Вычисление обратной матрицы

Рефераты по математике » Вычисление обратной матрицы

.
Рассмотрим квадратную матрицу

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

АВ= ВА=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная к А, обозначается через А-1, так что В= А-1. Для матрицы А обратная ей матрица А-1определяется однозначно.

Справедливы следующие равенства:

(А-1)=(А)-1;

(А-1)-1=А;

(А1А2)-1=А2-1А1-1;

(АТ)-1=(А-1)Т.

Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:

Предположим, что А0. Построим следующую матрицу С следующим образом:

где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.

Чтобы получить матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на А, т.е. матрица А-1будет иметь следующий вид:

Пусть матрица А, имеет следующий вид:

Чтобы найти матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо:

вычислить определитель матрицы (А= -3);

найти алгебраические дополнения элементов аij в определителе матрицы А:

составить присоединённую матрицу С по формуле (2);

разделить все элементы матрицы С на А.

Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excel найдём обратную матрицу А-1 (по формуле (3)) для матрицы А.

Включите компьютер.

Подождите пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно Microsoft Word.

Вставьте объект Microsoft Equation 3.0.

Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:

запишите алгебраическое дополнение А12., используя шаблон нижних индексов;

вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;

занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12-А44 (см. рис. 8.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel.

Откройте окно MicrosoftExcel.

Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel(см. рис. 8.2).

Рис. 8.1 Рис. 8.2

Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒх, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:

активизируйте ячейку D9;

выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒх в стандартной панели задач;

в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;

выделите область A6C8;

Рис. 8.3

ыполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК (рис. 8.3).

Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11= -45, А12= 20, А13=1, А14=-17, А21=63, А22= -31, А23=1, А24=25, А31= -6, А32=3, А33=3,33Е-16, А34= -3, А41=12, А42= -5, А43= -1, А44=5.

Как вы видите, значение дополнения А33 записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:

активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;

на экране компьютера появится контекстное меню;

выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);

Рис. 8.5

Рис. 8.4

после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);

Рис. 8.6

выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК. После чего алгебраическое дополнение А33=0 см. рис. 8.6

Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.

Найдём в Excel матрицу А-1, обратную для А. Для этого:

заполните ячейки А22D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).

Рис. 8.7 Рис. 8.8

активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28D28; А29А31 и В29D31 (рис. 8.8).

Выделите область А28D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).

Рис. 8.9 Рис. 8.10

Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:

выделите область F28I31;

воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒх (категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);

на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.

Задания для самостоятельной работы.

1)	2	2	-1	1		1	-0,5	0,5	-1	2)	3		4		1		2		6 1/3	-4 1/6	-2 1/3	2 5/6
	4	3	-1	2	ответ:	1	0,5	-0,5	0		3		5		3		5	ответ:	-5	3,5	2	-2,5
	8	5	-3	4		-1	1,5	-0,5	0		6		8		1		5		2	-0,5	-1	0,5
	3	3	-2	2		-4	1,5	-0,5	2		3		5		3		7		0	-0,5	0	0,5

3)	2	3	11	5		- 2/7	2/7	5/7	- 1/7	4)	2	-2		0		1			1/4	1/6	0	0
	1	1	5	2	ответ:	1 2/7	-2 4/5	2/7	- 1/3		2	3		1		-3		ответ:	- 1/6	0	0	1/8
	2	1	3	2		- 1/7	2/3	- 1/7	0		3	4		-1		2			3/8	- 1/2	- 1/3	1 1/7
	1	1	3	4		- 1/7	1/7	- 1/7	3/7		1	3		1		-1			1/8	- 2/5	0	4/9
5)	2	-2	0	1		1/4	1/6	0	0	6)	2	5		4		1			1	- 1/3	- 1/2	1/7
	2	3	1	-3	ответ:	- 1/6	0	0	1/8		1	3		2		1		ответ:	- 4/5	1 5/7	0	0
	3	4	-1	2		3/8	- 1/2	- 1/3	1 1/7		2	10		9		7			5/6	-2	1/5	0
	1	3	1	-1		1/8	- 2/5	0	4/9		3	8		9		20			- 1/5	2/7	0	0

7)	1	1	-6	-4		- 1/9	1/4	0	0	8)	4	-3		1		5			1/2	0	- 3/5	1/3
	3	-1	-6	-4	ответ:	2/5	- 1/4	0	0		1	-2		-2		-3		ответ:	1/2	- 2/9	- 8/9	2/5
	2	3	9	2		- 1/9	0	0	0		3	-1		2		0			- 1/2	- 1/9	1	- 2/7
	3	2	3	8		0	0	0	1/9		2	3		2		-8			1/5	- 1/9	- 1/4	0

9)	7	9	4	2		1	0,6	-2	1,4	10)	2	-1		-6		3			- 2/9	3/8	0	-1 1/6
	2	-2	1	1	ответ:	0	-0,2	0	0,2		7	-4		2		-15		ответ:	0	1/4	- 1/3	-1 1/6
	5	6	3	2		-1	-0,6	3	-3,4		1	-2		-4		9			- 2/7	1/8	0	- 1/3
	2	3	1	1		-1	0	1	1		1	-1		2		-6			- 1/8	0	0	- 2/7

11)	6	5	-2	4		0	- 1/3	3/4	3/7	12)	3	-2		-5		1			0	1/4	2/5	0
	9	-1	4	-1	ответ:	0	1/9	- 1/5	- 1/5		2	-3		1		5		ответ:	- 1/6	0	3/8	1/5
	3	4	2	-2		- 1/6	1 2/7	-2 1/4	-1 1/4		1	2		0		-4			- 1/7	1/6	1/9	0
	3	-9	0	2		0	1	-2	-1		1	-1		-4		9			0	0	0	1/9

13)	2	-3	3	2		0	0	0	0	14)	1	1		-6		-4			- 1/9	1/4	0	0
	6	9	-2	-1	ответ:	0	1/6	0	0		3	-1		-6		-4		ответ:	2/5	- 1/4	0	0
	10	3	-3	-2		2/3	1/2	- 1/7	- 1/3		2	3		9		2			- 1/9	0	0	0
	8	6	1	3		- 1/2	- 1/2	0	1/2		3	2		3		8			0	0	0	1/9

15)	1	2	3	-2		0	1/9	1/6	1/9
	2	-1	-2	-3	ответ:	1/9	0	1/9	- 1/6
	3	2	-1	2		1/6	- 1/9	0	1/9
	2	-3	2	1		- 1/9	- 1/6	1/9	0