с разделяющимися переменными 7 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y (n) F (x, y, y', y’’,.y (n)) = 0.
Уравнения смешанного типа
Исследование задачи Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области методами спектрального анализа. Обоснование корректности постановки нелокальных начально-граничных задач различных вырождающихся дифференциальных уравнений.
Метод Гаусса
Методические рекомендации по выполнению заданий методом гауса. Примеры выполнения заданий.
Эрмитовы операторы
Рассмотрение понятия тождественного (единичного) оператора. Анализ методов решения линейных однородного и неоднородного уравнений. Ознакомление с определением эрмитовости оператора. Доказательство теоремы о свойствах ортогональности собственных функций.
Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения
Бабаев Х. Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения. РЕФЕРАТ В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.
Геометрические свойства кривых второго порядка
Цель курсовой работы Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения
Кривые и поверхности второго порядка
Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
Новое уравнение теплопроводности
Известно, что обычное уравнение теплопроводности перестает адекватно описывать явление теплопередачи в достаточно малых системах. Причина проста: это уравнение базируется на диффузионном механизме распространения носителей температуры.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания в электрических проводах. Электрический ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
Геометрические свойства кривых второго порядка
Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
Теория вероятностей
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
Анализ дифференциальных уравнений
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
Интегралы. Функции переменных
Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа
Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение: l - комплексный параметр, в области D, ограниченный при кривой с концами в точках B (1, 0) и K (0, 1/4), лежащей в первом квадранте, отрезком AK оси OY, где A=(0, 0), и характеристиками AC (
Японцы в США
Введение 1 Поколения 2 Язык 3 История Японцы в США Введение Японцы в США (яп. 日系アメリカ人 Никкэй амэрикадзин?) — американцы японского происхождения. Среди азиатского населения страны занимают шестое место по численности. Население — примерно 1 204 тыс. чел. включая населения смешанного этнического типа.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений Maple. Произвольные константы решения дифференциального уравнения второго порядка, представленном рядом Тейлора. Значения опции method при численном решении.
Метки. Оператор GOTO. Процедура Halt
С.А. Григорьев Операторы в Паскале могут быть помечены. Метки - это идентификаторы, или целые числа от 0 до 9999, они могут записываться перед любым выполняемым оператором и отделяются от него двоеточием. Оператор может иметь любое количество меток. Все метки, использованные в программе, должны быть описаны в разделе описаний с ключевым словом LABEL.