П
усть
в двойном интеграле
(1)
при
обычных предположениях
мы желаем перейти
к полярным
координатам
r и
f,
полагая
x
= r cos , y
= r sin . (2)
Область
интегрирования
S
разобьем на
элементарные
ячейки Si
с помощью
координатных
линий r
= ri
(окружности)
и
= i
(лучи) (рис.1).
Введем
обозначения:
rj
= rj+1
- rj,
i
= i+1
- i
Так
как окружность
перпендикулярна
(ортогональна)
радиусам, то
внутренние
ячейки Si
с точностью
до бесконечно
малых высшего
порядка
малости
относительно
их площади
можно рассматривать
как прямоугольники
с измерениями
rji
и rj;
поэтому
площадь каждой
такой ячейки
будет равна:
Si
= rj i
rj (3)
Что
касается ячеек
Sij
неправильной
формы, примыкающих
к границе Г
области интегрирования
S,
то эти ячейки
не повлияют
на значение
двойного интеграла
и мы их будем
игнорировать.
В качестве
точки Mij
Sij
для простоты
выберем вершину
ячейки Sij
с полярными
координатами
rj
и i.
Тогда декартовые
координаты
точки Mij
равны:
xij
= rj
cos i, yij
= rj
sin i.
И
следовательно,
f(xij,yij)
= f(rj
cos i,
rj
sin i) (3')
Двойной
интеграл (1)
представляет
собой предел
двумерной
интегральной
суммы, причем
можно показать,
что на значение
этого предела
не влияют добавки
к слагаемым
интегральной
суммы, являющиеся
бесконечно
малыми высшего
порядка малости,
поэтому учитывая
формулы (3) и (3'),
п
олучаем:
(4)
где
d -
максимальный
диаметр ячеек
Sij
и сумма распространена
на все ячейки
указанного
выше вида, целиком
содержащиеся
в области S.
С другой стороны,
величины i
и rj
суть числа и
их можно рассматривать
как прямоугольные
декартовые
координаты
некоторых
точек плоскости
Or.
Таким образом,
сумма (4) является
интегральной
суммой для
функции
f(r
cos,
r sin)r,
с
оответствующая
прямоугольной
сетке с линейными
элементами
i
и ri.
Следовательно
(5)
С
равнивая
формулы (4) и (5),
получим окончательно
(6)
Выражение
dS
= r d
dr
называется
двумерным
элементом
площади в полярных
координатах.
Итак, чтобы
в двойном интеграле
(1) перейти к
полярным
координатам,
достаточно
координаты
x
и
y
заменить
по формулам
(2), а вместо элемента
площади dS
подставить
выражение (7).
Д
ля
вычисления
двойного интеграла
(6) его нужно
заменить повторным.
Пусть область
интегрирования
S
определяется
неравенствами
Где
r1(),
r1()
- однозначные
непрерывные
функции на
отрезке [,].
(рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,)
= rf(r cos,
r sin)
Пример
1.
П
ереходя
к полярным
координатам
и r, вычислить
двойной интеграл
Где
S -
первая четверть
круга радиуса
R=1,
с центром в
точке О(0,0) (рис
3).
Так
как
т
о
применяя формулу
(6),
п
олучим
Область
S определена
Неравенствами
П
оэтому
на основании
формулы (8) имеем
Пример
2.
В
интеграле
(9)
перейти
к полярным
координатам.
Область
интегрирования
здесь есть
треугольник
S, ограниченный
прямыми y=0,
y=x, x=1 (рис
4).
В полярных
координатах
уравнения
этих
прямых записываются
следующим
образом: =0,
=/4,
r cos=1
и,
следовательно,
область S
определяется
неравенствами
О
тсюда
на основании
формул
(6) и(8),
учитывая, что
и
меем
Краснодарский
Колледж Электронного
Приборостроения
РЕФЕРАТ
Выполнил
студент
группы 60-5ЭВТ
Немцев Михаил
Краснодар
1998г.
Другие работы по теме:
Механика сплошной среды
Закон распределения компонент тензора истинных напряжений в эйлеровых координатах. Закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии. Расчет главного момента поверхностных и массовых сил. Поле ускорений в эйлеровых координатах.
Механика сплошной среды
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности Материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент t объем пространства V, выражается интегралом
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Математический обзор
Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
Полярные сияния
Полярные сияния чаще всего наблюдаются в двух неправильной формы зонах, окружающих северный и южный магнитные полюсы Земли и простирающихся на широтах 60-70°.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Нахождение площади живого сечения траншеи
1. Формулировка проблемы. Сечение траншеи имеет форму близкую к сегменту параболы, ширина траншеи на её поверхности l метров наибольшая глубина H метров . найти площадь «живого сечения» траншеи , если она полностью заполнена водой.
Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Билеты по математическому анализу
Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
Кратные интегралы
Министерство образования и науки Российской Федерации Курсовая работа По дисциплине: Высшая математика (Основы линейного программирования) На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Криволинейный интеграл первого и второго рода
Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.