Матрицы
Основные вопросы лекции: общие определения,
связанные с понятием матрицы; действия над матрицами; определители 2-го и 3-го
порядков; определители порядка n, их вычисление; свойства определителей; обратная матрицы;
ранг матрицы.
Матрицей размера mхn называется прямоугольная
таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,
называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными)
буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы
используются строчные буквы с двойнойиндексацией: aij, где i – номер
строки, j – номер столбца:
,
i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n
Матрица называется квадратной n – го порядка,
если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Элементы матрицы aij, у которых
номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют
главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют
элементы a11, a22, …, ann, а a1n, a2n-1,
…, an1 – элементы дополнительной диагонали.
Виды матриц: матрица (вектор) – строка, матрица
(вектор) – столбц, диагональная, единичная матрица.
Над матрицами, как и над числами, можно
производить ряд операций.
а) Умножение матрицы на число. Произведением
матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой bij=λaij
для i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
В частности, произведение матрицы А на число 0
есть нулевая матрица, т.е. 0•А= О.
б) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В
одинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой
С=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij),
i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.
(т.е. матрицы складываются поэлементно).
В частном случае А+0=А.
в) Умножение матриц. Умножение матрицы А на
матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк
второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица ,
каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й
строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В:
Примечание. A*B≠B*A.
Транспонирование матрицы – переход от матрицы А
к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением
порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:
,
В литературе встречаются и другие обозначения
транспонированной матрицы, например, Ат.
Возведение в степень. Целой положительной
степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m
матриц, равных А, т.е.
Аm=A*A*…*A (m>1)
m раз
Заметим, что операция возведения в степень
определяется только для квадратных матриц.
По определению полагают А0 = Е, А1
= А.
Следом trА квадратной матрицы А называется
сумма ее диагональных элементов:
Матрица А-1, обратная к квадратной
матрице А, – такая матрица, что
А-1*А=А* А-1=Е (Е –
единичная матрица).
Определители
Необходимость введения определителя – числа,
характеризующего квадратную матрицу А, – тесно связано с решением систем
линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается det (A) или Δ.
Определителем матрицы первого порядка А=(а11),
или определителем первого порядка, называется элемент а11: Δ =
|А|=а11. Например, пусть А= (3), тогда Δ1 = |А|=3.
Определитель матрицы второго порядка вычисляется
по формуле:
Определитель матрицы третьего порядка вычисляется
по правилом треугольника или правилом Сарруса:
Минором Mij элемента aij
матрицы n – го порядка называется определитель матрицы (n-1) – го порядка,
полученной из матрицы А вычеркиванием i – й строки и j – го столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij
матрицы n – го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j:
Aij=(-1)i+jMij,
i, j=1, 2, 3
т.е. алгебраическое дополнение совпадает с
минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и
отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной
матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения:
Примечание. Определитель треугольной (и
диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Свойства определителей
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы
состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.
2. Если все элементы какой-либо строки
(столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это
число λ.
3. При транспонировании матрицы ее определитель
не изменяется: |А'|=|А|.
4. При перестановке двух строк (столбцов)
матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит две
одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы
пропорциональны, то ее определитель равен 0.
7. Сумма произведений элементов какой-либо
строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки
(столбца) этой матрицы равна 0, т.е.
,
при i¹j
8. Определитель матрицы не изменится, если к
элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки
(столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
9. Сумма произведений произвольных чисел b1,
b2, …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки
(столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов
этой строки (столбца) на числа b1, b2, …, bn.
10. Определитель произведения двух квадратных
матриц равен произведению их определителей:
|С| = |А|*|В|, где C=А*В; А и В-матрицы n – го
порядка.
Ранг матрицы
Для решения и исследования ряда математических
и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.
Определение. РангомматрицыА называется наивысший порядок отличных от нуля миноров
этой матрицы.
Ранг матрицы Аобозначается rang Аилиr(А).
Свойства ранга матрицы:
10. Ранг матрицы Аmxn не
превосходит меньшего из ее размеров, т.е. rang A≤min (m; n);
20. г(А)
= 0 тогда и только тогда, когда все элементы
матрицы равны нулю, т.е. А=0;
30. Для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и
только тогда, когда матрица А – невырожденная.
Назовем элементарными
преобразованиями матрицы следующие:
1) Отбрасывание
нулевой строки (столбца).
2) Умножение
всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
3) Изменение
порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление
к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой
строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование
матрицы.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях
матрицы.
