Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, (1)

в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а - неизвестная функция y(x) и ее первые n производные.

Число называется порядком уравнения.

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

- уравнения без начальных условий

- уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями - это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором удовлетворяет следующим условиям:

,

т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.

Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x1 можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y"(x0) можно выразить через производную функции f(x,y), однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y1=y0 + h [β f(x0,y0) + α f(x0 + γh, y0 + δh)], (3)

где α, β, γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h:

y1=y0 +( α+ β) h f(x0,y0) + αh2[γ fx(x0, y0) + δ fy(x0, y0)],

и выберем параметры α, β, γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, αγ=0,5, α δ =0,5 f(x0,y0).

С помощью этих уравнений выразим β, γ и δ через параметры α, получим

y1=y0 +h[(1 - α) f(x0,y0) + α f(x0+, y0+f(x0, y0)], (4)

0 < α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x0,y0) в (4) подставить (x1,y1), получим формулу для вычисления y2 – приближенного значения искомой функции в точке x2.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [x0,X] на n частей, т.е. с переменным шагом

x0, x1, …,xn; hi = xi+1 – xi, xn = X. (5)

Параметры α выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:

yi+1=yi +hi f(xi +, yi+f(xi, yi)), (6.1)

i = 0, 1,…, n-1.

и α =0,5:

yi+1=yi + [f(xi , yi) + f(xi+ hi, yi+ hi f(xi , yi))], (6.2)

i = 0, 1,…, n-1.

Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:

yi+1=yi +(k1+ 2k2+ 2k3+ k4),

k1=f(xi, yi), k2= f(xi +, yi+k1), (7)

k3= f(xi +, yi+k2), k4= f(xi +h, yi+hk3).

Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y(x; h) – приближенное значение решения в точке x, полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h, а p – порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R(h) значения y(x; h) можно оценить, используя приближенное значение y(x; 2h) решения в точке x, полученное с шагом 2h:

(8)

где p=2 для формул (6.1) и (6.2) и p=4 для (7).

Уточненное решение пишем в виде

. (9)

В алгоритмах с автоматическим выбором шага предварительно задают погрешность в виде положительного параметра ε, и на каждом этапе вычисления следующего значения yi+1 подбирают такой шаг h, при котором выполняется неравенство

, (10)

Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m дифференциальных уравнений первого порядка с m неизвестными функциями

x (x0, X), (11)

y1(x0)=y1,0, y2(x0)=y2,0,…, ym(x0)=ym,0 . (12)

Приведем для задачи (11), (12) расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требуется найти систему m функций y1(x), y2(x),…, ym(x), удовлетворяющих в интервале (x0, X) дифференциальным уравнениям (11), а в точке x0 – начальным условиям (12). Предположим, что отрезок [x0, X] разбит на N частей:

xi= x0+ i hi,

Тогда каждую l-ю функцию yl(x) можно приближенно вычислять в точках xi+1 по формулам Рунге-Кутта

Kl,1=fl(xi, y1,i, y2,i,…,ym,i), i=1, 2, …, m,

Kl,2=fl(xi + , y1,i + K1,1, y2,i + K2,1,…,ym,i + Km,1), i=1, 2, …, m,

Kl,3=fl(xi + , y1,i + K1,2, y2,i + K2,2,…,ym,i + Km,2), i=1, 2, …, m, (13)

Kl,4=fl(xi + h, y1,i + hK1,3, y2,i + hK2,3,…,ym,i + hKm,3), i=1, 2, …, m,

Yl,i+1 = yl,i +( Kl,1 + 2 Kl,2 + 2 Kl,3 + Kl,4), i=1, 2, …, m,

Здесь через yl,i обозначается приближенное значение функции yl(x) в точке xi .

Обратите внимание на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты Kl,i в следующем порядке:

K1,1, K2,1,…, Km,1,

K1,2, K2,2,…, Km,2,

K1,3, K2,3,…, Km,3,

K1,4, K2,4,…, Km,4,

и лишь затем приближенные значения функций y1,i+1, y2,i+1,…, ym,i+1.

Задачи Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка

y(n)=f(x, y, y', …, y(n-1)), x (x0, X), (14)

y(x0)=y0, y'(x0)=y1,0, …, y(n-1)(x0)=yn-1,0 (15)

сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных

z0= y, z1= y',…, zn-1= y(n-1). (16)

Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений

(17)

Начальные условия (15) для функций zl переписываются в виде

z0(x0)= y0, z1(x0)= y1,0,…, zn-1(x0)= yп-1,0. (18)

Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:

zl,i+1= zl,i +(Kl,1+ 2Kl,2+ 2Kl,3+ Kl,4), (19)

i=0, 1, …, N, l=0, 1, …, n-1.

Для вычисления коэффициентов Kl,1, Kl,2, Kl,3 и Kl,4 имеем следующие формулы:

K0,1=z1,i,

K1,1=z2,i,

…………

Kn-1,1= f(xi, z0,i, z1,i,…, zn-1,i,),

K0,2= z1,i+ K1,1,

K1,2= z2,i+ K2,1,

…………………

Kn-1,2= f(xi+ , z0,i+ K0,1, z1,i+ K1,1,…, zn-1,i+ Kn-1,1),

K0,3= z1,i+ K1,2,

K1,3= z2,i+ K2,2,

……………………

Kn-1,3= f(xi+ , z0,i+ K0,2, z1,i+ K1,2,…, zn-1,i+ Kn-1,2),

K0,4= z1,i+ hK1,3,

K1,4= z2,i+ hK2,3,

……………………

Kn-1,4= f(xi+ h, z0,i+ hK0,2, z1,i+ hK1,2,…, zn-1,i+ hKn-1,2).

Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.

Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)

3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.

Задача №1. Решить задачу Коши на отрезке [x0,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.

Варианты заданий в табл.1.

Табл.1.

Задача №2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения сведением к задачи Коши для системы уравнений первого порядка.

Табл.2.

Задача №3.

Найти методом Рунге-Кутта с точностью ε = 10-8 решение задачи Коши y'(x)=2x(1+y2), y(0)=0 в точке x=1.

(Точным решением является функция y(x)=tg(x2))

Задача №4.

Решить методом Эйлера на отрезке [1, 2] задачу Коши

y'(x)= , y(1)=0.

(Точным решением данной задачи является функция y(x)=tg(ln).

Контрольные вопросы:

Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?

Какие методы решения задач для дифференциальных уравнений вы знаете?

В каком случае решение дифференциального уравнения единственно?

Рассказать правило Рунге для оценки погрешности.