Содержание
Лекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
2. Геометрический смысл определенного интеграла
3. Основные свойства определенного интеграла
4. Формула Ньютона–Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
2. Объем тела вращения
3. Длина дуги плоской кривой
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Литература
Лекция 1. Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла
Пусть функция 
определена на отрезке 
, 
. Выполним следующие операции:
разобьем отрезок 
точками 
на n частичных отрезков 
;
в каждом из частичных отрезков 
, 
выберем произвольную точку 
и вычислим значение функции в этой точке: 
;
найдем произведения 
, где 
– длина частичного отрезка , ;
составим сумму
, (1)
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма 
представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки 
, а высоты равны 
соответственно (рис. 1). Обозначим через 
длину наибольшего частичного отрезка 
;
найдем предел интегральной суммы, когда 
.
Рис. 1
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек 
в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается 
.
Таким образом, 
.
В этом случае функция 
называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, 
– подынтегральным выражением, 
– переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b(рис. 2).
Рис. 2
Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых 
и 
, снизу – отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: 
.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 
Если 
, то, по определению, полагаем 
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 
Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
Если функция интегрируема на и 
, то
.
(теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка 
, такая, что 
.
4. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и 
– какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
, (2)
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность 
принято записывать следующим образом:
,
где символ
называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
.
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором – находится разность 
значений этой первообразной на концах отрезка .
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Решение. Для подынтегральной функции 
произвольная первообразная имеет вид 
. Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: 
. Тогда 
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция 
и ее производная 
непрерывны при 
; 2) множеством значений функции 
при является отрезок ; 3) 
, 
, то справедлива формула
, (3)
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования 
и 
(для этого надо решить относительно переменной t уравнения 
и 
)).
На практике часто вместо подстановки используют подстановку 
. В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: 
, 
.
Пример 3. Вычислить интеграл 
Решение. Введем новую переменную по формуле 
. Определим и 
. Возведя в квадрат обе части равенства , получим 
, откуда 
. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы 
и 
. Получим: 
, откуда 
и, следовательно, 
; 
, откуда 
и, следовательно, 
. Таким образом:
.
Пример 4. Вычислить интеграл 
.
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим 
, откуда 
, 
. Найдем новые пределы интегрирования: если 
, то 
; если 
, то 
. Значит, 
. Следовательно:
.
Пример 5. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
, тогда 
, откуда 
. Находим новые пределы интегрирования: 
; 
. Имеем: 
. Следовательно:
.
Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции 
и 
имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:
. (4)
Доказательство
Так как 
, то функция 
является первообразной для функции 
. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем
,
откуда
.
Пример 6. Вычислить 
.
Решение. Положим 
, отсюда 
. По формуле (4) находим
.
Пример 7. Вычислить 
.
Решение. Пусть 
, тогда 
. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Пример 8. Вычислить 
.
Решение. Полагая 
, определяем 
. Следовательно:
[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: 
; следовательно: 
] = 
= 
.
Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью 
, слева и справа – прямыми 
и 
(см. рис. 2) вычисляется по формуле
. (5)
Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
и осью .
Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой 
). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: 
, откуда 
, 
; следовательно, 
, 
.
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
(кв. ед.).
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (6)
В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
. (7)
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции 
при 
.
Рис. 5
Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей 
и 
. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим 
, 
. Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь 
заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций 
и 
,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений 
находим 
, ; следовательно, 
, 
. На отрезке 
имеем: 
. Значит, в формуле (8) в качестве 
возьмем x, а в качестве 
– 
. Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , 
, 
.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми 
и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой 
на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.); 
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми 
и 
, осью 
и непрерывной на 
кривой 
(рис. 9), то ее площадь находится по формуле
.
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке 
функции 
, осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой 
, прямыми , 
и осью .
Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи следует, что 
, . По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке 
функции 
(рис. 12), определяется по формуле
. (10)
Рис. 12
Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: 
, 
. По формуле (10) получаем:
.
Рис. 13
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая 
, заданная уравнением , где 
, лежит в плоскости 
(рис. 14).
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция и ее производная 
непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
. (11)
Пример 15. Вычислить длину дуги кривой 
, заключенной между точками, для которых 
.
Решение. Из условия задачи имеем 
. По формуле (11) получаем:
.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла 
предполагалось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и 
являются конечными;
б) подынтегральная функция 
ограничена на отрезке .
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке 
, тогда
(12)
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).
Если 
существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен 
, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл 
от неотрицательной функции 
выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева – отрезком прямой 
и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала 
. Интеграл 
сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б)
; в) 
; г) 
.
Решение. а) 
, следовательно, данный интеграл расходится;
б) 
. Так как при 
предел 
не существует, то интеграл 
расходится;
в) 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
;
г) 
= [выделим в знаменателе полный квадрат: 
] = 
[замена: 
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция непрерывна на конечном промежутке 
, но не ограничена на этом промежутке.
Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на промежутке 
называется предел
, т.е.
. (15)
Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но не ограниченной на промежутке 
:
. (16)
Если функция не ограничена при 
, где 
, и непрерывна при 
и 
, то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке 
обозначается 
и определяется равенством
. (17)
Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция 
не определена в точке , при 
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена: 
] = 
, следовательно, данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
Литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.
2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.