Другие работы по теме:
Построение эконометрической модели
Общий вид искомой модели, нахождению структурных коэффициентов. Ранг матрицы системы, число эндогенных переменных, достаточное условие индентифицируемости системы. Применение косвенного метода наименьших квадратов, выражение переменные через отклонения.
Электронные цепи СВЧ (конспект) Add1
Параметры матрицы рассеяния могут быть рассчитаны по известной матрице проводимости четырехполюсника по формуле: – единичная матрица. Необходимо отметить важную особенность параметров матрицы рассеяния, связанную с направлением прохождения сигнала. При изменении направления передачи изменятся лишь индексы в параметрах рассеяния (
Замена и ремонт матрицы ноутбука
К несчастью, именно экранная матрица является наиболее уязвимой частью ноутбука. Обратите внимание, что неисправность матрицы совсем необязательно связана с отрицательным воздействием извне.
Метод случайного баланса
Составление для каждой группы матрицы ПФЭ. Порядок проведения опытов в группе. Нахождение медианы точек лежащих слева и справа по диаграмме рассеяния. Определение по медианам величины вклада каждого фактора. Построение выборочной ортогональной матрицы.
Матрица БКГ теория
Матрица БКГ Матрица БКГ строится следующим образом. По горизонтальной оси откладывается относительная доля рынка (отношение доли рынка компании к доле рынка компании-лидера). По вертикальной оси откладываются показатели темпов роста рынка, то есть рост потребительского спроса, характеризующий привлекательность рынка.
Математика матрица
Матрицы Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами. Матрица m Ч n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Линейная алгебра
Обратная матрица. Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если AA-1=A-1A=I Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда detA0.
Определитель матрицы 2
Оглавление Задача 2 3 Задача 3 5 Задача 4 7 Задача 1 Вычислить определитель 4-го порядка. Решение: Определитель 4-го порядка находится по формуле: aij – элемент матрицы;
Построение матрицы достижимости
Понятие матрицы достижимости и связности. Операция удаления вершины из графа. Алгоритм выделения компонент сильной связности. Разработка и листинг программы на языке Turbo Pascal, осуществляющей вычисление матрицы достижимости по заданному алгоритму.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Решение матриц
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
Кривые второго порядка. Квадратичные формы
Понятие квадратичной формы и способы ее записи. Действительные и недействительные, вырожденные и невырожденные формы, ранг матрицы. Знакоопределенность квадратичных форм, определение ее миноров. Критерии положительной и отрицательной определенностей.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Обратная матрица
Матричные уравнения. Некоторые свойства определителей.Фундаментальная система решений.
Алгебра матриц
Основные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы.
Основы высшей матиматики
Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
Определитель матрицы
Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
Системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
Матрицы действия с ними
Контрольная работа на тему: «Матрицы, действия с ними» Историческая справка Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами.
Использование программирования в математике
Содержание Задание 1. Вычисление значения арифметического выражения Задание 2. Использование условного оператора Задание 3. Использование циклических структур Задание 4. Работа с двумерными массивами Задание 5. Использование процедур Задание 6. Текстовый файл
Основы высшей математики
Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.
Квадратные формы
Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Сфрагистика
Сфрагистика (от греч. σφραγις — печать), или сигиллография (от лат. sigillum — печать) — вспомогательная историческая дисциплина, изучающая печати (матрицы) и их оттиски на различных материалах.
Программа, которая упорядочивает элементы чётных строк матрицы по возрастанию, а нечётных – по убыванию
2.24. Составить программу, которая упорядочивает элементы чётных строк матрицы по возрастанию, а нечётных – по убыванию. 17. Задан массив {Ai}: 2; 0,4; 3,14; -1,57; 11; 7,34; -2,6; 0; 5; -1. Вычислить массив {Yi}, каждый элемент которого вычисляется по формуле cos(A), и подсчитать количество элементов L из массива {Yi}, попадающих в интервал [0;1].
Лабораторная работа №12
Цель работы: Изучение правил описания и вызова подпрограмм: процедур и функций. Получение навыков и овладение приемами работы над подпрограммами. Задание№ 17
Turbo Paskal Операции над матрицами
Государственный Комитет Российской Федерации по Высшему Образованию Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ»
Программирование математических задач
Си - стандартизированный процедурный язык программирования. Алгоритм и программа на языке Си для формирования двух матриц с определенной размерностью и значением элементов. Применение матриц в математике. Исходный текст программы и результаты выполнения.
Модульное программирование 5
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Лабораторная работа №3 по дисциплине «Информатика и программирование» Москва, 2010 « Модульное программирование».