Магнитогорский государственный технический университет
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Подготовил: Григоренко М.В.
Студент группы ФГК-98
Магнитогорск –1999
Ведение
Для решения были предложены следующие уравнения:
x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx
При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция ((x) = x3 – 4x – 2 и (x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.
Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (– ; ).
Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.
Способ хорд Теоретическая часть
Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения функции (x1) и (x2) разных знаков. Так как функция (x) непрерывна на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2.
Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = (x), соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1;(x1)) и B(x2; (x2)), в каноническом виде:
;
Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1:
Чтобы получить более точное значение корня, определяем (а1). Если на данном отрезке мы имеем (x1)<0, (x2)>0 и (a1)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если (x1)>0, (x2)<0 и (a1)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1;a1]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2, а3 и т.д.
Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0
(x) = x3 – 4x – 2,
(x) = 3x2 – 4,
производная меняет знак в точках
(x) + – +
(x) х
функция (x) монотонно возрастает при x(–;] и при х[;), и монотонно убывает при x[;].
Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.
Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение (х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:
(–2)= –2,
(–1)= 1,
(0)= –2,
(1)= –5,
(2)= –2,
(3)= 13.
Таким образом, корни находятся в интервалах
(–2;–1), (–1;0), (2;3).
Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:
Д
a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000
a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000
a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000
a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000
a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000
a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000
a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000
a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000
ля (–2;–1): Для (–1;0):
a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000
a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333
a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000
a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653
a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394
a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195
a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423
a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488
a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506
a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511
a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513
для (2;3)
a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000
a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000
a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000
a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000
a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000
a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000
a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000
a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000
a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000
a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000
Приближенным значением корня уравнения на отрезке
(–2;–1) является x = –1,6751
Другие работы по теме:
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов Оценка параметров уравнения А0 , А1, А2 осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.
Решение нелинейных уравнений с одной переменной
Раздел 2. Численные методы Тема 1. Постановка задачи При решении ряда задач физики, механики и техники возникает необходимость решения уравнений с одной переменной. В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде: F(x)=0, где функция F(x) определена и непрерывна на промежутке {a, b}. Корнем уравнения F(x)=0, является такое число c из области определения функции y=F(x), для которого справедливо равенство F(c)=0.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Вычисление корней нелинейного уравнения
Нахождение нулей функции графическим методом. Вычисление корней уравнения при помощи вычислительных блоков Givel и Root. Поиск экстремумов функции. Разложение функции в степенной ряд.
Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Решение нелинейных уравнений
Задание №1 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них: методом половинного деления; методом хорд; методом касательных; методом секущих;
Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
Системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения , где - алгебраическая или трансцендентная функция. Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).
Численные методы
Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач. Два вида погрешностей, возникающих при решении задач. Нахождение нулей функции. Метод половинного деления. Метод хорд.
Численные методы 5
ЛЕКЦИЯ №1 Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач. Погрешности, возникающие при решении задач, бывают двух видов:
Решение нелинейных уравнений
ЧИСЛЕННОЕ . 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом
Расчетно-графическая работа
§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические
Метод касательных (метод Ньютона)
Содержание Содержание 1 Используемая литература 1 Метод Ньютона (касательных). 2 Описание 2 Блок-схема алгоритма 3 Листинг программы 4 Результаты работы программы 6
Решение нелинейных уравнений
Сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений. Метод половинного деления. Геометрический смысл метода Ньютона. Метод простой итерации.
Решение прикладных задач численными методами
Математическое описание численных методов решения уравнения, построение графика функции. Cтруктурная схема алгоритма с использованием метода дихотомии. Использование численных методов решения дифференциальных уравнений, составление листинга программы.
Решение прикладных задач методом дихотомии
Численные методы решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Составление логической схемы алгоритма, таблицы индентификаторов и программы нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом Ньютона. Ввод программы в компьютер.
Метод половинного деления 2
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6 2. ВЫБОР И ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ 7 2.1. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ 7 2.2. МЕТОД ХОРД 10 2.3. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ) 13